Język polski
Biologia
Chemia
Geografia
Historia
Aparat ruchu
Układ wydalniczy
Komórka
Bakterie i wirusy. organizmy beztkankowe
Genetyka klasyczna
Badania przyrodnicze
Ekologia
Organizm człowieka jako funkcjonalna całość
Metabolizm
Genetyka molekularna
Układ pokarmowy
Proste zwierzęta bezkręgowe
Genetyka
Rozmnażanie i rozwój człowieka
Chemiczne podstawy życia
Pokaż wszystkie tematy
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Węglowodory
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Pochodne węglowodorów
Stechiometria
Gazy i ich mieszaniny
Świat substancji
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Kwasy
Sole
Wodorotlenki a zasady
Systematyka związków nieorganicznych
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Pokaż wszystkie tematy
8
0
Lencia Kali
26.11.2025
Matematyka
Geometria Analityczna
1172
•
26 lis 2025
•
Lencia Kali
@lenciakali_vaww
Poznanie różnych form równań prostej oraz operacji na nich to... Pokaż więcej
Prosta na płaszczyźnie może być zapisana na różne sposoby. Równanie kierunkowe prostej to: y = ax + b, gdzie a to współczynnik kierunkowy (tangens kąta nachylenia prostej), a b to punkt przecięcia prostej z osią OY. Gdy a = 0, prosta jest równoległa do osi OX.
Drugim sposobem zapisu jest równanie ogólne prostej: Ax + By + C = 0, gdzie A i B nie mogą być jednocześnie równe zero. Zawsze możesz przekształcić równanie z jednej formy w drugą!
⭐ Wskazówka: Aby przekształcić równanie kierunkowe na ogólne, przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę tak, aby po prawej było zero. Na przykład:
y = 3 - (4/3)xprzekształcamy na3x - y - 3 = 0.
Spójrz na przykłady:
y = 2x + 3 → 2x - y + 3 = 0 (z kierunkowego na ogólne)4x + 2y + 6 = 0 → y = -2x - 3 (z ogólnego na kierunkowe)
Dwie proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe: a₁ = a₂. Na przykład proste y = 2x + 3 i y = 2x - 2 są równoległe, ponieważ obie mają współczynnik kierunkowy równy 2.
Z kolei dwie proste są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek: a₁ · a₂ = -1. Inaczej mówiąc, współczynnik kierunkowy jednej prostej jest przeciwnością odwrotności współczynnika drugiej prostej: a₁ = -1/a₂.
🔍 Pamiętaj: Jeśli prosta ma współczynnik kierunkowy a = 2, to prosta do niej prostopadła będzie miała współczynnik a = -1/2.
Jeśli chcesz znaleźć równanie prostej równoległej lub prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez określony punkt, wystarczy:
y = ax + bbNa przykład: Prosta równoległa do y = x + 1 i przechodząca przez punkt (3,7) będzie miała równanie y = 1x + b. Podstawiając punkt: 7 = 3 + b, więc b = 4 i szukane równanie to y = x + 4.
Gdy znasz dwa punkty, przez które przechodzi prosta, możesz wyznaczyć jej równanie za pomocą wzoru:
- = 0
gdzie A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) to dane punkty.
Pracując z takim równaniem, możesz je przekształcić do formy kierunkowej, jak w przykładzie dla punktów A = (7,4) i B = (-20, 1/2):
y = /27
Odległość między dwoma punktami (długość odcinka) obliczysz ze wzoru:
|AB| = √
💡 Ciekawostka: Ten wzór na odległość wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa - tworzymy trójkąt prostokątny między punktami, a odległość to długość przeciwprostokątnej!
Ten wzór przyda ci się w wielu zadaniach geometrycznych, od obliczania długości boków wielokątów po sprawdzanie, czy punkty leżą na okręgu.
Środek odcinka AB o końcach A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) ma współrzędne:
S =
Jest to po prostu średnia arytmetyczna współrzędnych końców odcinka.
Odległość punktu od prostej to kluczowe narzędzie w geometrii analitycznej. Dla punktu P = (xₚ, yₚ) i prostej o równaniu ogólnym Ax + By + C = 0, odległość wynosi:
d = |Axₚ + Byₚ + C| / √
⚠️ Uwaga: Przed obliczeniem odległości punktu od prostej zawsze przekształć równanie prostej do postaci ogólnej!
