Równanie Okręgu i Geometria Analityczna – Wszystko Czego Potrzebujesz

Podstawowe wzory geometrii analitycznej

Wektor między punktami A i B zapisujemy jako $\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A]$, a jego długość obliczamy ze wzoru $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Środek odcinka AB znajdziemy za pomocą $S = (\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2})$.

Prostą możemy opisać równaniem kierunkowym $y - y_A = a(x - x_A)$, gdzie $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ jest współczynnikiem kierunkowym. Kąt między prostymi obliczamy wzorem $\text{tg }\alpha = |\frac{A_1 B_2 - A_2 B_1}{A_1 A_2 + B_1 B_2}|$.

Równanie okręgu w postaci kanonicznej to $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, gdzie S(a,b) to środek, a r to promień. W postaci ogólnej zapisujemy je jako $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$. Odległość punktu od prostej wyraża wzór $d(P,k) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{|\sqrt{A^2 + B^2}|}$.

Wskazówka: Przy określaniu wzajemnego położenia prostej i okręgu kluczowa jest odległość środka okręgu od prostej: jeśli d>r - prosta zewnętrzna, d=r - styczna, d<r - sieczna.

Wzajemne położenie dwóch okręgów zależy od odległości między ich środkami (|S₁S₂|) oraz ich promieni (r₁, r₂). Okręgi są przecinające się, gdy |r₁-r₂| < |S₁S₂| < r₁+r₂, a styczne zewnętrznie, gdy |S₁S₂| = r₁+r₂.