Przedmioty

Matematyka

Geometria

Geometria płaska

Okrąg wpisany w trójkącie prostokątnym

Matematyka

22 gru 2025

992

3 strony

Niezbędne wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty

notatkovo @notatkov.a

Obserwuj

Witaj! Oto kompletna ściąga z najważniejszych wzorów matematycznych, które musisz znać na egzamin ósmoklasisty. Zebraliśmy tu kluczowe formuły... Pokaż więcej

Uzovy
Pierniastkil
√a· √6 = √01·6
√4.√5 = 14.5
a
a =
a
= √3
2
√3
Geometria płaska
1 Kwadrat
na egzamin 8-klasisty
4 P=a·a=a²
Obu ya
al
2 Pro

Pierwiastki i potęgi

Pierwiastki to nie takie straszne bestie! Warto zapamiętać, że gdy mnożymy pierwiastki, po prostu mnożymy liczby pod znakiem pierwiastka $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ . Na przykład $\sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20}$ .

Przy dzieleniu pierwiastków stosujemy podobną zasadę $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ . Przykładowo $\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

Z potęgami też jest prosto! Gdy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$ . Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki $a^b a^c = a^{b-c}$ . Pamiętaj też, że każda liczba podniesiona do potęgi 1 to ona sama $$a^1 = a$$ , a do potęgi 0 daje zawsze 1 $$a^0 = 1$$ .

💡 Szybka wskazówka Gdy masz do czynienia z potęgą iloczynu lub ilorazu, możesz rozdzielić potęgowanie na poszczególne składniki $(a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c$ oraz $(a b)^c = a^c b^c$ .

Geometria płaska

Figury geometryczne to podstawa wielu zadań egzaminacyjnych. Dla kwadratu o boku $a$ pole to $P = a^2$ , a obwód $Obw = 4a$ . W prostokącie o bokach $a$ i $b$ , pole wynosi $P = a \cdot b$ , a obwód $Obw = 2a + 2b$ .

W przypadku równoległoboku pole obliczamy jako $P = a \cdot h$ , gdzie $h$ to wysokość, a obwód to $Obw = 2a + 2b$ . Dla rombu warto zapamiętać wzór na pole z przekątnymi $P = \frac{e \cdot f}{2}$ , gdzie $e$ i $f$ to długości przekątnych.

Trójkąt równoboczny ma szczególne właściwości. Jego pole wynosi $P = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ , a wysokość $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , gdzie $a$ to długość boku. Promień okręgu wpisanego $r = \frac{h}{3}$ , a promień okręgu opisanego $R = \frac{2h}{3}$ .

💡 Zapamiętaj trójkąt charakterystyczny (30°-60°-90°)! W takim trójkącie przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, a dłuższa przyprostokątna ma długość $a\sqrt{3}$ , gdzie $a$ to krótsza przyprostokątna.

Kwadraty i pierwiastki liczb

Znajomość kwadratów i pierwiastków liczb naturalnych może bardzo przyspieszyć rozwiązywanie zadań. Warto znać te wartości na pamięć, szczególnie dla liczb od 1 do 20.

Kwadraty liczb rosną coraz szybciej $1^2=1$ , $2^2=4$ , $5^2=25$ , $10^2=100$ , $15^2=225$ , $20^2=400$ . Zauważ, że między kolejnymi kwadratami różnica stale rośnie, co może pomóc Ci w szacowaniu wyników.

Pierwiastki kwadratowe to operacja odwrotna do potęgowania $\sqrt{25}=5$ , $\sqrt{100}=10$ . Jeśli znasz kwadraty liczb, znasz też ich pierwiastki!

Liczby $9^2=81$ i $11^2=121$ są szczególnie przydatne przy szacowaniu pierwiastków liczb, które nie są pełnymi kwadratami. Podobnie warto zapamiętać, że $12^2=144$ , $15^2=225$ i $16^2=256$ .

💡 Szybki trick Gdy potrzebujesz pierwiastka z liczby, która nie jest idealnym kwadratem, znajdź najbliższe kwadraty liczb i oszacuj wynik. Na przykład $\sqrt{50}$ musi być między $\sqrt{49}=7$ a $\sqrt{64}=8$ .

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Formuły Geometrii i Obliczeń

Kompleksowe zestawienie kluczowych wzorów i zasad dotyczących pól, obwodów oraz objętości figur geometrycznych, w tym trapezów, trójkątów, sześcianów i innych. Idealne materiały do nauki przed egzaminem ósmoklasisty. Zawiera również zasady podzielności liczb oraz twierdzenie Pitagorasa.

Niezbędne wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty

Pierwiastki i potęgi

Geometria płaska

Kwadraty i pierwiastki liczb

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Formuły Geometrii i Obliczeń

Twierdzenie Pitagorasa: Przykłady i Zastosowania

Matematyka: Wzory i Podzielność

Wzory Geometrii Przestrzennej

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Własności figur geometrycznych

Podobne notatki

Matematyka - notatki na egzamin 8

twierdzenie Pitagorasa

Wzory i informacje na egzamin ósmoklasisty z matematyki | super powtórka

Najpopularniejsze notatki: Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa: Przykłady i Zastosowania

Twierdzenie Pitagorasa w Trójkątach

Pitagoras: Obliczenia Boku

Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa

Wzory Geometrii Kluczowe

Twierdzenie Pitagorasa

Pitagoras: Trójkąty i Obliczenia

Wzory Geometrii i Brył

Wielokąty i Trójkąty

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Geometria Figur Płaszczyzny

Nierówności i Równania Kwadratowe

Figury na płaszczyźnie - klasa 6 (sprawdzian)

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Analiza Ksiąg Biblijnych

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza 'Lalki' Prusa

Postawy wobec zła w Dżumie

Wesele: Analiza Symboli

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

4.8/5

Niezbędne wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Pierwiastki i potęgi

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Geometria płaska

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Kwadraty i pierwiastki liczb

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Formuły Geometrii i Obliczeń

Twierdzenie Pitagorasa: Przykłady i Zastosowania

Matematyka: Wzory i Podzielność

Wzory Geometrii Przestrzennej

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Własności figur geometrycznych

Podobne notatki

Matematyka - notatki na egzamin 8

twierdzenie Pitagorasa

Wzory i informacje na egzamin ósmoklasisty z matematyki | super powtórka

Najpopularniejsze notatki: Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa: Przykłady i Zastosowania

Twierdzenie Pitagorasa w Trójkątach

Pitagoras: Obliczenia Boku

Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa