Funkcja kwadratowa - postaci i wzory

Funkcję kwadratową możesz zapisać na trzy różne sposoby:

Pierwsza to postać ogólna: $ax^2 + bx + c$, gdzie analizujemy wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$. Gdy $\Delta > 0$, funkcja ma dwa miejsca zerowe: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ oraz $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. Gdy $\Delta = 0$, mamy jedno miejsce zerowe: $x_0 = \frac{-b}{2a}$. A gdy $\Delta < 0$, funkcja nie przecina osi OX.

Postać kanoniczna $a(x-p)^2+q$ pozwala łatwo odczytać współrzędne wierzchołka paraboli $W=(p,q)$, gdzie $p = \frac{-b}{2a}$ i $q = \frac{-\Delta}{4a}$. Jest to niezwykle praktyczne przy rysowaniu wykresu.

Postać iloczynowa używana jest gdy $\Delta > 0$ i zapisujemy wtedy $a(x-x_1)(x-x_2)$, lub gdy $\Delta = 0$ jako $a(x-x_0)^2$. Warto zapamiętać wzory Viète'a: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ oraz $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

💡 Wskazówka: Przy rozwiązywaniu zadań z parametrem, jak np. określenie, dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie, kluczowe jest wykorzystanie warunków: $\Delta > 0$, $x_1 + x_2 > 0$ i $x_1 \cdot x_2 > 0$.