Podstawowe wzory matematyczne

Cyfry rzymskie to system liczbowy, który wciąż ma zastosowanie - od I (1) do M (1000). Pamiętaj też o kombinacjach jak IX (9) czy CD (400).

Potęgi upraszczają zapisywanie dużych liczb i obowiązują w nich konkretne reguły. Gdy mnożysz potęgi o tych samych podstawach, wystarczy dodać wykładniki: $5^3 \cdot 5^6 = 5^9$. Dzieląc, odejmujesz wykładniki: $10^4 : 10^2 = 10^2$.

Przy pierwiastkach też obowiązują podobne zasady. Gdy mnożysz pierwiastki, możesz pomnożyć liczby pod pierwiastkami: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

Wskazówka: Zapamiętaj kwadraty liczb od 1 do 22 - pojawią się w wielu zadaniach! Na przykład $16^2 = 256$, a $20^2 = 400$.

Kolejność działań to kluczowa zasada - najpierw nawiasy, potem potęgi i pierwiastki, następnie mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Zwróć uwagę na "kłopotliwe minusy": $(-1)^2=1$, ale $-1^2=-1$ - to częsty błąd na egzaminie!

Prawa działań i równania

Podstawowe prawa działań pozwalają przekształcać wyrażenia algebraiczne. Przemienność dodawania $a+b=b+a$ czy mnożenia $a\cdot b=b\cdot a$ to podstawa. Dzięki rozdzielności mnożenia względem dodawania możesz rozwijać nawiasy: $a(b+c)=ab+ac$.

Równania mogą mieć różną liczbę rozwiązań. Jeśli po przekształceniach otrzymasz prawdziwe równanie np. $2x+3=2x+3$, to rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych - mówimy wtedy o równaniu tożsamościowym. Z kolei sprzeczne równanie jak $3=-4$ nie ma rozwiązań.

Wyrażenia algebraiczne odzwierciedlają relacje między liczbami. Gdy widzisz $x+3$, to znaczy "liczba o 3 większa od x", a $3x$ oznacza "trzykrotność liczby x".

Pamiętaj! Wyrażenie $10a+b$ opisuje liczbę dwucyfrową, gdzie $a$ to cyfra dziesiątek, a $b$ to cyfra jedności.

Przy zamianie jednostek długości, pola czy masy korzystaj z systemów dziesiętnych - dopisujesz zera (przesuwając przecinek w prawo) lub skracasz zera (przesuwając przecinek w lewo). Skala $1:2000$ oznacza, że $1$ cm na planie odpowiada $2000$ cm (czyli $20$ m) w rzeczywistości.

Jednostki miary

Zamiana jednostek to umiejętność, która przyda Ci się nie tylko na egzaminie. Przy zamianie jednostek masy pamiętaj o przeskokach dziesiętnych (kilo, deka, gram, deci, centi, mili).

Jednostki objętości wymagają szczególnej uwagi - $1$ litr to dokładnie $1$ dm³, a $1$ mililitr to $1$ cm³. Przechodząc między jednostkami objętości, zmieniasz wartość $1000$ razy (np. z m³ na dm³).

Jednostki czasu działają inaczej niż pozostałe! Tu nie obowiązuje system dziesiętny:

• $1$ godzina = $60$ minut = $3600$ sekund
• $1$ doba = $24$ godziny
• $1$ rok = $365$ dni (lub $366$ w roku przestępnym)

Uwaga! Przy zamianie jednostek prędkości $np. z km/h na m/s$ musisz przeliczyć zarówno jednostki odległości, jak i czasu.

Na egzaminie często pojawia się przeliczanie: $\frac{36 \text{ km}}{1 \text{ h}} = \frac{36 \cdot 1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 10 \frac{\text{m}}{\text{s}}$. Musisz zamienić kilometry na metry (×1000) i godziny na sekundy (×3600).

Kąty i figury płaskie

Kąty to podstawa geometrii - od ostrego (mniejszy niż 90°) po pełny (360°). Pamiętaj o relacjach między kątami: wierzchołkowe mają równe miary, przyległe sumują się do 180°.

Figury płaskie mają swoje cechy charakterystyczne. Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równe, a jego wysokość wynosi $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Kwadrat ma przekątną równą $d=a\sqrt{2}$.

Podstawowe wzory dla figur płaskich to:

• Trójkąt: $L=a+b+c$, $P=\frac{1}{2} a \cdot h_a$
• Prostokąt: $L=2a+2b$, $P=a \cdot b$
• Kwadrat: $L=4a$, $P=a^2$

Pomocne skojarzenie: Pole koła $P=\pi r^2$ można zapamiętać jako "Pi razy r kwadrat" - brzmi jak piosenka!

Dla okręgu i koła kluczowe są elementy jak promień, średnica, cięciwa i styczna. Długość okręgu to $L=2\pi r$, a pole koła to $P=\pi r^2$. Gdy rysujesz okrąg, styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

Wielokąty i twierdzenie Pitagorasa

Równoległobok, trapez, romb i deltoid mają swoje szczególne właściwości. Równoległobok ma przeciwległe boki równe i równoległe. Trapez ma tylko jedną parę boków równoległych. Romb to równoległobok o wszystkich bokach równej długości.

Twierdzenie Pitagorasa to klucz do rozwiązywania zadań z trójkątami prostokątnymi: $a^2 + b^2 = c^2$. W trójkącie o kątach 45°-45°-90° przyprostokątne są równe, a przeciwprostokątna ma długość $c = a\sqrt{2}$.

Sześciokąt foremny możesz podzielić na 6 przystających trójkątów równobocznych. Jego pole to $P = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$, gdzie a to długość boku.

Pomysł na zapamiętanie: Wyobraź sobie, że ostrosłup ma czubek (jeden wierzchołek na górze), a graniastosłup ma dwie identyczne podstawy (jak kanapka).

Dla brył geometrycznych ważne są relacje między liczbą wierzchołków, krawędzi i ścian:

• Ostrosłup o podstawie n-kąta: n+1 wierzchołków, 2n krawędzi, n+1 ścian
• Graniastosłup o podstawie k-kąta: 2k wierzchołków, 3k krawędzi, k+2 ściany

Te zależności pozwalają szybko sprawdzić, czy poprawnie obliczyłeś wszystkie elementy bryły.

Bryły i prawdopodobieństwo

Prostopadłościan i sześcian to podstawowe bryły przestrzenne. Dla prostopadłościanu o wymiarach a, b, c: pole powierzchni to $P=2(ab+bc+ac)$, a objętość to $V=abc$. Sześcian to prostopadłościan o równych krawędziach - jego przekątna wynosi $d=a\sqrt{3}$.

Dla graniastosłupa i ostrosłupa kluczowe są pola podstaw i wysokości:

• Graniastosłup: $V=P_p \cdot h$ (pole podstawy razy wysokość)
• Ostrosłup: $V=\frac{1}{3}P_p \cdot h$ (jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości)

Warto znać również potęgi liczb 2 i 3 - przydają się przy obliczaniu prawdopodobieństwa, gdy masz do czynienia z drzewkami decyzyjnymi.

Praktyczna rada: Prawdopodobieństwo to po prostu stosunek liczby zdarzeń sprzyjających do liczby wszystkich możliwości: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

Przy obliczaniu prawdopodobieństwa rzutu kostką sześcienną wyrzucenia liczby parzystej: $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, bo mamy 3 wyniki sprzyjające (2, 4, 6) na 6 wszystkich możliwych.