Zacznij

Matematyka

Systemy i Modele Geometryczne

Matematyka1255Zaktualizowano 21 paź 20263 strony

Najlepsze wzory geometryczne do E8

Zgłoś
user profile picture
Ak.ja@ak.ja
Dodaj do źródeł Google
Witaj w świecie geometrii! W tych notatkach znajdziesz najważniejsze wzory dotyczące figur płaskich, ich pól i obwodów, a także trójkątów i brył przestrzennych. To podstawowe narzędzia, które przydadzą Ci się na wielu lekcjach matematyki.
wzory geometryczne – strona 1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę.
To nic nie kosztuje!

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Pola i obwody figur płaskich

Każda figura płaska ma swoje charakterystyczne wzory. Kwadrat ma pole równe kwadratowi długości boku P=a2P=a², a jego obwód to suma czterech jednakowych boków O=4aO=4a.

Przy prostokącie pole to iloczyn długości i szerokości P=a⋅bP=a·b, a obwód to suma wszystkich boków O=2a+2bO=2a+2b. Trójkąt ma pole równe połowie iloczynu długości podstawy i wysokości P=a⋅h/2P=a·h/2.

Równoległobok to czworokąt o przeciwległych bokach równoległych - jego pole obliczysz mnożąc długość podstawy przez wysokość P=a⋅hP=a·h. Z kolei trapez ma pole równe połowie iloczynu sumy podstaw i wysokości P=(a+b)⋅h/2P=(a+b)·h/2.

💡 Ciekawostka: Pole rombu możesz obliczyć na dwa sposoby - albo jako iloczyn boku i wysokości P=a⋅hP=a·h, albo jako połowę iloczynu długości przekątnych P=d1⋅d2/2P=d₁·d₂/2!

wzory geometryczne – strona 2

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę.
To nic nie kosztuje!

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Trójkąty i średnia arytmetyczna

Pamiętasz twierdzenie Pitagorasa? W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej a2+b2=c2a²+b²=c². To podstawowe narzędzie do rozwiązywania zadań z trójkątami prostokątnymi.

Warto zapamiętać szczególne przypadki trójkątów. W trójkącie o kątach 90°, 45°, 45° przeciwprostokątna ma długość a√2, gdzie a to długość przyprostokątnej. W trójkącie 90°, 30°, 60° przyprostokątna naprzeciw kąta 30° ma długość a, a druga przyprostokątna 2a.

Średnia arytmetyczna to suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę: Średnia = a1+a2+...+ana₁+a₂+...+aₙ/n. Używasz jej codziennie, nawet o tym nie wiedząc - na przykład gdy obliczasz swoją średnią ocen!

💡 Wskazówka: Twierdzenie Pitagorasa działa tylko w trójkątach prostokątnych, ale za to zawsze!

wzory geometryczne – strona 3

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę.
To nic nie kosztuje!

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Bryły przestrzenne

Graniastosłupy to bryły, które mają dwie identyczne podstawy i ściany boczne w kształcie prostokątów. Podstawowe wzory to: pole powierzchni całkowitej P = 2·P_p + P_b oraz objętość V = P_p·H.

Prostopadłościan (graniastosłup o ścianach prostokątnych) ma pole powierzchni P = 2ab + 2ac + 2bc i objętość V = a·b·c. Szczególnym przypadkiem jest sześcian o polu powierzchni P = 6a² i objętości V = a³.

Dla ostrosłupów zapamiętaj wzory: pole powierzchni P = P_p + P_b (suma pola podstawy i pól ścian bocznych) oraz objętość V = 1/31/3·P_p·H (jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości).

💡 Zapamiętaj: Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość, ale przy ostrosłupie musisz jeszcze podzielić przez 3!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Matematyka

Wzory Pola Figur

Odkryj kluczowe wzory i przykłady obliczania pól różnych figur geometrycznych, takich jak kwadrat, prostokąt, trapez i trójkąt prostokątny. Idealne dla uczniów matematyki, którzy chcą zrozumieć zasady obliczania powierzchni. Zawiera praktyczne przykłady i wzory do szybkiego przyswojenia.

5 SP1604
Matematyka

Formuły Figur Geometrycznych

Zrozumienie obwodów i pól różnych figur geometrycznych, w tym trapezów, kół, prostokątów, deltoidów, równoległoboków, trójkątów i kwadratów. Obejmuje kluczowe wzory i przykłady zastosowania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

5 SP301645
Matematyka

Wzory Geometrii: Powierzchnia i Objętość

Zbiór kluczowych wzorów na pole, objętość i obwód figur geometrycznych, w tym kwadratów, prostokątów, trójkątów i brył. Idealne materiały do nauki dla uczniów przygotowujących się do egzaminu E8 z matematyki.

8 SP8759353
Matematyka

Wzory Geometrii i Prawdopodobieństwa

Kompleksowy zbiór wzorów i zasad dotyczących geometrii, objętości brył, kątów oraz prawdopodobieństwa, niezbędny do przygotowania się do egzaminu ósmoklasisty. Zawiera wzory na prostopadłościany, sześciany, ostrosłupy, graniastosłupy oraz zasady dotyczące kątów i działań na potęgach.

6 SP31 4313305
Matematyka

Wzory Geometrii i Potęg

Kompleksowy zbiór kluczowych wzorów z geometrii i potęg, idealny do przygotowania się do egzaminu ósmoklasisty. Zawiera wzory na pola i obwody różnych figur geometrycznych oraz zasady dotyczące potęg i pierwiastków.

6 SP32 5202045
Matematyka

Wzory Geometrii Przestrzennej

Zbiór kluczowych wzorów dotyczących objętości i pól figur przestrzennych, w tym sześcianów, prostopadłościanów, ostrosłupów oraz trójkątów równobocznych. Idealne materiały do szybkiego przyswojenia przed egzaminem. Zawiera również jednostki powierzchni i wzory na pola figur.

8 SP103734
Zobacz więcej

Najpopularniejsze notatki: Wzory geometryczne

Matematyka

Wzory Matematyczne na Egzamin

Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.

7 SP56 2885857
Matematyka

Wzory Geometrii i Prawdopodobieństwa

Kompleksowy zbiór wzorów i zasad dotyczących geometrii, objętości brył, kątów oraz prawdopodobieństwa, niezbędny do przygotowania się do egzaminu ósmoklasisty. Zawiera wzory na prostopadłościany, sześciany, ostrosłupy, graniastosłupy oraz zasady dotyczące kątów i działań na potęgach.

6 SP31 4313305
Matematyka

Wzory Geometrii: Powierzchnia i Objętość

Zbiór kluczowych wzorów na pole, objętość i obwód figur geometrycznych, w tym kwadratów, prostokątów, trójkątów i brył. Idealne materiały do nauki dla uczniów przygotowujących się do egzaminu E8 z matematyki.

8 SP8759353
Matematyka

Wzory Geometrii i Potęg

Kompleksowy zbiór kluczowych wzorów z geometrii i potęg, idealny do przygotowania się do egzaminu ósmoklasisty. Zawiera wzory na pola i obwody różnych figur geometrycznych oraz zasady dotyczące potęg i pierwiastków.

6 SP32 5202045
Matematyka

Wzory Matematyczne na Maturę

Odkryj kluczowe wzory matematyczne na maturę, które nie są zawarte w tablicach. Zawiera informacje o funkcjach, ich przesunięciach, geometrii wielokątów oraz własnościach trójkątów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu.

44448107
Matematyka

Wzory Geometrii i Algebra

Kompleksowy zbiór wzorów matematycznych z geometrii i algebry, idealny do przygotowania się do egzaminu ósmoklasisty. Zawiera wzory na pole, objętość oraz podstawowe operacje algebraiczne. Doskonałe źródło wiedzy dla uczniów.

6 SP160635
Matematyka

Wzory figur płaskich

Zbiór wzorów na obwody i pola różnych figur płaskich, w tym kwadratów, prostokątów, trójkątów i równoległoboków. Idealne materiały do nauki przed egzaminem ósmoklasisty. Zawiera kluczowe informacje o wysokości, przekątnych oraz właściwościach geometrycznych.

8 SP14 165443
Matematyka

Wzory na Pola i Objętości

Zbiór kluczowych wzorów na pola i objętości figur płaskich oraz brył. Obejmuje wzory dla kwadratu, prostokąta, trójkąta, koła, sześcianu, walca i innych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: Podsumowanie.

115 315587
Matematyka

Formuły Pola i Obwodu

Zrozumienie formuł obwodów i pól dla podstawowych figur płaskich, takich jak kwadrat, prostokąt, trójkąt, równoległobok, trapez, romb i koło. Materiał zawiera wzory na obwody i pola, co ułatwia naukę geometrii. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

5 SP331866

Najpopularniejsze notatki: Matematyka

Matematyka

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej, jej właściwości, miejsca zerowe oraz zastosowanie w rozwiązywaniu równań. Materiał obejmuje przykłady, wzory oraz metody analizy funkcji kwadratowej w kontekście geometrii i algebraicznych równań. Typ: Podsumowanie.

