Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

26 lis 2025

579

8 strony

Rodzaje Liczb i Cechy Podzielności - Kompletny Przewodnik

user profile picture

Laura.love♡ @laura.notess

Rodzaje liczb to jeden z podstawowych tematów matematyki, który musisz ogarnąć. Poznasz różne typy liczb - od naturalnych... Pokaż więcej

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Liczby naturalne

Liczby naturalne to po prostu 0, 1, 2, 3, 4, 5 i tak dalej aż do nieskończoności. Oznaczamy je literą N, więc N = {0, 1, 2, 3, 4...}.

W świecie liczb naturalnych rozróżniamy kilka ciekawych podzbiorów. Liczby parzyste dzielą się przez 2 (np. 2, 4, 6, 8) i możemy je zapisać wzorem 2n. Z kolei liczby nieparzyste nie dzielą się przez 2 (np. 1, 3, 5, 7) i zapisujemy je wzorem 2n + 1.

💡 Każdą liczbę parzystą możesz przedstawić jako iloczyn liczby 2 i innej liczby naturalnej. Dodając 1 do liczby parzystej, zawsze otrzymasz liczbę nieparzystą!

Przykładowo 3·2 = 6 (liczba parzysta), a 3·2 + 1 = 7 (liczba nieparzysta). Proste, prawda?

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Liczby pierwsze i złożone

Liczby pierwsze to takie, które mają dokładnie dwa dzielniki 1 i samą siebie. Przykłady to 3, 7, 17, 37. Liczba 7 dzieli się tylko przez 1 i przez 7 - to czyni ją liczbą pierwszą.

Z kolei liczby złożone mają więcej niż dwa dzielniki. Oprócz 1 i samej siebie dzielą się także przez inne liczby. Przykładami są 4, 9, 10, 12. Liczba 12 dzieli się przez 1, 2, 3, 4, 6 i 12 - ma aż sześć dzielników!

Cechy podzielności

Nie musisz zawsze dzielić, żeby sprawdzić, czy jedna liczba dzieli się przez drugą! Istnieją sprytne metody

  • Liczba jest podzielna przez 2, jeśli kończy się cyfrą 0, 2, 4, 6 lub 8
  • Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 3 np.242+4=6,a63=2np. 24 2+4=6, a 63=2

🔍 Znajomość cech podzielności to super skrót myślowy! Zamiast długo dzielić, wystarczy spojrzeć na liczbę i od razu wiesz, czy jest podzielna.

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Więcej cech podzielności

Poznaj kolejne skróty, dzięki którym błyskawicznie określisz podzielność liczb

  • Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 np.240,bo404=10np. 240, bo 404=10
  • Liczba jest podzielna przez 5, jeśli kończy się cyfrą 0 lub 5 (np. 45, 70)
  • Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jednocześnie dzieli się przez 2 i przez 3 (np. 12)
  • Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 9 np.636+3=9,a99=1np. 63 6+3=9, a 99=1
  • Liczba jest podzielna przez 10, jeśli kończy się zerem (np. 40, 100)

Działania na liczbach naturalnych

Z liczbami naturalnymi możemy wykonywać cztery podstawowe działania

  • Dodawanie 13 + 90 = 103
  • Odejmowanie 55 - 10 = 45
  • Mnożenie 3 · 4 = 12
  • Dzielenie 81 9 = 9

💡 Pamiętaj, że w zbiorze liczb naturalnych nie zawsze możemy odjąć lub podzielić - wynik musi być liczbą naturalną!

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Liczby całkowite

Liczby całkowite to rozszerzenie liczb naturalnych - zawierają one wszystkie liczby naturalne oraz ich przeciwieństwa (liczby ujemne). Oznaczamy je literą Z.

Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3...}

Wyobraź sobie liczby całkowite jako pieniądze dodatnie to twoja gotówka, a ujemne to twoje długi. To świetny sposób, by zrozumieć działania na liczbach całkowitych!

Dodawanie liczb całkowitych

Dodawanie liczb całkowitych przypomina operacje finansowe

  • Gdy masz 2 zł, a dodajesz 0 zł, nadal masz 2 zł (2 + 0 = 2)
  • Gdy masz dług 5 zł i dodajesz 2 zł, to spłacasz część długu i zostajesz z długiem 3 zł (-5 + 2 = -3)
  • Gdy masz 4 zł i dodajesz dług 2 zł, to oddajesz 2 zł i zostaje ci 2 zł (4 + (-2) = 2)

🧠 Pomyśl o dodawaniu liczb całkowitych jak o wpłatach i wypłatach z twojego konta bankowego - to od razu staje się jaśniejsze!

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Odejmowanie liczb całkowitych

Z odejmowaniem liczb całkowitych też dasz radę! Pamiętaj o zasadzie jeśli widzisz minus obok minusa, zamień je na plus.

Przykłady

  • 5 - 2 = 3 (klasyczne odejmowanie)
  • -4 - (-4) = -4 + 4 = 0 (minus obok minusa daje plus)
  • 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 (odejmowanie długu to zysk)

Mnożenie liczb całkowitych

Przy mnożeniu obowiązują proste zasady

  • Plus razy plus daje plus 3 · 5 = 15
  • Minus razy minus daje plus -3 · (-2) = 6
  • Minus razy plus daje minus -5 · 5 = -25

Zapamiętaj regułę parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta liczba minusów daje minus.

🔄 Wyobraź sobie minus jako odwrócenie. Jeśli odwrócisz coś dwa razy, wraca do początkowego stanu - dlatego minus razy minus daje plus!

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Dzielenie liczb całkowitych

Przy dzieleniu obowiązują te same reguły co przy mnożeniu

  • Plus dzielone przez plus daje plus 12 2 = 6
  • Minus dzielone przez minus daje plus -90 (-10) = 9
  • Plus dzielone przez minus daje minus 12 (-2) = -6
  • Minus dzielone przez plus daje minus -81 9 = -9

Te reguły możesz zapamiętać w prostej tabelce

      • = - np.9(3)=3np. 9 (-3) = -3
      • = - np.93=3np. -9 3 = -3
      • = + np.9(3)=3np. -9 (-3) = 3

Najważniejsze, by zapamiętać, że znaki takie same dają plus, a różne dają minus. Działa to zarówno przy mnożeniu, jak i przy dzieleniu.

⚠️ Pamiętaj! Nigdy nie możesz dzielić przez zero. Taka operacja jest niezdefiniowana w matematyce!

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Liczby wymierne

Liczby wymierne to takie, które możesz zapisać jako ułamek zwykły, gdzie w liczniku jest liczba całkowita, a w mianowniku liczba naturalna różna od zera.

Przykłady liczb wymiernych

  • Ułamki 45\frac{4}{5}, 35\frac{-3}{5}
  • Liczby dziesiętne skończone 0,14 = 14100\frac{14}{100}
  • Liczby całkowite -3 = 31\frac{-3}{1}, 5 = 51\frac{5}{1}

Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą W. Każda liczba całkowita jest też liczbą wymierną, bo możemy ją zapisać z jedynką w mianowniku.

Liczby niewymierne

Liczby niewymierne to takie, których nie da się zapisać jako ułamek zwykły. Są to na przykład

  • Pierwiastki z liczb, które nie są kwadratami liczb naturalnych 2\sqrt{2}, 3\sqrt{3}, 5\sqrt{5}
  • Liczba π (pi)

🌟 Ciekawostka nie wszystkie pierwiastki są liczbami niewymiernymi! Na przykład 9=3\sqrt{9} = 3 jest liczbą wymierną, bo możemy zapisać ją jako 31\frac{3}{1}.

Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy jako NW. Jest to zbiór nieskończony, w którym nie istnieje ani najmniejsza, ani największa liczba.

