bartex

2.12.2025

Matematyka

Wielomiany

Matematyka

Działania i Metody Dzielenia

Dzielenie wielomianów

5580

•

2 gru 2025

•

12 strony

Podstawy wielomianów

bartex

@bartex_wusi

Wielomiany to kluczowy dział matematyki, który pomoże ci zrozumieć, jak... Pokaż więcej

1 / 10

# DZIAŁ: WIELOMIANY

DEF 1 „Jednomian"

Jednomian - nazywamy wyrażenie składające się z pojedyńczych liczb, liter, lub
ich ilbrzyn. Mówimy ż

Podstawowe pojęcia wielomianów

Jednomian to wyrażenie składające się z pojedynczych liczb, liter lub ich iloczynów. Dwa jednomiany są podobne, gdy różnią się tylko współczynnikiem liczbowym - np. $7x^3$ i $4x^3$ są podobne, możemy je dodawać i odejmować.

Wielomian to suma jednomianów, które nie są podobne. Zapisujemy go w postaci funkcji wielomianowej: $W(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+ a_2x^2 + a_1 x + a_0$ , gdzie $n≥0$ i należy do liczb naturalnych.

Stopniem wielomianu nazywamy największą potęgę przy x, oznaczamy go jako $st(w)=n$ . Współczynniki wielomianu to wartości $a_n, a_{n-1}, ..., a_2, a_1, a_0$ , a $a_0$ nazywamy wyrazem wolnym.

💡 Zapamiętaj! Jednomiany podobne można dodawać i odejmować $np. $7x^3 + 4x^3 = 11x^3$$ , ale $4x^3$ i $4x^2$ nie są podobne, więc nie można ich połączyć w jeden jednomian.

Wielomiany uporządkowane i podstawowe twierdzenia

Wielomian uporządkowany to taki, gdzie potęgi zmiennej ułożone są malejąco. To najczęściej używana postać ogólna wielomianu.

Znając wielomian, możesz skorzystać z kilku ważnych twierdzeń:

TW1: Suma wszystkich współczynników wielomianu to wartość $W(1)$ .
TW2: Liczba miejsc zerowych (pierwiastków) wielomianu nie jest większa niż jego stopień.
TW3: Stopień iloczynu wielomianów to suma ich stopni: $St(W·U) = St(W) + St(U)$ .
TW4: Dwa wielomiany są równe, gdy mają te same współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej.

Mnożąc wielomiany, mnożymy każdy jednomian z jednego wielomianu przez każdy jednomian z drugiego, a następnie łączymy podobne wyrazy.

⚠️ Uważaj! Przy mnożeniu wielomianów łatwo o błędy rachunkowe. Zapisuj obliczenia krok po kroku, grupując podobne jednomiany.

Dzielenie wielomianów i rozkład

TW5: Każdy wielomian można zapisać w postaci: $W(x)= P(x) · Q(x) + R(x)$ , gdzie $P(x)$ to dzielnik, $Q(x)$ to iloraz, a $R(x)$ to reszta z dzielenia.

Metody rozkładu wielomianu na czynniki:

Wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias (gdy brak wyrazu wolnego)
Metoda grupowania (najlepsza dla parzystej liczby jednomianów)
Liczenie wyróżnika (delta)
Dzielenie wielomianu
Stosowanie wzorów skróconego mnożenia

Równanie wielomianowe to równanie postaci $W(x)=0$ . Aby je rozwiązać:

Uporządkuj wielomian i przyrównaj do zera
Rozkład wielomian na czynniki
Przyrównaj każdy czynnik do zera i rozwiąż powstałe równania

💡 Ważne! Przy rozkładzie wielomianu zawsze sprawdź najpierw, czy można zastosować najprostszą metodę - wyciągnięcie wspólnego czynnika. Często zaoszczędzi ci to wiele pracy!

Wzory skróconego mnożenia stopnia 3

Zapamiętaj te wzory - zaoszczędzą ci mnóstwo czasu:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Trójkąt Pascala pomaga wyznaczać współczynniki w rozwinięciu $(a+b)^n$ . Oto kilka pierwszych wierszy:

n=1:  1
n=2:  1  2  1
n=3:  1  3  3  1
n=4:  1  4  6  4  1
n=5:  1  5 10 10  5  1

Dzięki trójkątowi Pascala możemy łatwo rozwinąć wyrażenia typu $(a+b)^5= a^5+5a^4b+10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

🌟 Wskazówka! Trójkąt Pascala tworzysz przez dodawanie dwóch sąsiednich liczb z wiersza wyżej. Każdy wiersz zaczyna i kończy się liczbą 1.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Wielomiany rozszerzenie schemat hornera

448

wielomiany

12747

470

matematyka rozszerzenie matura 2021

976

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Dzielenie wielomianów

Wielomiany: Wzory i Metody

Zgłębiaj kluczowe koncepcje wielomianów, w tym wzory skróconego mnożenia, metody dzielenia, twierdzenie o reszcie oraz Bezouta. Odkryj techniki rozkładu na czynniki i rozwiązuj równania wielomianowe. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

Podstawy wielomianów

Podstawowe pojęcia wielomianów

Wielomiany uporządkowane i podstawowe twierdzenia

Dzielenie wielomianów i rozkład

Wzory skróconego mnożenia stopnia 3

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Wielomiany rozszerzenie schemat hornera

wielomiany

matematyka rozszerzenie matura 2021

Najpopularniejsze notatki: Dzielenie wielomianów

Wielomiany: Wzory i Metody

Operacje na Wielomianach

Podział Wielomianów

Wielomiany i ich Właściwości

Działania na Wielomianach

Schemat Hornera: Dzielnie Wielomianów

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Procenty

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Nierówności i Równania Kwadratowe

Geometria Figur Płaszczyzny

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza Ksiąg Biblijnych

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza 'Lalki' Prusa

Wesele: Analiza Symboli

Antyk: Filozofia i Mitologia

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

4.8/5

Podstawy wielomianów

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Podstawowe pojęcia wielomianów

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Wielomiany uporządkowane i podstawowe twierdzenia

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dzielenie wielomianów i rozkład

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Wzory skróconego mnożenia stopnia 3

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Schemat Hornera dla Wielomianów

Wielomiany i ich Właściwości

Matura Matematyka 2021

Wielomiany: Teoria i Działania

Podobne notatki

Wielomiany rozszerzenie schemat hornera

wielomiany

matematyka rozszerzenie matura 2021

Najpopularniejsze notatki: Dzielenie wielomianów

Wielomiany: Wzory i Metody

Operacje na Wielomianach

Podział Wielomianów

Wielomiany i ich Właściwości

Działania na Wielomianach

Schemat Hornera: Dzielnie Wielomianów

Najpopularniejsze notatki z Matematyka