Twierdzenie cosinusów z obliczeniami

Twierdzenie Cosinusów

Twierdzenie cosinusów to matematyczna formuła, która pomoże Ci rozwiązać trójkąty, gdy znasz dwa boki i kąt pomiędzy nimi. Jest jak ulepszony "kuzyn" twierdzenia Pitagorasa, który działa dla każdego rodzaju trójkąta.

Wzór występuje w trzech wersjach, zależnie od tego, który bok chcesz obliczyć:

• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$
• $b^2 = c^2 + a^2 - 2ac \cos B$
• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$

Zobaczmy to na przykładzie: mamy trójkąt z bokami $a=6$, $b=8$ i kątem między nimi $\gamma=60°$. Aby znaleźć długość boku $c$, podstawiamy do wzoru: $c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos60°$ $c^2 = 36 + 64 - 96 \cdot 0,5$ $c^2 = 100 - 48 = 52$ $c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

Wskazówka: Gdy znasz wszystkie boki trójkąta, możesz łatwo obliczyć jego obwód. W naszym przykładzie obwód wynosi $6 + 8 + 2\sqrt{13} = 14 + 2\sqrt{13}$.

Pamiętaj, że twierdzenie cosinusów jest szczególnie przydatne w zadaniach, gdzie masz "dwa boki i kąt między nimi" (przypadek SAS) lub "trzy boki" (przypadek SSS).