Przedmioty

Matematyka

161

•

4 gru 2025

•

9 strony

Twierdzenie cosinusów: Wyjaśnienie i zadania

Maja

@maja016

Twierdzenie cosinusów to potężne narzędzie w geometrii, które pozwala nam... Pokaż więcej

1 / 9

$# TWIERDZENIE # COSINUSÓW $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \[\] cos \alpha$ $2bc cos \alpha = b^2 + c^2 - a^2 / 2bc$ $cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 -$

Twierdzenie cosinusów - podstawy i zastosowanie

Twierdzenie cosinusów opisuje zależność między bokami trójkąta a cosinusem kąta między nimi. Wzór wygląda następująco: a² = b² + c² - 2bc·cos α, gdzie a, b, c to długości boków, a α to kąt przeciwległy do boku a.

Z tego wzoru możemy wyprowadzić formułę na cosinus kąta: cos α = $b² + c² - a²$ /2bc. Dzięki temu możemy obliczyć zarówno boki, jak i kąty w trójkącie.

Przykładowe zadanie pokazuje, jak obliczyć długość boku x w trójkącie, znając pozostałe boki i kąt między nimi. Kluczowe jest podstawienie danych do wzoru i poprawne przekształcenie, aby otrzymać wynik. Podobnie możemy obliczyć miarę kąta, gdy znamy wszystkie boki trójkąta.

Wskazówka: Pamiętaj o wartościach cosinusów dla kątów specjalnych, np. cos 30° = √3/2, cos 135° = -√2/2, co znacznie ułatwi obliczenia.

$# TWIERDZENIE # COSINUSÓW $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \[\] cos \alpha$ $2bc cos \alpha = b^2 + c^2 - a^2 / 2bc$ $cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 -$

Zastosowania praktyczne twierdzenia cosinusów

Twierdzenie cosinusów świetnie sprawdza się w rozwiązywaniu problemów z trójkątami, w których znamy różne kombinacje boków i kątów. Zastosowanie odpowiedniego wzoru pozwala nam znaleźć brakujące elementy.

W trójkącie, gdzie mamy dane dwa boki i kąt zawarty między nimi, możemy obliczyć trzeci bok. Natomiast gdy znamy wszystkie boki, możemy wyznaczyć miarę dowolnego kąta w tym trójkącie.

Warto pamiętać o zależności między funkcjami trygonometrycznymi: sin²α + cos²α = 1. Ta tożsamość może być pomocna przy przekształcaniu wyrażeń i sprawdzaniu poprawności naszych obliczeń.

Ważne: Zwróć uwagę na jednostki miary kątów - w zadaniach najczęściej używamy stopni, ale w obliczeniach może być potrzebne przejście na radiany, zależnie od ustawień kalkulatora.

$# TWIERDZENIE # COSINUSÓW $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \[\] cos \alpha$ $2bc cos \alpha = b^2 + c^2 - a^2 / 2bc$ $cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 -$

Twierdzenie Pitagorasa a twierdzenie cosinusów

Twierdzenie Pitagorasa to szczególny przypadek twierdzenia cosinusów, gdy mamy do czynienia z kątem prostym $cos 90° = 0$ . W takich sytuacjach wzór upraszcza się do znanego a² = b² + c².

Rozwiązując zadania geometryczne, często musimy łączyć różne twierdzenia. Na przykład, jeśli w trójkącie znamy wysokość i dwa boki, możemy wykorzystać zarówno twierdzenie Pitagorasa, jak i wzory na pole trójkąta.

Pamiętaj, że pole trójkąta można obliczyć na różne sposoby: P = (a·h)/2 (połowa iloczynu podstawy i wysokości) lub P = (1/2)·a·b·sin C (połowa iloczynu dwóch boków i sinusa kąta między nimi).

Podpowiedź: Gdy problem wydaje się skomplikowany, spróbuj rozłożyć go na prostsze części i zastosować odpowiednie twierdzenia do każdej z nich.

$# TWIERDZENIE # COSINUSÓW $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \[\] cos \alpha$ $2bc cos \alpha = b^2 + c^2 - a^2 / 2bc$ $cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 -$

Podobieństwo trójkątów i pole figur

Podobieństwo trójkątów to potężne narzędzie, które pozwala nam przenosić proporcje z jednej figury na drugą. Jeśli trójkąty są podobne, to stosunek ich odpowiednich boków jest stały.

W zadaniach z trapezami często wykorzystujemy podział na trójkąty. Pole trapezu można obliczyć jako P = $a+c$ ·h/2, gdzie a i c to podstawy, a h to wysokość. Alternatywnie, trapez można podzielić na trójkąty i obliczyć sumę ich pól.

Pamiętając, że wysokość trójkąta to odległość od wierzchołka do prostej zawierającej przeciwległy bok, możemy zastosować różne strategie rozwiązania. Dla trójkątów równoramiennych wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, co upraszcza obliczenia.

Zapamiętaj: Gdy mamy do czynienia z figurami podobnymi, stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa: P₁/P₂ = (k)².

$# TWIERDZENIE # COSINUSÓW $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \[\] cos \alpha$ $2bc cos \alpha = b^2 + c^2 - a^2 / 2bc$ $cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 -$

Stosunek pól figur

Obliczanie stosunku pól figur to umiejętność przydatna w wielu zadaniach geometrycznych. Gdy mamy trapez podzielony na części, możemy obliczyć stosunek pól tych części.

W przypadku, gdy punkt dzieli przekątną trapezu w stosunku m:n, pole trójkąta utworzonego przez ten punkt i część przekątnej będzie zostawać w określonym stosunku do pola całego trapezu.

Pamiętaj, że w obliczeniach stosunku pól warto sprowadzić wyrażenia do najprostszej postaci. Czasem pomocne jest przedstawienie wyniku w postaci ułamka nieskracalnego.

Wskazówka praktyczna: Przy obliczaniu stosunku pól, często można uprościć zadanie, pomijając wspólne czynniki w licznikach i mianownikach ułamków.

$# TWIERDZENIE # COSINUSÓW $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \[\] cos \alpha$ $2bc cos \alpha = b^2 + c^2 - a^2 / 2bc$ $cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 -$

Zadania z twierdzeniem cosinusów

Zadania z twierdzeniem cosinusów najczęściej polegają na obliczaniu długości boku lub miary kąta w trójkącie. Kluczem do sukcesu jest poprawne zidentyfikowanie danych i nieznanych.

W pierwszym typie zadania mamy podane dwa boki i kąt między nimi, a szukamy trzeciego boku. Wystarczy podstawić dane do wzoru c² = a² + b² - 2ab·cos C i wykonać obliczenia.

W drugim typie zadania znamy wszystkie trzy boki trójkąta, a szukamy miary jednego z kątów. Wtedy korzystamy z przekształconego wzoru cos A = $b² + c² - a²$ /(2bc).

Pamiętaj: Uważaj na znaki przy podstawianiu wartości funkcji trygonometrycznych - cosinus kątów rozwartych jest ujemny, co może wpływać na wynik końcowy.

$# TWIERDZENIE # COSINUSÓW $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \[\] cos \alpha$ $2bc cos \alpha = b^2 + c^2 - a^2 / 2bc$ $cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 -$

Zastosowanie twierdzenia cosinusów w rombах

Romb to czworokąt o wszystkich bokach równych, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym. Znając pole rombu i długość jednej przekątnej, możemy obliczyć pozostałe parametry.

Przekątne rombu dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne. Jeśli pole rombu wynosi 6, a jedna z przekątnych ma długość 4, możemy obliczyć drugą przekątną ze wzoru P = (d₁·d₂)/2.

Długość boku rombu można obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, traktując połowę każdej przekątnej jako przyprostokątne trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątna to bok rombu.

Ważna obserwacja: W rombie wysokość jest zawsze prostopadła do boku, co pozwala na łatwe obliczenie jej długości, gdy znamy bok i kąt wewnętrzny rombu.

$# TWIERDZENIE # COSINUSÓW $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \[\] cos \alpha$ $2bc cos \alpha = b^2 + c^2 - a^2 / 2bc$ $cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 -$

Trapezy i kąty w figurach płaskich

Trapez równoramienny ma ramiona tej samej długości, co daje nam dodatkowe zależności przy rozwiązywaniu zadań. Znając wysokość i podstawy, możemy obliczyć jego pole ze wzoru P = $a+c$ ·h/2.

Cosinus kąta ostrego w rombie można obliczyć, znając bok i wysokość. Używamy wtedy zależności cos α = h/a, gdzie h to wysokość, a a to bok rombu.

W trapezach równoramiennych kąty przy tej samej podstawie są równe. Dodatkowo, jeśli znamy miarę jednego kąta, możemy obliczyć pozostałe, pamiętając, że suma miar kątów w czworokącie wynosi 360°.

Przydatna technika: W trapezach równoramiennych warto wykorzystać symetrię figury - poprowadzenie wysokości dzieli trapez na figury, które łatwiej analizować.

$# TWIERDZENIE # COSINUSÓW $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \[\] cos \alpha$ $2bc cos \alpha = b^2 + c^2 - a^2 / 2bc$ $cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 -$

Punkty przecięcia przekątnych w trapezach

Gdy przekątne trapezu przecinają się w punkcie S, tworzą się ciekawe zależności między polami powstałych trójkątów. Jeśli punkt S dzieli przekątną AC w stosunku AS:SC = 3:2, możemy wykorzystać tę informację do obliczenia pól.

Aby znaleźć pole trójkąta ASD, gdy znamy wysokość trapezu i długość dłuższej podstawy, musimy najpierw określić długość odcinka DS. Pomocne będzie wykorzystanie podobieństwa trójkątów i proporcji.

Pole trapezu ABCD można obliczyć ze wzoru P = $a+c$ ·h/2, gdzie a i c to podstawy, a h to wysokość. Stosunek pola trójkąta ASD do pola całego trapezu wyrazi się jako ułamek, który warto uprościć do najprostszej postaci.

Strategia rozwiązania: Podziel zadanie na etapy - najpierw oblicz pole całego trapezu, potem znajdź pole trójkąta ASD, a na końcu oblicz ich stosunek. Rysunki pomocnicze znacząco ułatwią analizę problemu.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki: twierdzenia geometryczne

Stereoizomeria

Wzory graniastosłupy,ostrosłupy,walec,kula,stożek

Twierdzenie cosinusów: Wyjaśnienie i zadania

Twierdzenie cosinusów - podstawy i zastosowanie

Zastosowania praktyczne twierdzenia cosinusów

Twierdzenie Pitagorasa a twierdzenie cosinusów

Podobieństwo trójkątów i pole figur

Stosunek pól figur

Zadania z twierdzeniem cosinusów

Zastosowanie twierdzenia cosinusów w rombах

Trapezy i kąty w figurach płaskich

Punkty przecięcia przekątnych w trapezach

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Najpopularniejsze notatki: twierdzenia geometryczne

Stereoizomeria

Trójkąty

Twierdzenie Cosinusów

Koła i kąty

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Procenty

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Nierówności i Równania Kwadratowe

Geometria Figur Płaszczyzny

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza Ksiąg Biblijnych

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza 'Lalki' Prusa

Wesele: Analiza Symboli

Antyk: Filozofia i Mitologia

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

4.8/5

Twierdzenie cosinusów: Wyjaśnienie i zadania

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Twierdzenie cosinusów - podstawy i zastosowanie

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zastosowania praktyczne twierdzenia cosinusów

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Twierdzenie Pitagorasa a twierdzenie cosinusów

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Podobieństwo trójkątów i pole figur

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Stosunek pól figur

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zadania z twierdzeniem cosinusów

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zastosowanie twierdzenia cosinusów w rombах

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Trapezy i kąty w figurach płaskich

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Punkty przecięcia przekątnych w trapezach

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Najpopularniejsze notatki: twierdzenia geometryczne

Stereoizomeria

Trójkąty

Twierdzenie Cosinusów

Koła i kąty

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Procenty

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Nierówności i Równania Kwadratowe