Matematyka w klasie 9 obejmuje kilka kluczowych funkcji, które na... Pokaż więcej
Matematyka3,656 wyświetleń·Zaktualizowano Jun 5, 2026·3 stronyWłasności funkcji: kwadratowe, wykładnicze, logarytmiczne, proporcjonalność odwrotna
Julia Basińska@juliabasiska_wcnw
1 / 3
1
of 3
Funkcja kwadratowa - podstawy
Funkcja kwadratowa to jedna z najważniejszych funkcji w matematyce, którą zapisujemy jako f(x) = ax² + bx + c, gdzie a≠0. Jej wykresem jest parabola - charakterystyczna krzywa, którą na pewno rozpoznasz.
Współczynniki mają swoje znaczenie: a decyduje o kierunku otwarcia paraboli , b wpływa na położenie, a c to miejsce, gdzie parabola przecina oś Oy.
Postać kanoniczna y = a² + q jest super przydatna, bo od razu widzisz wierzchołek paraboli W(p,q). To najważniejszy punkt paraboli!
Zapamiętaj: Wzory skróconego mnożenia to Twoi najlepsi przyjaciele przy przekształcaniu funkcji kwadratowych - ² = a² + 2ab + b², ² = a² - 2ab + b² oraz a²-b² = .
2
of 3
Proporcjonalność odwrotna i funkcja wykładnicza
Proporcjonalność odwrotna zapisujemy jako xy = a lub y = a/x. Jej wykresem jest hiperbola - krzywa, która nigdy nie dotknie osi współrzędnych (to są asymptoty).
Kiedy a>0, funkcja maleje w przedziałach (-∞,0) i (0,+∞). Gdy a<0, funkcja rośnie w tych samych przedziałach. Pamiętaj, że x nigdy nie może być zerem!
Funkcja wykładnicza y = aˣ (gdzie a>0 i a≠1) to funkcja, która bardzo szybko rośnie lub maleje. Gdy a>1, funkcja rośnie, gdy 0<a<1, funkcja maleje.
Ważne: Funkcja wykładnicza nigdy nie ma miejsc zerowych i zawsze przyjmuje tylko wartości dodatnie - to jej charakterystyczna cecha!
3
of 3
Funkcja logarytmiczna
Funkcja logarytmiczna y = log_a x jest jak "odwrotność" funkcji wykładniczej. Ma dokładnie jedno miejsce zerowe w punkcie x = 1, bo log_a 1 = 0 dla każdego a.
Jej wykresem jest krzywa logarytmiczna, która może przyjmować wszystkie wartości rzeczywiste . To oznacza, że logarytm może być zarówno dodatni, jak i ujemny.
Podobnie jak przy funkcji wykładniczej, gdy a>1, funkcja rośnie, a gdy 0<a<1, funkcja maleje. Logarytmy są wszędzie wokół nas - w muzyce, chemii, a nawet w skali Richtera!
Pamiętaj: Funkcje wykładnicza i logarytmiczna to para - jedna jest odwrotnością drugiej, co często wykorzystuje się w zadaniach.
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki: Postać ogólna paraboli
2Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9Najpopularniejsze notatki
9Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS
Matematyka3,656 wyświetleń·Zaktualizowano Jun 5, 2026·3 stronyWłasności funkcji: kwadratowe, wykładnicze, logarytmiczne, proporcjonalność odwrotna
Julia Basińska@juliabasiska_wcnw
Matematyka w klasie 9 obejmuje kilka kluczowych funkcji, które na początku mogą wydawać się skomplikowane, ale z odpowiednim podejściem są całkiem logiczne. Poznasz funkcję kwadratową i jej parabolę, proporcjonalność odwrotną z hiperbolą oraz funkcje wykładniczą i logarytmiczną.
1
of 3Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Funkcja kwadratowa - podstawy
Funkcja kwadratowa to jedna z najważniejszych funkcji w matematyce, którą zapisujemy jako f(x) = ax² + bx + c, gdzie a≠0. Jej wykresem jest parabola - charakterystyczna krzywa, którą na pewno rozpoznasz.
Współczynniki mają swoje znaczenie: a decyduje o kierunku otwarcia paraboli , b wpływa na położenie, a c to miejsce, gdzie parabola przecina oś Oy.
Postać kanoniczna y = a² + q jest super przydatna, bo od razu widzisz wierzchołek paraboli W(p,q). To najważniejszy punkt paraboli!
Zapamiętaj: Wzory skróconego mnożenia to Twoi najlepsi przyjaciele przy przekształcaniu funkcji kwadratowych - ² = a² + 2ab + b², ² = a² - 2ab + b² oraz a²-b² = .
2
of 3Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Proporcjonalność odwrotna i funkcja wykładnicza
Proporcjonalność odwrotna zapisujemy jako xy = a lub y = a/x. Jej wykresem jest hiperbola - krzywa, która nigdy nie dotknie osi współrzędnych (to są asymptoty).
Kiedy a>0, funkcja maleje w przedziałach (-∞,0) i (0,+∞). Gdy a<0, funkcja rośnie w tych samych przedziałach. Pamiętaj, że x nigdy nie może być zerem!
Funkcja wykładnicza y = aˣ (gdzie a>0 i a≠1) to funkcja, która bardzo szybko rośnie lub maleje. Gdy a>1, funkcja rośnie, gdy 0<a<1, funkcja maleje.
Ważne: Funkcja wykładnicza nigdy nie ma miejsc zerowych i zawsze przyjmuje tylko wartości dodatnie - to jej charakterystyczna cecha!
3
of 3Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!
- Dostęp do wszystkich materiałów
- Popraw swoje oceny
- Dołącz do milionów studentów
Funkcja logarytmiczna
Funkcja logarytmiczna y = log_a x jest jak "odwrotność" funkcji wykładniczej. Ma dokładnie jedno miejsce zerowe w punkcie x = 1, bo log_a 1 = 0 dla każdego a.
Jej wykresem jest krzywa logarytmiczna, która może przyjmować wszystkie wartości rzeczywiste . To oznacza, że logarytm może być zarówno dodatni, jak i ujemny.
Podobnie jak przy funkcji wykładniczej, gdy a>1, funkcja rośnie, a gdy 0<a<1, funkcja maleje. Logarytmy są wszędzie wokół nas - w muzyce, chemii, a nawet w skali Richtera!
Pamiętaj: Funkcje wykładnicza i logarytmiczna to para - jedna jest odwrotnością drugiej, co często wykorzystuje się w zadaniach.
Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...
Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
Podobne notatki
Najpopularniejsze notatki: Postać ogólna paraboli
2Najpopularniejsze notatki z Matematyka
9Najpopularniejsze notatki
9Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.
Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan Sużytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klichużytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Annaużytkownik iOS