Przykładowo, aby obliczyć odległość punktu A = (0,3) od prostej y = 2x - 1:
Środek ciężkości trójkąta ABC to punkt o współrzędnych:
S =
Jest to punkt przecięcia się środkowych trójkąta.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Lencia Kali
@lenciakali_vaww
Poznanie różnych form równań prostej oraz operacji na nich to klucz do skutecznego rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej. W tym materiale poznasz równania kierunkowe i ogólne prostej, nauczysz się określać wzajemne położenie prostych oraz obliczać odległości punktów od prostych.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Prosta na płaszczyźnie może być zapisana na różne sposoby. Równanie kierunkowe prostej to: y = ax + b, gdzie a to współczynnik kierunkowy (tangens kąta nachylenia prostej), a b to punkt przecięcia prostej z osią OY. Gdy a = 0, prosta jest równoległa do osi OX.
Drugim sposobem zapisu jest równanie ogólne prostej: Ax + By + C = 0, gdzie A i B nie mogą być jednocześnie równe zero. Zawsze możesz przekształcić równanie z jednej formy w drugą!
⭐ Wskazówka: Aby przekształcić równanie kierunkowe na ogólne, przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę tak, aby po prawej było zero. Na przykład:
y = 3 - (4/3)xprzekształcamy na3x - y - 3 = 0.
Spójrz na przykłady:
y = 2x + 3 → 2x - y + 3 = 0 (z kierunkowego na ogólne)4x + 2y + 6 = 0 → y = -2x - 3 (z ogólnego na kierunkowe)Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Dwie proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe: a₁ = a₂. Na przykład proste y = 2x + 3 i y = 2x - 2 są równoległe, ponieważ obie mają współczynnik kierunkowy równy 2.
Z kolei dwie proste są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek: a₁ · a₂ = -1. Inaczej mówiąc, współczynnik kierunkowy jednej prostej jest przeciwnością odwrotności współczynnika drugiej prostej: a₁ = -1/a₂.
🔍 Pamiętaj: Jeśli prosta ma współczynnik kierunkowy a = 2, to prosta do niej prostopadła będzie miała współczynnik a = -1/2.
Jeśli chcesz znaleźć równanie prostej równoległej lub prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez określony punkt, wystarczy:
y = ax + bbNa przykład: Prosta równoległa do y = x + 1 i przechodząca przez punkt (3,7) będzie miała równanie y = 1x + b. Podstawiając punkt: 7 = 3 + b, więc b = 4 i szukane równanie to y = x + 4.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Gdy znasz dwa punkty, przez które przechodzi prosta, możesz wyznaczyć jej równanie za pomocą wzoru:
- = 0
gdzie A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) to dane punkty.
Pracując z takim równaniem, możesz je przekształcić do formy kierunkowej, jak w przykładzie dla punktów A = (7,4) i B = (-20, 1/2):
y = /27
Odległość między dwoma punktami (długość odcinka) obliczysz ze wzoru:
|AB| = √
💡 Ciekawostka: Ten wzór na odległość wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa - tworzymy trójkąt prostokątny między punktami, a odległość to długość przeciwprostokątnej!
Ten wzór przyda ci się w wielu zadaniach geometrycznych, od obliczania długości boków wielokątów po sprawdzanie, czy punkty leżą na okręgu.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Środek odcinka AB o końcach A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) ma współrzędne:
S =
Jest to po prostu średnia arytmetyczna współrzędnych końców odcinka.
Odległość punktu od prostej to kluczowe narzędzie w geometrii analitycznej. Dla punktu P = (xₚ, yₚ) i prostej o równaniu ogólnym Ax + By + C = 0, odległość wynosi:
d = |Axₚ + Byₚ + C| / √
⚠️ Uwaga: Przed obliczeniem odległości punktu od prostej zawsze przekształć równanie prostej do postaci ogólnej!
Przykładowo, aby obliczyć odległość punktu A = (0,3) od prostej y = 2x - 1:
Środek ciężkości trójkąta ABC to punkt o współrzędnych:
S =
Jest to punkt przecięcia się środkowych trójkąta.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
8
Inteligentne Narzędzia NOWE
Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS