Potęgi i logarytmy - kluczowe wzory

Działania na potęgach o wykładniku naturalnym to podstawa matematyki. Zapamiętaj kilka prostych reguł: przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, przy dzieleniu odejmujemy $a^m : a^n = a^{m-n}$, a potęga potęgi to potęga o wykładniku będącym iloczynem wykładników $(a^m)^n = a^{mn}$.

Kiedy masz do czynienia z potęgą o wykładniku ujemnym, pamiętaj, że można ją zapisać jako ułamek: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Z kolei potęga o wykładniku wymiernym to pierwiastek: $a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}$, a szczególnie często używany wzór to $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$.

Wzory skróconego mnożenia oszczędzą Ci wiele czasu przy rozwiązywaniu zadań. Kwadrat sumy $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, kwadrat różnicy $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, a różnica kwadratów $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Z logarytmami warto wiedzieć, że $\log_a b = c$ oznacza, że $a^c = b$. To ułatwia rozwiązywanie równań logarytmicznych. Pamiętaj też, że $\log_a a^n = n$, bo ta własność często pojawia się w zadaniach.

Wskazówka: Potęgi i logarytmy to dwie strony tego samego medalu! Jeśli rozumiesz, że logarytm to sposób na znalezienie wykładnika potęgi, większość zadań stanie się prostsza.