173 9693242
Matematyka

Nierówności i Równania Kwadratowe

Zgłębiaj nierówności i równania kwadratowe! Dowiedz się o własnościach funkcji kwadratowej, miejscach zerowych, oraz sposobach przekształcania postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej. Przykłady zadań tekstowych oraz szczegółowe omówienie delty i jej zastosowania w rozwiązywaniu równań. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

220 778435
Matematyka

Funkcja liniowa

Zakres podstawowy

1168033
Matematyka

Cechy Podzielności Liczb

Zrozum zasady podzielności liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i niewymiernych. Dowiedz się, jak rozpoznawać liczby parzyste i nieparzyste oraz zastosować reguły podzielności w praktyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

7 SP265153
Matematyka

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, przykłady obliczeń oraz kluczowe wzory. Dowiedz się, jak rozwiązywać działania z logarytmami, w tym logarytmy z ułamkami i pierwiastkami. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

131 1221128
Matematyka

Nwd i nww

Obliczanie i wyjasnienie nww oraz nwd

6 SP5356101
Matematyka

Figury na płaszczyźnie - klasa 6 (sprawdzian)

Sprawdzian zawiera grupę A i B

8 SP10 32456
Matematyka

Trygonometria

Notatka trygonometria - najważniejsze wzory i informacje

1383758
Matematyka

Podstawy Pierwiastków

Zrozum definicję pierwiastków, ich właściwości oraz działania na pierwiastkach. Dowiedz się, jak dodawać i odejmować pierwiastki o tych samych stopniach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

6 SP12 482268

Najpopularniejsze notatki

Język polski

Dżuma: Tematy i Motywy

Analiza powieści 'Dżuma' Alberta Camusa, obejmująca kluczowe tematy, takie jak dżuma jako symbol zła, absurd oraz wojny. Zawiera omówienie postaci, ich postaw wobec epidemii, znaczenie tytułu oraz kazania ojca Paneloux. Idealne dla studentów literatury i filozofii, poszukujących głębszego zrozumienia utworu.

348 6191241
Język polski

Antyk - notatka

Hejka! Oto krótka notatka z Antyku. Jest tu o filozofii, o teatrze, o Antygonie, Mitologii i Iliadzie.

113 001340
Język polski

Mity Greckie: Kluczowe Opowieści

Zanurz się w fascynujący świat mitologii greckiej. Odkryj kluczowe mity, takie jak historia Prometeusza, Demeter i Persefony, oraz Syzyfa. Poznaj bogów, herosów i ich niezwykłe przygody, które kształtowały wierzenia starożytnych Greków. Idealne dla studentów literatury i mitologii.

139 5621264
Język polski

Inny Świat: Wspomnienia z Jercewa

Odkryj 'Inny Świat' Gustawa Herlinga-Grudzińskiego, autobiograficzną powieść dokumentalną, która ukazuje brutalne realia życia w radzieckim obozie pracy. Autor, oskarżony o szpiegostwo, dzieli się swoimi przeżyciami, refleksjami na temat ludzkiej psychiki oraz relacjami z innymi więźniami. Poznaj głębokie analizy moralności, cierpienia i nadziei w nieludzkich warunkach. Idealne dla studentów literatury i historii, którzy pragną zrozumieć kontekst wojenny i totalitarny.

315 541356
Język angielski

Czasy w Języku Angielskim

Kompleksowe notatki dotyczące podstawowych czasów w języku angielskim, idealne dla maturzystów 2025. Zawierają szczegółowe omówienie Present Simple, Present Continuous, Past Simple, Past Perfect i innych, z przykładami i zasadami użycia. Przygotuj się skutecznie do egzaminu z tym 46-stronicowym materiałem!

426 8241309
Język polski

Mity Greckie i Bogowie

Zanurz się w fascynujący świat mitologii greckiej, odkrywając kluczowe mity, takie jak opowieści o Perseuszu, Edypie, Prometeuszu oraz bogach olimpijskich. Ta notatka zawiera szczegółowe opisy postaci, ich atrybutów oraz znaczenie mitów w kontekście kultury greckiej. Idealna dla studentów literatury i mitologii. Typ: streszczenie.

126 8801268
Język angielski

Czasy w języku angielskim na egzamin ósmoklasisty.

Wszystkie czasy na egzamin ósmoklasisty z języka angielskiego (2025)!<3

8 SP16 286425
Język polski

Edelman i Powstanie w Getcie

Analiza lektury 'Zdążyć przed Panem Bogiem' Hanny Krall, koncentrująca się na tematach takich jak etyka, cierpienie, oraz heroizm w kontekście powstania w warszawskim getcie. Opracowanie omawia genezę, problematykę oraz kluczowe postacie, w tym Marka Edelmana, ukazując złożoność wyborów moralnych w obliczu Holokaustu.

315 457364
Język polski

Antyk / Starożytność

ramy czasowe, cywilizację, sztuka antyczna, cechy literatury, szkoły filozoficzne, filozofowie, wzorce osobowe, budowa teatru, budowa tragedii antycznej i jej cechy

113 238233

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas, pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Stefan Sużytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Samantha Klichużytkownik Androida

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Annaużytkownik iOS

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.