Czym jest funkcja matematyczna?

Funkcja to specjalne przyporządkowanie, gdzie każdemu elementowi ze zbioru x odpowiada dokładnie jeden element ze zbioru y. Brzmi skomplikowanie? Wcale nie!

Wyobraź sobie, że każdemu uczniowi w klasie przyporządkowujesz jego wzrost - to będzie funkcja, bo Jaś ma jeden wzrost (170 cm), Małgosia ma jeden wzrost (160 cm). Co ważne, dwoje uczniów może mieć ten sam wzrost, ale jeden uczeń nie może mieć dwóch różnych wzrostów jednocześnie.

Nie będzie funkcją sytuacja odwrotna - gdy do wzrostu 160 cm przyporządkowujesz imiona dzieci, bo może być kilku uczniów o tym wzroście.

Funkcje możesz przedstawić na cztery sposoby: jako graf (strzałki łączące elementy), wykres (linia na układzie współrzędnych), tabelkę (argumenty x na górze, wartości y na dole) lub wzór typu f(x)=x+5.

Zapamiętaj: W funkcji jeden argument = jedna wartość!

Argumenty i wartości funkcji

Dziedzina funkcji (oznaczana Df) to zbiór wszystkich możliwych argumentów x, które możesz "wrzucić" do funkcji. Przeciwdziedzina to zbiór Y, z którego funkcja "wybiera" swoje wartości.

Zbiór wartości funkcji (ZWf) to wszystkie y, które funkcja rzeczywiście przyjmuje - czyli te elementy z przeciwdziedziny, które faktycznie są używane.

Kluczowa zasada: z każdego elementu dziedziny może wychodzić tylko jedna strzałka, ale do jednego elementu przeciwdziedziny może wchodzić wiele strzałek.

Sprawdź się: Jeśli widzisz, że z jednego punktu wychodzą dwie strzałki - to nie jest funkcja!

Miejsca zerowe funkcji

Miejsce zerowe to taki argument x, dla którego funkcja przyjmuje wartość y=0. Na wykresie to punkt, gdzie linia przecina oś x.

Żeby znaleźć miejsce zerowe algebraicznie, podstawiasz f(x)=0 i rozwiązujesz równanie. Dla funkcji f(x)=2x+8 będzie to: 2x+8=0, więc x=-4.

Funkcje kwadratowe mogą mieć zero, jedno lub dwa miejsca zerowe. Żeby je znaleźć, używasz wzoru na deltę: Δ=b²-4ac, a potem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.

Na wykresie miejsca zerowe to po prostu punkty, gdzie wykres "dotyka" lub przecina oś x - bardzo łatwo je odczytać!

Wskazówka: Jeśli wykres nie przecina osi x, funkcja nie ma miejsc zerowych.

Monotonniczność funkcji

Monotonniczność to sposób, w jaki funkcja się zachowuje - czy rośnie, maleje, czy pozostaje stała.

Funkcja rosnąca oznacza, że im większy argument x, tym większa wartość y. Funkcja malejąca to odwrotność - im większy x, tym mniejszy y. Funkcja stała ma zawsze tę samą wartość y, niezależnie od x.

Istnieją też funkcje niemalejące (rosnące lub stałe w różnych przedziałach) i nierosnące (malejące lub stałe). Gdy funkcja raz rośnie, raz maleje, nazywamy ją niemonotoniczną.

Na wykresie monotonniczność łatwo rozpoznasz: linia idąca w górę to funkcja rosnąca, w dół - malejąca, poziomo - stała.

Pamiętaj: Patrzysz zawsze od lewej do prawej strony wykresu!

Przesunięcie wykresu funkcji

Wykresy funkcji można przesuwać w płaszczyźnie jak puzzle - w prawo, lewo, górę i dół.

Przesunięcie poziome: f$x-a$ przesuwa wykres o a w prawo, f$x+a$ przesuwa o a w lewo. To może wydawać się odwrotnie niż myślisz, ale tak właśnie działa!

Przesunięcie pionowe: f(x)+b przesuwa wykres o b do góry, f(x)-b przesuwa o b w dół. Tu już jest logicznie - plus w górę, minus w dół.

Możesz łączyć oba typy przesunięć, żeby otrzymać funkcję typu f$x-2$+3, która jest przesunięta o 2 w prawo i o 3 w górę.

Trik: Zapamiętaj, że przy x działa "na odwrót" - minus to w prawo!

Funkcja liniowa - podstawy

Funkcja liniowa ma wzór f(x)=ax+b, gdzie a to współczynnik kierunkowy, a b to wyraz wolny. To jedna z najważniejszych funkcji w matematyce!

Współczynnik kierunkowy a decyduje o nachyleniu: gdy a>0, funkcja rośnie; gdy a<0, funkcja maleje; gdy a=0, funkcja jest stała.

Wyraz wolny b pokazuje, gdzie wykres przecina oś y - to bardzo przydatne przy rysowaniu!

Wykresem funkcji liniowej jest zawsze prosta linia, dlatego wystarczą ci dwa punkty, żeby ją narysować. Najłatwiej wyznaczyć punkt dla x=0 $wtedy y=b$ i jeszcze jeden punkt dla dowolnego x.

Protip: Im większe |a|, tym bardziej stroma jest prosta!

Rysowanie wykresu funkcji liniowej

Żeby narysować wykres funkcji y=-2x+4, wystarczą ci dwa punkty - funkcja liniowa to zawsze prosta linia.

Krok 1: Wybierz dwa wygodne argumenty, np. x=0 i x=3. Dla x=0 otrzymasz y=-2·0+4=4, więc pierwszy punkt to (0;4).

Krok 2: Dla x=3 obliczasz y=-2·3+4=-2, więc drugi punkt to (3;-2).

Krok 3: Zaznaczasz oba punkty na układzie współrzędnych i łączysz je prostą linią. Gotowe!

Zauważ, że punkt (0;4) to miejsce przecięcia z osią y - równe wyrazowi wolnemu b=4. To zawsze działa tak samo dla każdej funkcji liniowej.

Sprawdź się: Podstaw współrzędne trzeciego punktu do wzoru - jeśli się zgadza, wykres jest dobry!