Dział I - Liczby i Zbiory Liczbowe

Zbiory liczbowe i działania na przedziałach

Matematyka opiera się na różnych rodzajach liczb, które tworzą specjalne zbiory. Liczby naturalne (0, 1, 2, 3...) oznaczamy symbolem $IN$, a liczby całkowite $-2, -1, 0, 1, 2...$ symbolem $Z$.

Istnieją też liczby wymierne ($\frac{17}{3}$, 1, 0, $\frac{2}{5}$...) oznaczane jako $Q$ - to te, które można zapisać jako ułamek. Z kolei liczby niewymierne ($\sqrt{2}$, $\pi$, $\sqrt{17}$) to takie, których nie da się przedstawić jako ułamek zwykły, oznaczamy je jako $R \setminus Q$.

Przedziały liczbowe zapisujemy używając nawiasów otwartych lub zamkniętych. Przedział otwarty (1,5) zawiera wszystkie liczby między 1 i 5, ale bez tych liczb. Przedział zamknięty <3,7> zawiera wszystkie liczby od 3 do 7, włącznie z 3 i 7.

Wskazówka: Pamiętaj, że nawias okrągły oznacza, że liczba nie należy do przedziału, a nawias kwadratowy/ostry, że liczba należy do przedziału!

Na przedziałach możemy wykonywać działania:

• Suma przedziałów ($\cup$) - zawiera wszystkie elementy z obu przedziałów
• Iloczyn przedziałów ($\cap$) - zawiera tylko te elementy, które należą do obu przedziałów jednocześnie
• Różnica przedziałów (A$\setminus$B) - zawiera elementy z A, które nie należą do B

Wartość bezwzględna, podzielność i błędy

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Jeśli $|x| = 3$, to x może być równe 3 lub -3. Wartość bezwzględna zawsze daje liczbę nieujemną.

Przy sprawdzaniu podzielności liczb warto znać kilka prostych zasad:

• Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8
• Podzielność przez 3 sprawdzisz, gdy suma cyfr jest podzielna przez 3
• Liczba jest podzielna przez 5, gdy kończy się cyfrą 0 lub 5
• Podzielność przez 9 - gdy suma cyfr dzieli się przez 9
• Liczba jest podzielna przez 10, gdy kończy się cyfrą 0

W pomiarach często pojawiają się błędy. Błąd bezwzględny ($\Delta x = |x - x_0|$) to różnica między wartością dokładną a zmierzoną. Błąd względny ($\delta = \frac{\Delta x}{x} \cdot 100\%$) wyraża ten błąd procentowo.

Ważne: Nie mylcie procentów z punktami procentowymi! Gdy słyszycie, że coś wzrosło z 25% do 30%, to wzrost wynosi 5 punktów procentowych, ale procentowo to wzrost o 20% (bo $\frac{5}{25} \cdot 100\% = 20\%$).