Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja liniowa

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Matematyka

25 lis 2025

569

2 strony

Funkcja Liniowa - Wyjaśnienie i Przykłady

Julia Sikora @juliasikora_notatki

Obserwuj

Funkcje liniowe to podstawa matematyki, z którą będziesz mieć do czynienia przez całą szkołę średnią. To naprawdę proste... Pokaż więcej

Funkya liniowa
Wzór ogólny - F(x)=Qx+b
4
Monotomicamość f
rosnąco - 270
malejąca - 0<0
stole
0=0
-
Miejsce Levome f
0=ax+b
oblica@emy X
Drie

Funkcja liniowa - podstawy

Funkcja liniowa ma zawsze wzór f(x) = ax + b, gdzie "a" i "b" to zwykłe liczby. To naprawdę wszystko, co musisz zapamiętać jako podstawę!

Współczynnik "a" decyduje o tym, czy twoja funkcja rośnie, maleje, czy jest stała. Gdy a > 0, funkcja jest rosnąca. Gdy a < 0 - malejąca. Gdy a = 0 - masz prostą poziomą (funkcję stałą).

Żeby znaleźć miejsce zerowe, po prostu podstaw 0 zamiast f(x) i rozwiąż równanie 0 = ax + b. Punkt przecięcia z osią Oy znajdziesz, podstawiając x = 0 do wzoru.

💡 Pamiętaj Argument to "x" (to co wstawiasz), a wartość to "y" (to co otrzymujesz).

Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe $a₁ = a₂$ . Proste prostopadłe spełniają warunek a₁ · a₂ = -1.

Dziedzina funkcji to wszystkie wartości x, dla których funkcja ma sens. W prostych funkcjach liniowych dziedzina to zazwyczaj wszystkie liczby rzeczywiste, chyba że masz ułamek z x w mianowniku.

Zadania z funkcji liniowej

Oto jak rozwiązuje się typowe zadania, które mogą pojawić się na sprawdzianie lub maturze.

Zadanie 1 Gdy liczba -3 jest miejscem zerowym funkcji f(x) = $2m-1$ x + 9, oznacza to, że f(-3) = 0. Podstawiasz -3 zamiast x i rozwiązujesz równanie 0 = $2m-1$ ·(-3) + 9. Po uproszczeniu otrzymujesz m = 2.

Zadanie 2 Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(-4,3) i B(8,7) obliczasz ze wzoru a = $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$ . Po podstawieniu a = (7-3)/(8-(-4)) = 4/12 = 1/3.

💡 Wskazówka Zawsze sprawdzaj swoje obliczenia, podstawiając otrzymane wyniki z powrotem do pierwotnego równania.

Zadanie 3 Żeby proste były prostopadłe, ich współczynniki kierunkowe muszą spełniać warunek a₁ · a₂ = -1. Przekształcasz pierwsze równanie do postaci y = 3x + 4, więc a₁ = 3. Drugie równanie ma a₂ = $m-1$ /2. Z warunku prostopadłości 3 · $m-1$ /2 = -1, skąd m = 1/3.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Funkcja liniowa

Notatka dotycząca funkcji liniowej

Matematyka

Właściwości Funkcji Liniowych

Zrozumienie funkcji liniowych: miejsca zerowe, monotoniczność, przesuwanie wykresów oraz różne sposoby przedstawienia funkcji. Dowiedz się, jak interpretować dziedzinę i przeciwdziedzinę oraz zastosować wzory funkcji w praktyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Właściwości funkcji liniowej

Zrozumienie funkcji liniowej y=ax+b: miejsca zerowe, współczynnik kierunkowy, oraz charakterystyka funkcji (rosnąca, malejąca, stała). Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Zawiera kluczowe wzory i definicje.

Matematyka

Wykres Funkcji Liniowej

Zrozumienie funkcji liniowej: definicja, współczynniki a i b, oraz metody rysowania wykresu. Dowiedz się, jak określić miejsce zerowe i rozpoznać funkcje rosnące oraz malejące. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Funkcja Liniowa: Kluczowe Wzory

Zrozumienie funkcji liniowej, w tym współczynnika kierunkowego, miejsca zerowego oraz równań prostych przechodzących przez dwa punkty. Obejmuje również układy równań oraz wzory skróconego mnożenia. Idealne dla uczniów na poziomie podstawowym i rozszerzonym.

Matematyka

Właściwości funkcji liniowej

Zrozum podstawowe właściwości funkcji liniowej y = ax + b, w tym jej monotoniczność oraz miejsce zerowe. Dowiedz się, jak wartość a wpływa na kształt wykresu funkcji: rosnąca, malejąca lub stała. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Podobne notatki

Funkcja liniowa

424

Funkcje liniowe

2264

Funkcja liniowa

6124

131

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja liniowa

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Matematyka

•

569

•

25 lis 2025

•

2 strony

Funkcja Liniowa - Wyjaśnienie i Przykłady

Julia Sikora

@juliasikora_notatki

Funkcje liniowe to podstawa matematyki, z którą będziesz mieć do czynienia przez całą szkołę średnią. To naprawdę proste - każda funkcja liniowa to zwykła prosta na wykresie, a jej wzór zawsze wygląda tak samo.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Funkcja liniowa - podstawy

Funkcja liniowa ma zawsze wzór f(x) = ax + b, gdzie "a" i "b" to zwykłe liczby. To naprawdę wszystko, co musisz zapamiętać jako podstawę!

Żeby znaleźć miejsce zerowe, po prostu podstaw 0 zamiast f(x) i rozwiąż równanie 0 = ax + b. Punkt przecięcia z osią Oy znajdziesz, podstawiając x = 0 do wzoru.

💡 Pamiętaj: Argument to "x" (to co wstawiasz), a wartość to "y" (to co otrzymujesz).

Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe $a₁ = a₂$ . Proste prostopadłe spełniają warunek a₁ · a₂ = -1.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zadania z funkcji liniowej

Oto jak rozwiązuje się typowe zadania, które mogą pojawić się na sprawdzianie lub maturze.

Zadanie 1: Gdy liczba -3 jest miejscem zerowym funkcji f(x) = $2m-1$ x + 9, oznacza to, że f(-3) = 0. Podstawiasz -3 zamiast x i rozwiązujesz równanie: 0 = $2m-1$ ·(-3) + 9. Po uproszczeniu otrzymujesz m = 2.

Zadanie 2: Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(-4,3) i B(8,7) obliczasz ze wzoru a = $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$ . Po podstawieniu: a = (7-3)/(8-(-4)) = 4/12 = 1/3.

💡 Wskazówka: Zawsze sprawdzaj swoje obliczenia, podstawiając otrzymane wyniki z powrotem do pierwotnego równania.

Zadanie 3: Żeby proste były prostopadłe, ich współczynniki kierunkowe muszą spełniać warunek a₁ · a₂ = -1. Przekształcasz pierwsze równanie do postaci y = 3x + 4, więc a₁ = 3. Drugie równanie ma a₂ = $m-1$ /2. Z warunku prostopadłości: 3 · $m-1$ /2 = -1, skąd m = 1/3.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Funkcja liniowa

Notatka dotycząca funkcji liniowej

Matematyka

Podobne notatki

Funkcja liniowa

424

Funkcje liniowe

2264

Funkcja liniowa

6124

131

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS