Przedmioty

Kariera

SchoolGPT

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Równanie Okręgu i Geometria Analityczna – Wszystko Czego Potrzebujesz

27

0

user profile picture

Natalia Buć

18.10.2025

Matematyka

Geometria analityczna

Przedmioty

Matematyka

Geometria na płaszczyźnie

Równanie prostej na płaszczyźnie

Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych

1616

•

18 paź 2025

•

1 strona

Równanie Okręgu i Geometria Analityczna – Wszystko Czego Potrzebujesz

user profile picture

Natalia Buć

@nbuc

Geometria analityczna to dziedzina, która łączy algebrę z geometrią. Pozwala... Pokaż więcej

• Wektory ** • Prosta kkuk [XB-XA / YB-YA ] |AB| = √(x 8² xA)² + (¹48-YA)² S= ů 1 V <=> ux V x + My Vy = 0 ~ || ~ (=> x vy = Uy Vx=0 AB = [X

Podstawowe wzory geometrii analitycznej

Wektor między punktami A i B zapisujemy jako AB→=[xB−xA,yB−yA]\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A], a jego długość obliczamy ze wzoru ∣AB→∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. Środek odcinka AB znajdziemy za pomocą S=(xA+xB2,yA+yB2)S = (\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}).

Prostą możemy opisać równaniem kierunkowym y−yA=a(x−xA)y - y_A = a(x - x_A), gdzie a=yB−yAxB−xAa = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} jest współczynnikiem kierunkowym. Kąt między prostymi obliczamy wzorem tg α=∣A1B2−A2B1A1A2+B1B2∣\text{tg }\alpha = |\frac{A_1 B_2 - A_2 B_1}{A_1 A_2 + B_1 B_2}|.

Równanie okręgu w postaci kanonicznej to (x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, gdzie Sa,ba,b to środek, a r to promień. W postaci ogólnej zapisujemy je jako x2+y2−2ax−2by+c=0x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0. Odległość punktu od prostej wyraża wzór d(P,k)=∣Ax0+By0+C∣∣A2+B2∣d(P,k) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{|\sqrt{A^2 + B^2}|}.

Wskazówka: Przy określaniu wzajemnego położenia prostej i okręgu kluczowa jest odległość środka okręgu od prostej: jeśli d>r - prosta zewnętrzna, d=r - styczna, d<r - sieczna.

Wzajemne położenie dwóch okręgów zależy od odległości między ich środkami ∣S1S2∣|S₁S₂| oraz ich promieni r1,r2r₁, r₂. Okręgi są przecinające się, gdy |r₁-r₂| < |S₁S₂| < r₁+r₂, a styczne zewnętrznie, gdy |S₁S₂| = r₁+r₂.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Geometria na płaszczyźnie

Równanie prostej na płaszczyźnie

Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych

 

Matematyka

•

1616

•

18 paź 2025

•

1 strona

Równanie Okręgu i Geometria Analityczna – Wszystko Czego Potrzebujesz

user profile picture

Natalia Buć

@nbuc

Geometria analityczna to dziedzina, która łączy algebrę z geometrią. Pozwala nam opisywać figury geometryczne za pomocą równań i współrzędnych. Dzięki niej możemy rozwiązywać skomplikowane problemy geometryczne za pomocą prostych obliczeń.

• Wektory ** • Prosta kkuk [XB-XA / YB-YA ] |AB| = √(x 8² xA)² + (¹48-YA)² S= ů 1 V <=> ux V x + My Vy = 0 ~ || ~ (=> x vy = Uy Vx=0 AB = [X

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe wzory geometrii analitycznej

Wektor między punktami A i B zapisujemy jako AB→=[xB−xA,yB−yA]\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A], a jego długość obliczamy ze wzoru ∣AB→∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. Środek odcinka AB znajdziemy za pomocą S=(xA+xB2,yA+yB2)S = (\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}).

Prostą możemy opisać równaniem kierunkowym y−yA=a(x−xA)y - y_A = a(x - x_A), gdzie a=yB−yAxB−xAa = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} jest współczynnikiem kierunkowym. Kąt między prostymi obliczamy wzorem tg α=∣A1B2−A2B1A1A2+B1B2∣\text{tg }\alpha = |\frac{A_1 B_2 - A_2 B_1}{A_1 A_2 + B_1 B_2}|.

Równanie okręgu w postaci kanonicznej to (x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, gdzie Sa,ba,b to środek, a r to promień. W postaci ogólnej zapisujemy je jako x2+y2−2ax−2by+c=0x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0. Odległość punktu od prostej wyraża wzór d(P,k)=∣Ax0+By0+C∣∣A2+B2∣d(P,k) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{|\sqrt{A^2 + B^2}|}.

Wskazówka: Przy określaniu wzajemnego położenia prostej i okręgu kluczowa jest odległość środka okręgu od prostej: jeśli d>r - prosta zewnętrzna, d=r - styczna, d<r - sieczna.

Wzajemne położenie dwóch okręgów zależy od odległości między ich środkami ∣S1S2∣|S₁S₂| oraz ich promieni r1,r2r₁, r₂. Okręgi są przecinające się, gdy |r₁-r₂| < |S₁S₂| < r₁+r₂, a styczne zewnętrznie, gdy |S₁S₂| = r₁+r₂.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

27

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Podstawowe figury geometryczne

Zrozum podstawowe figury geometryczne, takie jak kwadrat, prostokąt, trójkąt, romb, prostopadłościan, sześcian i kula. Ta prezentacja dostarcza kluczowych informacji o ich właściwościach i zastosowaniach w geometrii. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Równania prostych i geometria

Zrozumienie równań prostych w geometrii analitycznej, w tym wyznaczanie współczynników kierunkowych, równoległości i prostopadłości prostych, a także obliczanie kątów nachylenia. Materiał obejmuje przykłady i zadania dotyczące prostych, trójkątów oraz układów równań. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Symetria Osiowa w Geometrii

Zrozumienie symetrii osiowej w układzie współrzędnych. Dowiedz się, jak wyznaczać współrzędne punktów symetrycznych względem osi OX i OY oraz prostej. Przykłady ilustrujące zastosowanie symetrii w geometrii. Typ: prezentacja.

MatematykaMatematyka
2

Wzory Geometrii Analitycznej

Zbiór kluczowych wzorów i równań z geometrii analitycznej, obejmujący proste, okręgi, symetrię oraz obliczanie pól. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Równania Geometrii Analitycznej

Zbiór kluczowych wzorów i równań z geometrii analitycznej, obejmujący długość odcinka, równania prostych oraz okręgów. Idealne dla studentów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Zawiera przykłady i zastosowania w zadaniach.

MatematykaMatematyka
2

Lista zagadnień maturalnych - Matura podstawowa

Chekilista maturalnych zagadnień na maturę podstawową z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS