Przedmioty
Język polski
Biologia
Chemia
Historia
Geografia
Aparat ruchu
Układ wydalniczy
Komórka
Bakterie i wirusy. organizmy beztkankowe
Genetyka klasyczna
Badania przyrodnicze
Ekologia
Organizm człowieka jako funkcjonalna całość
Metabolizm
Genetyka molekularna
Układ pokarmowy
Proste zwierzęta bezkręgowe
Genetyka
Rozmnażanie i rozwój człowieka
Chemiczne podstawy życia
Pokaż wszystkie tematy
Systematyka związków nieorganicznych
Węglowodory
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Świat substancji
Pochodne węglowodorów
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Stechiometria
Gazy i ich mieszaniny
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Kwasy
Sole
Wodorotlenki a zasady
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Pokaż wszystkie tematy
1181
•
4 gru 2025
•
Zuzka Zuzka
@zuzka1926
Równania i nierówności kwadratowe z parametrem to zagadnienie, które pozwala... Pokaż więcej
Równanie kwadratowe możemy analizować tylko wtedy, gdy a≠0 - w przeciwnym przypadku mamy do czynienia z funkcją liniową. Liczba rozwiązań zależy od delty:
Własności rozwiązań możemy określić bez ich wyznaczania. Gdy x₁x₂<0, pierwiastki mają różne znaki. Gdy x₁x₂>0, pierwiastki mają te same znaki. Dodatkowo, jeśli x₁+x₂<0, oba pierwiastki są ujemne, a gdy x₁+x₂>0 i x₁x₂>0, oba są dodatnie.
💡 Wskazówka: Pamiętaj, że gdy rozwiązujemy nierówności kwadratowe, analizujemy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne, zależnie od znaku przy nierówności.
Przy analizie funkcji liniowej z parametrem pamiętaj, że może ona mieć tylko jedno rozwiązanie lub nie mieć go wcale. Często nie wiemy dokładnie, ile wynosi parametr, więc musimy sprawdzić, czy uzyskany wynik należy do założeń zadania.
Z kolei funkcja kwadratowa może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań, w zależności od wartości delty. W tym przypadku zwykle parametr jest konkretną liczbą, którą należy wyznaczyć na podstawie warunków zadania.
Analizując oba typy równań, pamiętaj o sprawdzaniu, kiedy Δ>0, Δ=0 lub Δ<0. Często rozwiązaniem zadania będzie suma lub część wspólna wyników dla różnych przypadków.
💡 Pamiętaj: Gdy rozwiązujesz równanie z parametrem, szukasz wartości parametru, dla których równanie spełnia określone warunki - nie samych rozwiązań równania!
Zacznij od wypisania współczynników a, b, c z równania. Określ warunki dotyczące parametru i zastanów się, jakie mają być własności rozwiązań (np. liczba pierwiastków).
Następnie oblicz wyrażenie na deltę i przekształć je w zależności od parametru. Pamiętaj, że szukamy wartości parametru, dla których spełniony jest warunek na deltę (np. Δ>0 dla dwóch różnych pierwiastków).
Jeśli rozwiązujesz nierówność z deltą, zamień ją na nierówność z parametrem i rozwiąż. W przypadku kilku warunków znajdź ich część wspólną - to będzie twoje rozwiązanie.
💡 Przykład w praktyce: Dla równania 2x² - x +2 = 0 i warunku "dwa różne pierwiastki", obliczamy Δ = ² - 16 = k² + 2k - 15. Rozwiązując nierówność k² + 2k - 15 > 0, otrzymujemy k ∈ (-∞,-5) ∪ (3,+∞).
Przy nierównościach kwadratowych zawsze zacznij od założenia, że x∈R. Wypisz współczynniki a, b, c i zrób szkic, który pomoże ci zrozumieć sytuację. Zwróć uwagę na znak przed a - decyduje on o kształcie paraboli.
Analiza nierówności zależy od znaku współczynnika a i typu nierówności:
Pamiętaj, że gdy Δ≤0 i a>0, nierówność postaci ax² + bx + c < 0 nie ma rozwiązań (parabola nie przecina lub tylko dotyka osi X).
💡 Kluczowa zasada: Kierunek paraboli (określony przez znak a) i znak nierówności wspólnie decydują o tym, które wartości x spełniają nierówność - narysuj szkic, aby uniknąć błędów!
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Zuzka Zuzka
@zuzka1926
Równania i nierówności kwadratowe z parametrem to zagadnienie, które pozwala nam analizować, jak zmieniają się rozwiązania w zależności od wartości parametru. Dzięki tym umiejętnościom będziesz mógł rozwiązywać bardziej złożone problemy matematyczne i dostrzegać wzorce w równaniach.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Równanie kwadratowe możemy analizować tylko wtedy, gdy a≠0 - w przeciwnym przypadku mamy do czynienia z funkcją liniową. Liczba rozwiązań zależy od delty:
Własności rozwiązań możemy określić bez ich wyznaczania. Gdy x₁x₂<0, pierwiastki mają różne znaki. Gdy x₁x₂>0, pierwiastki mają te same znaki. Dodatkowo, jeśli x₁+x₂<0, oba pierwiastki są ujemne, a gdy x₁+x₂>0 i x₁x₂>0, oba są dodatnie.
💡 Wskazówka: Pamiętaj, że gdy rozwiązujemy nierówności kwadratowe, analizujemy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne, zależnie od znaku przy nierówności.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Przy analizie funkcji liniowej z parametrem pamiętaj, że może ona mieć tylko jedno rozwiązanie lub nie mieć go wcale. Często nie wiemy dokładnie, ile wynosi parametr, więc musimy sprawdzić, czy uzyskany wynik należy do założeń zadania.
Z kolei funkcja kwadratowa może mieć jedno, dwa lub zero rozwiązań, w zależności od wartości delty. W tym przypadku zwykle parametr jest konkretną liczbą, którą należy wyznaczyć na podstawie warunków zadania.
Analizując oba typy równań, pamiętaj o sprawdzaniu, kiedy Δ>0, Δ=0 lub Δ<0. Często rozwiązaniem zadania będzie suma lub część wspólna wyników dla różnych przypadków.
💡 Pamiętaj: Gdy rozwiązujesz równanie z parametrem, szukasz wartości parametru, dla których równanie spełnia określone warunki - nie samych rozwiązań równania!
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Zacznij od wypisania współczynników a, b, c z równania. Określ warunki dotyczące parametru i zastanów się, jakie mają być własności rozwiązań (np. liczba pierwiastków).
Następnie oblicz wyrażenie na deltę i przekształć je w zależności od parametru. Pamiętaj, że szukamy wartości parametru, dla których spełniony jest warunek na deltę (np. Δ>0 dla dwóch różnych pierwiastków).
Jeśli rozwiązujesz nierówność z deltą, zamień ją na nierówność z parametrem i rozwiąż. W przypadku kilku warunków znajdź ich część wspólną - to będzie twoje rozwiązanie.
💡 Przykład w praktyce: Dla równania 2x² - x +2 = 0 i warunku "dwa różne pierwiastki", obliczamy Δ = ² - 16 = k² + 2k - 15. Rozwiązując nierówność k² + 2k - 15 > 0, otrzymujemy k ∈ (-∞,-5) ∪ (3,+∞).
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Przy nierównościach kwadratowych zawsze zacznij od założenia, że x∈R. Wypisz współczynniki a, b, c i zrób szkic, który pomoże ci zrozumieć sytuację. Zwróć uwagę na znak przed a - decyduje on o kształcie paraboli.
Analiza nierówności zależy od znaku współczynnika a i typu nierówności:
Pamiętaj, że gdy Δ≤0 i a>0, nierówność postaci ax² + bx + c < 0 nie ma rozwiązań (parabola nie przecina lub tylko dotyka osi X).
💡 Kluczowa zasada: Kierunek paraboli (określony przez znak a) i znak nierówności wspólnie decydują o tym, które wartości x spełniają nierówność - narysuj szkic, aby uniknąć błędów!
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
26
Inteligentne Narzędzia NOWE
Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Matematyka