Funkcja Kwadratowa: Postacie i Własności

Amelia xoxox

29.11.2025

Matematyka

Funkcja kwadratowa

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja kwadratowa

Postać kanoniczna

566

•

29 lis 2025

•

4 strony

Funkcja Kwadratowa: Postacie i Własności

Amelia xoxox

@mela6178

Funkcja kwadratowa to jeden z najważniejszych typów funkcji, z którym... Pokaż więcej

1 / 4

$C Funkcja kwadratowa Wykresem funkyi jest panabola un postać ogolna \\P(x) = ax ² + bx + C A. aso ако D U n C- punkt precięcio. 2 osią OY X$

Podstawy funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa w postaci ogólnej to f(x) = ax² + bx + c, gdzie a≠0. Kształt paraboli zależy od wartości a:

gdy a > 0 - parabola jest skierowana ramionami do góry (∪)
gdy a < 0 - parabola jest skierowana ramionami w dół (∩)

Punkt C to miejsce, gdzie parabola przecina oś OY (czyli wartość f(0)).

Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji kwadratowej, rozwiązujemy równanie: ax² + bx + c = 0

Kluczowa jest tu wartość wyróżnika: Δ = b² - 4ac. Gdy:

Δ > 0 - funkcja ma dwa miejsca zerowe: x₁ = $-b-√Δ$ /(2a) i x₂ = $-b+√Δ$ /(2a)

💡 Pamiętaj, że znak współczynnika a decyduje nie tylko o kształcie paraboli, ale też o zachowaniu funkcji - czy rośnie, czy maleje w nieskończoności!

$C Funkcja kwadratowa Wykresem funkyi jest panabola un postać ogolna \\P(x) = ax ² + bx + C A. aso ако D U n C- punkt precięcio. 2 osią OY X$

Miejsca zerowe i wierzchołek paraboli

Kontynuując temat miejsc zerowych - gdy:

Δ = 0 - funkcja ma jedno miejsce zerowe: x₀ = -b/(2a)
Δ < 0 - funkcja nie ma miejsc zerowych (parabola nie przecina osi OX)

Najważniejszym punktem paraboli jest jej wierzchołek H(p,q). Współrzędne wierzchołka możemy obliczyć:

p = -b/(2a) lub p = $x₁ + x₂$ /2 (gdy znamy miejsca zerowe)
q = -Δ/(4a) lub po prostu q = f(p)

Przez wierzchołek przechodzi oś symetrii paraboli o równaniu x = p.

Znając wierzchołek, możemy zapisać funkcję w postaci kanonicznej: f(x) = a $x-p$ ² + q

🔑 Wierzchołek paraboli to punkt, w którym funkcja przyjmuje wartość najmniejszą (gdy a > 0) lub największą (gdy a < 0)!

$C Funkcja kwadratowa Wykresem funkyi jest panabola un postać ogolna \\P(x) = ax ² + bx + C A. aso ако D U n C- punkt precięcio. 2 osią OY X$

Postać iloczynowa i własności funkcji kwadratowej

Gdy znamy miejsca zerowe funkcji, możemy zapisać ją w postaci iloczynowej:

Dla Δ > 0: f(x) = a $x-x₁$ $x-x₂$ , gdzie x₁≠x₂
Dla Δ = 0: f(x) = a $x-x₀$ ²

Własności funkcji kwadratowej zależą od znaku współczynnika a:

Gdy a > 0:

Dziedzina to cały zbiór liczb rzeczywistych (ℝ)
Zbiór wartości to ⟨q,+∞)
Funkcja maleje na $-∞,p$ i rośnie na $p,+∞$

Gdy a < 0:

Dziedzina to również cały zbiór ℝ
Zbiór wartości to (-∞,q⟩
Funkcja rośnie na $-∞,p$ i maleje na $p,+∞$

👉 Zapamiętaj trzy postacie funkcji kwadratowej: ogólną $ax²+bx+c$ , kanoniczną $a(x-p)²+q$ i iloczynową $a(x-x₁)(x-x₂)$ - umiejętność przechodzenia między nimi jest kluczowa!

$C Funkcja kwadratowa Wykresem funkyi jest panabola un postać ogolna \\P(x) = ax ² + bx + C A. aso ако D U n C- punkt precięcio. 2 osią OY X$

Przekształcenia między postaciami funkcji

Przechodzenie z postaci ogólnej do kanonicznej:

Obliczamy p = -b/(2a)
Obliczamy q = f(p)

Na przykład, dla f(x) = 2x² - 3x + 1:

p = -(-3)/(2·2) = 3/4
q = f(3/4) = -1/8 Więc f(x) = 2 $x - 3/4$ ² - 1/8

Przechodzenie z ogólnej do iloczynowej:

Obliczamy Δ i miejsca zerowe x₁, x₂
Zapisujemy f(x) = a $x-x₁$ $x-x₂$

Z kanonicznej do ogólnej rozwijamy wzory skróconego mnożenia: f(x) = 2 $x-1$ ² + 5 = 2 $x² - 2x + 1$ + 5 = 2x² - 4x + 7

Z iloczynowej do ogólnej mnożymy nawiasy: f(x) = -3 $x+2$ $x-3$ = -3 $x² - x - 6$ = -3x² + 3x + 18

💡 Potrafisz przejść z dowolnej postaci na inną? Spróbuj najpierw przekształcić funkcję do postaci ogólnej, a następnie do tej, którą chcesz uzyskać - to najłatwiejszy sposób!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Funkcja kwadratowa - dział 1 matematyka 2

1976

Wstęp do funkcji kwadratowej

951

Zamiana postaci ogólnej

799

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Funkcja kwadratowa

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie, miejsca zerowe, osie symetrii oraz monotoniczność. Przykłady zadań do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Funkcja Kwadratowa: Postacie i Własności

Podstawy funkcji kwadratowej

Miejsca zerowe i wierzchołek paraboli

Postać iloczynowa i własności funkcji kwadratowej

Przekształcenia między postaciami funkcji

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Funkcja kwadratowa - dział 1 matematyka 2

Wstęp do funkcji kwadratowej

Zamiana postaci ogólnej

Najpopularniejsze notatki: Funkcja kwadratowa

Analiza Funkcji Kwadratowej

Nierówności i Równania Kwadratowe

Funkcja kwadratowa

Właściwości Funkcji Kwadratowej

Matura Matematyka 2022

Właściwości funkcji kwadratowej

Funkcja Kwadratowa: Postać Kanoniczna i Ogólna

Funkcje Kwadratowe: Wzory i Miejsca Zerowe

Właściwości Funkcji

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Procenty

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Nierówności i Równania Kwadratowe

Geometria Figur Płaszczyzny

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza Ksiąg Biblijnych

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza 'Lalki' Prusa

Wesele: Analiza Symboli

Antyk: Filozofia i Mitologia

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

4.8/5

Funkcja Kwadratowa: Postacie i Własności

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Podstawy funkcji kwadratowej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Miejsca zerowe i wierzchołek paraboli

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Postać iloczynowa i własności funkcji kwadratowej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Przekształcenia między postaciami funkcji

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Nierówności Kwadratowe i Parabole

Funkcja Kwadratowa: Postać Kanoniczna

Zamiana Funkcji Kwadratowej

Równania Kwadratowe

Funkcje Kwadratowe: Postać Kanoniczna

Wzory Funkcji Kwadratowej

Podobne notatki

Funkcja kwadratowa - dział 1 matematyka 2

Wstęp do funkcji kwadratowej

Zamiana postaci ogólnej

Najpopularniejsze notatki: Funkcja kwadratowa

Analiza Funkcji Kwadratowej

Nierówności i Równania Kwadratowe

Funkcja kwadratowa

Właściwości Funkcji Kwadratowej

Matura Matematyka 2022

Właściwości funkcji kwadratowej

Funkcja Kwadratowa: Postać Kanoniczna i Ogólna

Funkcje Kwadratowe: Wzory i Miejsca Zerowe