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

11

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

 

Matematyka

579

26 lis 2025

8 strony

Rodzaje Liczb i Cechy Podzielności - Kompletny Przewodnik

user profile picture

Laura.love♡

@laura.notess

Rodzaje liczb to jeden z podstawowych tematów matematyki, który musisz ogarnąć. Poznasz różne typy liczb - od naturalnych po niewymierne - oraz nauczysz się, jak z nimi działać. To klucz do rozwiązywania równań i zadań matematycznych!

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Liczby naturalne

Liczby naturalne to po prostu 0, 1, 2, 3, 4, 5 i tak dalej aż do nieskończoności. Oznaczamy je literą N, więc N = {0, 1, 2, 3, 4...}.

W świecie liczb naturalnych rozróżniamy kilka ciekawych podzbiorów. Liczby parzyste dzielą się przez 2 (np. 2, 4, 6, 8) i możemy je zapisać wzorem 2n. Z kolei liczby nieparzyste nie dzielą się przez 2 (np. 1, 3, 5, 7) i zapisujemy je wzorem 2n + 1.

💡 Każdą liczbę parzystą możesz przedstawić jako iloczyn liczby 2 i innej liczby naturalnej. Dodając 1 do liczby parzystej, zawsze otrzymasz liczbę nieparzystą!

Przykładowo: 3·2 = 6 (liczba parzysta), a 3·2 + 1 = 7 (liczba nieparzysta). Proste, prawda?

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Liczby pierwsze i złożone

Liczby pierwsze to takie, które mają dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Przykłady to 3, 7, 17, 37. Liczba 7 dzieli się tylko przez 1 i przez 7 - to czyni ją liczbą pierwszą.

Z kolei liczby złożone mają więcej niż dwa dzielniki. Oprócz 1 i samej siebie dzielą się także przez inne liczby. Przykładami są 4, 9, 10, 12. Liczba 12 dzieli się przez 1, 2, 3, 4, 6 i 12 - ma aż sześć dzielników!

Cechy podzielności

Nie musisz zawsze dzielić, żeby sprawdzić, czy jedna liczba dzieli się przez drugą! Istnieją sprytne metody:

  • Liczba jest podzielna przez 2, jeśli kończy się cyfrą 0, 2, 4, 6 lub 8
  • Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 3 np.24:2+4=6,a6:3=2np. 24: 2+4=6, a 6:3=2

🔍 Znajomość cech podzielności to super skrót myślowy! Zamiast długo dzielić, wystarczy spojrzeć na liczbę i od razu wiesz, czy jest podzielna.

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Więcej cech podzielności

Poznaj kolejne skróty, dzięki którym błyskawicznie określisz podzielność liczb:

  • Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 np.240,bo40:4=10np. 240, bo 40:4=10
  • Liczba jest podzielna przez 5, jeśli kończy się cyfrą 0 lub 5 (np. 45, 70)
  • Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jednocześnie dzieli się przez 2 i przez 3 (np. 12)
  • Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 9 np.63:6+3=9,a9:9=1np. 63: 6+3=9, a 9:9=1
  • Liczba jest podzielna przez 10, jeśli kończy się zerem (np. 40, 100)

Działania na liczbach naturalnych

Z liczbami naturalnymi możemy wykonywać cztery podstawowe działania:

  • Dodawanie: 13 + 90 = 103
  • Odejmowanie: 55 - 10 = 45
  • Mnożenie: 3 · 4 = 12
  • Dzielenie: 81 : 9 = 9

💡 Pamiętaj, że w zbiorze liczb naturalnych nie zawsze możemy odjąć lub podzielić - wynik musi być liczbą naturalną!

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Liczby całkowite

Liczby całkowite to rozszerzenie liczb naturalnych - zawierają one wszystkie liczby naturalne oraz ich przeciwieństwa (liczby ujemne). Oznaczamy je literą Z.

Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3...}

Wyobraź sobie liczby całkowite jako pieniądze: dodatnie to twoja gotówka, a ujemne to twoje długi. To świetny sposób, by zrozumieć działania na liczbach całkowitych!

Dodawanie liczb całkowitych

Dodawanie liczb całkowitych przypomina operacje finansowe:

  • Gdy masz 2 zł, a dodajesz 0 zł, nadal masz 2 zł (2 + 0 = 2)
  • Gdy masz dług 5 zł i dodajesz 2 zł, to spłacasz część długu i zostajesz z długiem 3 zł (-5 + 2 = -3)
  • Gdy masz 4 zł i dodajesz dług 2 zł, to oddajesz 2 zł i zostaje ci 2 zł (4 + (-2) = 2)

🧠 Pomyśl o dodawaniu liczb całkowitych jak o wpłatach i wypłatach z twojego konta bankowego - to od razu staje się jaśniejsze!

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Odejmowanie liczb całkowitych

Z odejmowaniem liczb całkowitych też dasz radę! Pamiętaj o zasadzie: jeśli widzisz minus obok minusa, zamień je na plus.

Przykłady:

  • 5 - 2 = 3 (klasyczne odejmowanie)
  • -4 - (-4) = -4 + 4 = 0 (minus obok minusa daje plus)
  • 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 (odejmowanie długu to zysk)

Mnożenie liczb całkowitych

Przy mnożeniu obowiązują proste zasady:

  • Plus razy plus daje plus: 3 · 5 = 15
  • Minus razy minus daje plus: -3 · (-2) = 6
  • Minus razy plus daje minus: -5 · 5 = -25

Zapamiętaj regułę: parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta liczba minusów daje minus.

🔄 Wyobraź sobie minus jako odwrócenie. Jeśli odwrócisz coś dwa razy, wraca do początkowego stanu - dlatego minus razy minus daje plus!

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Dzielenie liczb całkowitych

Przy dzieleniu obowiązują te same reguły co przy mnożeniu:

  • Plus dzielone przez plus daje plus: 12 : 2 = 6
  • Minus dzielone przez minus daje plus: -90 : (-10) = 9
  • Plus dzielone przez minus daje minus: 12 : (-2) = -6
  • Minus dzielone przez plus daje minus: -81 : 9 = -9

Te reguły możesz zapamiętać w prostej tabelce:

    • : - = - np.9:(3)=3np. 9 : (-3) = -3
    • : + = - np.9:3=3np. -9 : 3 = -3
    • : - = + np.9:(3)=3np. -9 : (-3) = 3

Najważniejsze, by zapamiętać, że znaki takie same dają plus, a różne dają minus. Działa to zarówno przy mnożeniu, jak i przy dzieleniu.

⚠️ Pamiętaj! Nigdy nie możesz dzielić przez zero. Taka operacja jest niezdefiniowana w matematyce!

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Liczby wymierne

Liczby wymierne to takie, które możesz zapisać jako ułamek zwykły, gdzie w liczniku jest liczba całkowita, a w mianowniku liczba naturalna różna od zera.

Przykłady liczb wymiernych:

  • Ułamki: 45\frac{4}{5}, 35\frac{-3}{5}
  • Liczby dziesiętne skończone: 0,14 = 14100\frac{14}{100}
  • Liczby całkowite: -3 = 31\frac{-3}{1}, 5 = 51\frac{5}{1}

Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą W. Każda liczba całkowita jest też liczbą wymierną, bo możemy ją zapisać z jedynką w mianowniku.

Liczby niewymierne

Liczby niewymierne to takie, których nie da się zapisać jako ułamek zwykły. Są to na przykład:

  • Pierwiastki z liczb, które nie są kwadratami liczb naturalnych: 2\sqrt{2}, 3\sqrt{3}, 5\sqrt{5}
  • Liczba π (pi)

🌟 Ciekawostka: nie wszystkie pierwiastki są liczbami niewymiernymi! Na przykład 9=3\sqrt{9} = 3 jest liczbą wymierną, bo możemy zapisać ją jako 31\frac{3}{1}.

Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy jako NW. Jest to zbiór nieskończony, w którym nie istnieje ani najmniejsza, ani największa liczba.

# Rodzaje Liczb

## Liczby naturalne

☆Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, 4, 5... (pokolei jedna za drugą aż
do nieskończoności)

☆Zbiór liczb

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

11

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS