Język polski
Biologia
Chemia
Historia
Geografia
Aparat ruchu
Układ wydalniczy
Komórka
Bakterie i wirusy. organizmy beztkankowe
Genetyka klasyczna
Badania przyrodnicze
Ekologia
Organizm człowieka jako funkcjonalna całość
Metabolizm
Genetyka molekularna
Układ pokarmowy
Proste zwierzęta bezkręgowe
Genetyka
Rozmnażanie i rozwój człowieka
Chemiczne podstawy życia
Pokaż wszystkie tematy
Systematyka związków nieorganicznych
Węglowodory
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Świat substancji
Pochodne węglowodorów
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Stechiometria
Gazy i ich mieszaniny
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Kwasy
Sole
Wodorotlenki a zasady
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Pokaż wszystkie tematy
1374
•
4 gru 2025
•
Lena <33
@lena_krzewinska1
Zbiory to podstawa matematyki, z którą spotykasz się nie tylko... Pokaż więcej
Zbiór to po prostu kolekcja różnych obiektów, które mają coś wspólnego. Nie ma ścisłej definicji - to pojęcie pierwotne, więc musisz je po prostu zrozumieć intuicyjnie.
Oznaczamy zbiory wielkimi literami (jak A, B, C), a ich elementy małymi literami (jak a, b, c). Jeśli element należy do zbioru, piszemy a ∈ A (czytamy: "a należy do A").
Zbiór możesz opisać na dwa sposoby: albo wymienisz wszystkie elementy w nawiasach klamrowych {1, 2, 3}, albo podasz właściwość, którą mają wszystkie elementy (np. "liczby parzyste").
Pamiętaj: Symbol ⊂ oznacza "zawiera się" - przydatny przy porównywaniu zbiorów!
Podzbiór to część większego zbioru - jak kawałek tortu z całego tortu. Jeśli masz zbiór {1, 2, 3}, to {1, 2} jest jego podzbiorem.
Oto ciekawa matematyczna zasada: zbiór mający n elementów ma dokładnie 2ⁿ podzbiorów. Brzmi skomplikowanie? Wcale nie! Zbiór z 3 elementami ma 2³ = 8 podzbiorów.
Wskazówka: Zawsze pamiętaj, że zbiór pusty ∅ i cały zbiór też są podzbiorami!
Zbiory możesz łączyć i porównywać jak klocki! Suma zbiorów A ∪ B to wszystkie elementy z obu zbiorów razem. Iloczyn A ∩ B to tylko te elementy, które występują w obu zbiorach jednocześnie.
Różnica A \ B to elementy ze zbioru A, których nie ma w zbiorze B. Dopełnienie A' to wszystkie elementy, które nie należą do A.
Prawa de Morgana to użyteczne wzory: (A ∩ B)' = A' ∪ B' oraz (A ∪ B)' = A' ∩ B'. Wydają się trudne, ale pomogą ci w rozwiązywaniu zadań!
Trick: Rysuj diagramy Venna - od razu zobaczysz, jak działają te operacje!
Zadania ze zbiorami często sprawdzają, czy rozumiesz symbole matematyczne. Dla zbioru A = {0, 2, 3, 4}: liczba 5 ∉ A (nie należy), a {0, 2} ⊂ A (zawiera się).
W zadaniach praktycznych musisz wykonać działania krok po kroku. Dla A = {1, 2, 3, 5, 6} i B = {1, 2, 3, 4, 7, 10}: suma A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10}, a iloczyn A ∩ B = {1, 2, 3}.
Najtrudniejsze są zadania słowne z diagramami Venna. Gdy 30 uczniów lubi różne przedmioty, musisz systematycznie policzyć każdą grupę - od środka diagramu na zewnątrz!
Pro tip: Zawsze zacznij od elementów wspólnych wszystkich zbiorów, potem przejdź do par, a na końcu do pojedynczych zbiorów!
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Lena <33
@lena_krzewinska1
Zbiory to podstawa matematyki, z którą spotykasz się nie tylko na lekcjach, ale też w codziennym życiu! Wyobraź sobie, że tworzysz playlistę ulubionych piosenek albo grupujesz znajomych z klasy - właśnie tak działają zbiory.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Zbiór to po prostu kolekcja różnych obiektów, które mają coś wspólnego. Nie ma ścisłej definicji - to pojęcie pierwotne, więc musisz je po prostu zrozumieć intuicyjnie.
Oznaczamy zbiory wielkimi literami (jak A, B, C), a ich elementy małymi literami (jak a, b, c). Jeśli element należy do zbioru, piszemy a ∈ A (czytamy: "a należy do A").
Zbiór możesz opisać na dwa sposoby: albo wymienisz wszystkie elementy w nawiasach klamrowych {1, 2, 3}, albo podasz właściwość, którą mają wszystkie elementy (np. "liczby parzyste").
Pamiętaj: Symbol ⊂ oznacza "zawiera się" - przydatny przy porównywaniu zbiorów!
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Podzbiór to część większego zbioru - jak kawałek tortu z całego tortu. Jeśli masz zbiór {1, 2, 3}, to {1, 2} jest jego podzbiorem.
Oto ciekawa matematyczna zasada: zbiór mający n elementów ma dokładnie 2ⁿ podzbiorów. Brzmi skomplikowanie? Wcale nie! Zbiór z 3 elementami ma 2³ = 8 podzbiorów.
Wskazówka: Zawsze pamiętaj, że zbiór pusty ∅ i cały zbiór też są podzbiorami!
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Zbiory możesz łączyć i porównywać jak klocki! Suma zbiorów A ∪ B to wszystkie elementy z obu zbiorów razem. Iloczyn A ∩ B to tylko te elementy, które występują w obu zbiorach jednocześnie.
Różnica A \ B to elementy ze zbioru A, których nie ma w zbiorze B. Dopełnienie A' to wszystkie elementy, które nie należą do A.
Prawa de Morgana to użyteczne wzory: (A ∩ B)' = A' ∪ B' oraz (A ∪ B)' = A' ∩ B'. Wydają się trudne, ale pomogą ci w rozwiązywaniu zadań!
Trick: Rysuj diagramy Venna - od razu zobaczysz, jak działają te operacje!
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Zadania ze zbiorami często sprawdzają, czy rozumiesz symbole matematyczne. Dla zbioru A = {0, 2, 3, 4}: liczba 5 ∉ A (nie należy), a {0, 2} ⊂ A (zawiera się).
W zadaniach praktycznych musisz wykonać działania krok po kroku. Dla A = {1, 2, 3, 5, 6} i B = {1, 2, 3, 4, 7, 10}: suma A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10}, a iloczyn A ∩ B = {1, 2, 3}.
Najtrudniejsze są zadania słowne z diagramami Venna. Gdy 30 uczniów lubi różne przedmioty, musisz systematycznie policzyć każdą grupę - od środka diagramu na zewnątrz!
Pro tip: Zawsze zacznij od elementów wspólnych wszystkich zbiorów, potem przejdź do par, a na końcu do pojedynczych zbiorów!
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
23
Inteligentne Narzędzia NOWE
Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju
Przewodnik po zbiorach matematycznych dla uczniów liceum i technikum. Zawiera definicje zbiorów skończonych i nieskończonych, podzbiorów, iloczynów oraz sum zbiorów. Idealny materiał do powtórki przed egzaminem.
MatematykaZgłębiaj podstawowe pojęcia teorii zbiorów, w tym dopenienie zbioru, rodzaje przedziałów oraz operacje na zbiorach. Dowiedz się o liczbach naturalnych, całkowitych i wymiernych, a także o zasadach dotyczących inkluzji zbiorów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: Podsumowanie.
MatematykaOdkryj różne rodzaje zbiorów w matematyce, w tym zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i rzeczywistych. Zrozum relacje między zbiorami, podzbiory oraz pojęcie zbioru pustego. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaZrozum podstawowe operacje na zbiorach liczbowych, w tym sumę, różnicę i iloczyn zbiorów. Dowiedz się, jak oznaczać zbiory i ich elementy oraz jak stosować notację matematyczną. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaZgłębiaj teorię zbiorów w matematyce! Dowiedz się o rodzajach zbiorów, relacjach między nimi oraz działaniach na zbiorach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów. Materiał oparty na podręczniku MATeMAtyka 1.
MatematykaZrozumienie przedziałów liczbowych w matematyce: definicje, symbole oraz różnice między przedziałami otwartymi i domkniętymi. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.
MatematykaApp Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
