Ciąg geometryczny - najważniejsze wzory

Ciąg geometryczny to taki, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą wartość - iloraz ciągu (q). Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu to: a_n = a₁·q^$n-1$, gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu.

Jeśli znamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego: a, b, c, to zawsze zachodzi zależność: b² = a·c. To niezwykle pomocna własność przy rozwiązywaniu zadań, gdzie szukamy brakującego wyrazu, np. gdy mamy 6, 81, x-2, możemy ułożyć równanie 81² = 6·$x-2$ i obliczyć wartość x.

Sumę n pierwszych wyrazów ciągu obliczamy za pomocą wzoru:

• S_n = n·a₁ $dla q = 1$
• S_n = a₁·$1-q^n$/$1-q$ (dla q ≠ 1)

Wskazówka: Wzór na sumę ciągu geometrycznego nieskończonego $S = a₁/(1-q)$ działa tylko wtedy, gdy |q| < 1. Pamiętaj o tym warunku, rozwiązując zadania!

Ciągi geometryczne mają też praktyczne zastosowanie w finansach przy obliczaniu procentu składanego i kapitalizacji odsetek. Wzór na kapitał po n latach: K_n = K·$1 + p/(100·k)$^(n·k), gdzie K to kapitał początkowy, p - oprocentowanie w skali roku, a k - liczba kapitalizacji w roku.