Wzory skróconego mnożenia to potężne narzędzia matematyczne, które pozwalają szybko...
Matematyka1031 wyświetleń·Zaktualizowano 13 lip 2026·2 stronyWzory skróconego mnożenia drugiego stopnia
M
Michal Niemiec@michalniemiec_grrh
1
of 2
Kwadrat sumy i różnicy
Wzory skróconego mnożenia to podstawa algebry, którą warto znać na pamięć. Zacznijmy od wzoru na kwadrat sumy: ² = a² + 2ab + b². Dlaczego tak jest? To proste - gdy rozpisujemy a+b$$a+b, otrzymujemy a² + ab + ba + b², co daje a² + 2ab + b².
Sprawdźmy to na przykładzie: ² = 7² + 2·7·3 + 3² = 49 + 42 + 9 = 100. Podobnie dla wyrażenia z niewiadomą: ² = x² + 2x·4 + 4² = x² + 8x + 16.
Kolejny ważny wzór to kwadrat różnicy: ² = a² - 2ab + b². Wynika to z podobnego rozumowania: a-b$$a-b = a² - ab - ba + b² = a² - 2ab + b². Na przykład: ² = 1² - 2·1·5 + 5² = 1 - 10 + 25 = 16.
⭐ Wskazówka: Pamiętaj, że kwadrat sumy różni się od kwadratu różnicy tylko znakiem przed środkowym składnikiem - mamy "+" przy kwadracie sumy i "-" przy kwadracie różnicy!
2
of 2
Różnica kwadratów i działania na wzorach
Różnica kwadratów to kolejny przydatny wzór: a² - b² = a-b$$a+b. To niesamowite, jak prosta formuła pozwala rozbić różnicę kwadratów na dwa czynniki! Przykłady: x² - 16 = x² - 4² = x-4$$x+4 lub 49 - 2² = 7² - 2² = 7-2$$7+2.
Wzory skróconego mnożenia możemy łączyć w bardziej złożone działania. Przy wykonywaniu takich działań kluczowe jest, aby najpierw zastosować odpowiednie wzory, a następnie zredukować wyrazy podobne.
Na przykład: ² + ² = 49 + 14x + x² + x² - 4x + 4 = 53 + 10x + 2x² = 2x² + 10x + 53. Zauważ, jak łączymy wyrazy podobne na końcu.
🔍 Uwaga: Przy odejmowaniu wyrażeń w nawiasach, pamiętaj o zmianie znaków wszystkich składników w nawiasie! Przykład: 6 - ² = 6 - = 6 - 9x² + 48x - 64 = -9x² + 48x - 58.
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki: Różnica kwadratów
3MatematykaWzory Mnożenia Kwadratów
Odkryj kluczowe wzory skróconego mnożenia, w tym wzory na sumy i różnice kwadratów oraz sześcianów. Zrozum, jak stosować (a+b)², (a-b)², a³+b³ i inne formuły w praktyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
81,22927
MatematykaWzory Mnożenia Kwadratów
Zrozum wzory skróconego mnożenia, w tym kwadrat sumy i różnicy. Przykłady obliczeń, takich jak (a+b)² i (a-b)², oraz zastosowanie wzorów w praktyce. Idealne dla uczniów matematyki na poziomie podstawowym i średnim.
162414
MatematykaWzory Mnożenia Kwadratów
Zrozum wzory skróconego mnożenia, w tym różnicę kwadratów oraz kwadraty sumy i różnicy. Przykłady ilustrujące zastosowanie wzorów, takie jak (a+b)(a-b) i (a-b)². Idealne dla uczniów 1LO na poziomie rozszerzonym.
13,907124
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
O
MatematykaObliczanie pola wielokątów
Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.
64,3840
D
MatematykaDodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.
53,4190
MatematykaEgzamin ósmoklasisty: Matematyka
Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.
860,4115,675
D
MatematykaDodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.
63,6560
P
MatematykaPodstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych
Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.
73,6300
Z
MatematykaZapisywanie ułamków dziesiętnych
Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.
52,1470
M
Matematykamatematyka
tabliczka mnożenia
51,8584
Najpopularniejsze notatki
9K
TechnikaKarta rowerowa
UwU
45,4063
N
TechnikaNauka znaków drogowych
Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę
44,0182
W
Język polskiWprowadzenie do lektury Zemsta
Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.
85,9840
Q
Język polskiQuiz-Dziady cz.2
Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!
83,6012
B
Biologiabiologia- ryby klasa 6
Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️
64,8044
Język polskiPolski e8
Egzamin ósmoklasisty
88,681377
T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
C
Język angielskiCzasowniki nieregularne w Past Simple
Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.
65,0340
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS
Matematyka1031 wyświetleń·Zaktualizowano 13 lip 2026·2 stronyWzory skróconego mnożenia drugiego stopnia
M
Michal Niemiec@michalniemiec_grrh
Wzory skróconego mnożenia to potężne narzędzia matematyczne, które pozwalają szybko rozwiązywać różne wyrażenia algebraiczne. Znajomość tych wzorów znacząco ułatwia obliczenia i pomaga zaoszczędzić czas podczas rozwiązywania zadań.
1
of 2
Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Kwadrat sumy i różnicy
Wzory skróconego mnożenia to podstawa algebry, którą warto znać na pamięć. Zacznijmy od wzoru na kwadrat sumy: ² = a² + 2ab + b². Dlaczego tak jest? To proste - gdy rozpisujemy a+b$$a+b, otrzymujemy a² + ab + ba + b², co daje a² + 2ab + b².
Sprawdźmy to na przykładzie: ² = 7² + 2·7·3 + 3² = 49 + 42 + 9 = 100. Podobnie dla wyrażenia z niewiadomą: ² = x² + 2x·4 + 4² = x² + 8x + 16.
Kolejny ważny wzór to kwadrat różnicy: ² = a² - 2ab + b². Wynika to z podobnego rozumowania: a-b$$a-b = a² - ab - ba + b² = a² - 2ab + b². Na przykład: ² = 1² - 2·1·5 + 5² = 1 - 10 + 25 = 16.
⭐ Wskazówka: Pamiętaj, że kwadrat sumy różni się od kwadratu różnicy tylko znakiem przed środkowym składnikiem - mamy "+" przy kwadracie sumy i "-" przy kwadracie różnicy!
2
of 2Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Różnica kwadratów i działania na wzorach
Różnica kwadratów to kolejny przydatny wzór: a² - b² = a-b$$a+b. To niesamowite, jak prosta formuła pozwala rozbić różnicę kwadratów na dwa czynniki! Przykłady: x² - 16 = x² - 4² = x-4$$x+4 lub 49 - 2² = 7² - 2² = 7-2$$7+2.
Wzory skróconego mnożenia możemy łączyć w bardziej złożone działania. Przy wykonywaniu takich działań kluczowe jest, aby najpierw zastosować odpowiednie wzory, a następnie zredukować wyrazy podobne.
Na przykład: ² + ² = 49 + 14x + x² + x² - 4x + 4 = 53 + 10x + 2x² = 2x² + 10x + 53. Zauważ, jak łączymy wyrazy podobne na końcu.
🔍 Uwaga: Przy odejmowaniu wyrażeń w nawiasach, pamiętaj o zmianie znaków wszystkich składników w nawiasie! Przykład: 6 - ² = 6 - = 6 - 9x² + 48x - 64 = -9x² + 48x - 58.
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki: Różnica kwadratów
3MatematykaWzory Mnożenia Kwadratów
Odkryj kluczowe wzory skróconego mnożenia, w tym wzory na sumy i różnice kwadratów oraz sześcianów. Zrozum, jak stosować (a+b)², (a-b)², a³+b³ i inne formuły w praktyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
81,22927
MatematykaWzory Mnożenia Kwadratów
Zrozum wzory skróconego mnożenia, w tym kwadrat sumy i różnicy. Przykłady obliczeń, takich jak (a+b)² i (a-b)², oraz zastosowanie wzorów w praktyce. Idealne dla uczniów matematyki na poziomie podstawowym i średnim.
162414
MatematykaWzory Mnożenia Kwadratów
Zrozum wzory skróconego mnożenia, w tym różnicę kwadratów oraz kwadraty sumy i różnicy. Przykłady ilustrujące zastosowanie wzorów, takie jak (a+b)(a-b) i (a-b)². Idealne dla uczniów 1LO na poziomie rozszerzonym.
13,907124
Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
O
MatematykaObliczanie pola wielokątów
Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.
64,3840
D
MatematykaDodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.
53,4190
MatematykaEgzamin ósmoklasisty: Matematyka
Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.
860,4115,675
D
MatematykaDodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.
63,6560
P
MatematykaPodstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych
Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.
73,6300
Z
MatematykaZapisywanie ułamków dziesiętnych
Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.
52,1470
M
Matematykamatematyka
tabliczka mnożenia
51,8584
Najpopularniejsze notatki
9K
TechnikaKarta rowerowa
UwU
45,4063
N
TechnikaNauka znaków drogowych
Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę
44,0182
W
Język polskiWprowadzenie do lektury Zemsta
Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.
85,9840
Q
Język polskiQuiz-Dziady cz.2
Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!
83,6012
B
Biologiabiologia- ryby klasa 6
Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️
64,8044
Język polskiPolski e8
Egzamin ósmoklasisty
88,681377
T
Matematykatabliczka mnożenia do 100
tabliczka mnożenia do 100
53,8702
C
Język angielskiCzasowniki nieregularne w Past Simple
Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.
65,0340
W
MatematykaWzory na pola wielokątów
Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.
64,9080
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS