Knowunity AI

Więcej

Kariera

Program dla Twórców

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Układy Współrzędnych

Notacja współrzędnych

MatematykaMatematyka3,158 wyświetleń·Zaktualizowano Jun 12, 2026·2 strony

Wektory w układzie współrzędnych – Praktyczny poradnik

user profile picture
agula@afafinska

Wektory w układzie współrzędnych to jeden z kluczowych tematów matematyki,...

1
of 2
# Wektory we układzie współrzędnych - Wektorem nazywamy uporządkowaną parę liczb [x2-x1, y2-X1], taki wektor oznaczamy AB. W układzie współ

Wektory w układzie współrzędnych

Wektor to uporządkowana para liczb x2−x1,y2−y1x₂-x₁, y₂-y₁, którą oznaczamy jako AB→\overrightarrow{AB}. Opisuje on przesunięcie z punktu A(x₁,y₁) do punktu B(x₂,y₂) w układzie współrzędnych.

Obliczanie współrzędnych wektora jest całkiem proste. Wystarczy od współrzędnych punktu końcowego odjąć współrzędne punktu początkowego. Na przykład, jeśli mamy punkty A(-1,6) i B(6,9), to AB→=[6−(−1),9−6]=[7,3]\overrightarrow{AB} = [6-(-1), 9-6] = [7,3].

Szczególnym przypadkiem jest wektor zerowy oznaczany jako 0→\overrightarrow{0}, którego obie współrzędne są równe zero. Oznacza to, że punkt początkowy i końcowy są w tym samym miejscu.

Wskazówka: Gdy obliczasz wektor, pamiętaj o poprawnym odejmowaniu liczb ujemnych. Na przykład 6-(-1) = 6+1 = 7, ponieważ odejmowanie liczby ujemnej to to samo co dodawanie liczby dodatniej.

2
of 2
# Wektory we układzie współrzędnych - Wektorem nazywamy uporządkowaną parę liczb [x2-x1, y2-X1], taki wektor oznaczamy AB. W układzie współ

Praktyczne zastosowanie wektorów

Możemy również rozwiązać odwrotne zadanie – znaleźć punkt końcowy wektora, gdy znamy punkt początkowy i sam wektor. Jeśli mamy punkt A(-5,-2) i wektor AB→=[7,5]\overrightarrow{AB} = [7,5], możemy znaleźć punkt B.

Z definicji wektora wiemy, że [7,5] = x2−(−5),y2−(−2)x₂-(-5), y₂-(-2). Rozwiązując równania: 7 = x₂+5, więc x₂=2 oraz 5 = y₂+2, więc y₂=3. Zatem B(2,3).

Pierwsza współrzędna wektora opisuje przesunięcie wzdłuż osi OX, a druga wzdłuż osi OY. Dodatnia współrzędna oznacza przesunięcie zgodne ze zwrotem osi, a ujemna – przeciwne do zwrotu osi.

Pamiętaj: Każdy wektor można rozłożyć na dwa wektory składowe. Dla wektora AB→\overrightarrow{AB} są to wektory AG→\overrightarrow{AG} i BG→\overrightarrow{BG}, gdzie G leży na przecięciu linii prostopadłych do osi przechodzących przez punkty A i B.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Więcej

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9

Najpopularniejsze notatki

9

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS

Matematyka

Układy Współrzędnych

Notacja współrzędnych

MatematykaMatematyka3,158 wyświetleń·Zaktualizowano Jun 12, 2026·2 strony

Wektory w układzie współrzędnych – Praktyczny poradnik

user profile picture
agula@afafinska

Wektory w układzie współrzędnych to jeden z kluczowych tematów matematyki, który pozwala nam opisywać przesunięcia i kierunki. Dzięki nim możemy precyzyjnie określać relacje między punktami na płaszczyźnie i wykonywać różne operacje geometryczne.

1
of 2
# Wektory we układzie współrzędnych - Wektorem nazywamy uporządkowaną parę liczb [x2-x1, y2-X1], taki wektor oznaczamy AB. W układzie współ

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Wektory w układzie współrzędnych

Wektor to uporządkowana para liczb x2−x1,y2−y1x₂-x₁, y₂-y₁, którą oznaczamy jako AB→\overrightarrow{AB}. Opisuje on przesunięcie z punktu A(x₁,y₁) do punktu B(x₂,y₂) w układzie współrzędnych.

Obliczanie współrzędnych wektora jest całkiem proste. Wystarczy od współrzędnych punktu końcowego odjąć współrzędne punktu początkowego. Na przykład, jeśli mamy punkty A(-1,6) i B(6,9), to AB→=[6−(−1),9−6]=[7,3]\overrightarrow{AB} = [6-(-1), 9-6] = [7,3].

Szczególnym przypadkiem jest wektor zerowy oznaczany jako 0→\overrightarrow{0}, którego obie współrzędne są równe zero. Oznacza to, że punkt początkowy i końcowy są w tym samym miejscu.

Wskazówka: Gdy obliczasz wektor, pamiętaj o poprawnym odejmowaniu liczb ujemnych. Na przykład 6-(-1) = 6+1 = 7, ponieważ odejmowanie liczby ujemnej to to samo co dodawanie liczby dodatniej.

2
of 2
# Wektory we układzie współrzędnych - Wektorem nazywamy uporządkowaną parę liczb [x2-x1, y2-X1], taki wektor oznaczamy AB. W układzie współ

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Praktyczne zastosowanie wektorów

Możemy również rozwiązać odwrotne zadanie – znaleźć punkt końcowy wektora, gdy znamy punkt początkowy i sam wektor. Jeśli mamy punkt A(-5,-2) i wektor AB→=[7,5]\overrightarrow{AB} = [7,5], możemy znaleźć punkt B.

Z definicji wektora wiemy, że [7,5] = x2−(−5),y2−(−2)x₂-(-5), y₂-(-2). Rozwiązując równania: 7 = x₂+5, więc x₂=2 oraz 5 = y₂+2, więc y₂=3. Zatem B(2,3).

Pierwsza współrzędna wektora opisuje przesunięcie wzdłuż osi OX, a druga wzdłuż osi OY. Dodatnia współrzędna oznacza przesunięcie zgodne ze zwrotem osi, a ujemna – przeciwne do zwrotu osi.

Pamiętaj: Każdy wektor można rozłożyć na dwa wektory składowe. Dla wektora AB→\overrightarrow{AB} są to wektory AG→\overrightarrow{AG} i BG→\overrightarrow{BG}, gdzie G leży na przecięciu linii prostopadłych do osi przechodzących przez punkty A i B.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Więcej

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9

Najpopularniejsze notatki

9

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS