Granice Ciągów: Definicje, Wzory, Zadania z Rozwiązaniami i Kalkulator

Zosia Jóźwik

12.07.2025

Matematyka

Granice ciągów

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Pojęcie ciągu

1504

•

12 lip 2025

•

1 strona

Granice Ciągów: Definicje, Wzory, Zadania z Rozwiązaniami i Kalkulator

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Zosia Jóźwik

@zosiabella

Granice ciągówto kluczowe pojęcie w matematyce, które pozwala zrozumieć... Pokaż więcej

9-granica mieskończonego
ciągu <=> dla każdej nEN
więksej od 8 spełniana jest:
lan-gl< &
limes (granica)
>
lim an
Ĵ
dąży do oo
przykład:
an

Granice ciągów - definicja i własności

Dokument rozpoczyna się od przedstawienia definicji granicy ciągu liczbowego. Granica ciągu nieskończonego jest zdefiniowana jako wartość, do której ciąg zbliża się w miarę wzrostu liczby wyrazów.

Definicja: Granica ciągu an to wartość g, jeśli dla każdej liczby ε > 0 istnieje taka liczba naturalna N, że dla wszystkich n > N zachodzi |an - g| < ε.

Następnie omówiono własności granic ciągów, w tym:

Highlight: Ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę będącą liczbą rzeczywistą.

Przedstawiono również podstawowe działania na granicach ciągów:

Suma granic: lim $an + bn$ = lim an + lim bn
Różnica granic: lim $an - bn$ = lim an - lim bn
Iloczyn granic: lim $an * bn$ = lim an * lim bn
Iloraz granic: lim $an / bn$ = lim an / lim bn $gdy lim bn ≠ 0$

Example: Dla ciągu an = 2 + 1/n, lim an = 2, ponieważ 1/n dąży do 0 gdy n rośnie do nieskończoności.

Dokument zawiera także informacje o obliczaniu granic ciągów zbieżnych oraz omawia pojęcia epsilon $ε$ i delta $δ$ w kontekście granic.

Vocabulary: Epsilon $ε$ - oznacza maksymalne oddalenie wyrazu ciągu od granicy. Vocabulary: Delta $δ$ - oznacza liczby spełniające nierówność |an - g| < ε.

Na końcu strony znajdują się przykłady wartości epsilon, co pomaga w zrozumieniu praktycznego zastosowania tego pojęcia w zadaniach z granic ciągów.

Dokument stanowi solidną podstawę do zrozumienia granic ciągów i jest cennym źródłem wiedzy dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki wyższej.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Pojęcie ciągu

Matematyka

•

1504

•

12 lip 2025

•

1 strona

Granice Ciągów: Definicje, Wzory, Zadania z Rozwiązaniami i Kalkulator

Zosia Jóźwik

@zosiabella

Granice ciągów to kluczowe pojęcie w matematyce, które pozwala zrozumieć zachowanie ciągów liczbowych w nieskończoności. Dokument omawia definicję granicy ciągu, własności granic oraz metody ich obliczania.

Przedstawiono definicję granicy ciągu nieskończonego
Omówiono warunki zbieżności ciągu
Zaprezentowano przykłady i wzory do... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Granice ciągów - definicja i własności

Definicja: Granica ciągu an to wartość g, jeśli dla każdej liczby ε > 0 istnieje taka liczba naturalna N, że dla wszystkich n > N zachodzi |an - g| < ε.

Następnie omówiono własności granic ciągów, w tym:

Highlight: Ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę będącą liczbą rzeczywistą.

Przedstawiono również podstawowe działania na granicach ciągów:

Suma granic: lim $an + bn$ = lim an + lim bn
Różnica granic: lim $an - bn$ = lim an - lim bn
Iloczyn granic: lim $an * bn$ = lim an * lim bn
Iloraz granic: lim $an / bn$ = lim an / lim bn $gdy lim bn ≠ 0$

Example: Dla ciągu an = 2 + 1/n, lim an = 2, ponieważ 1/n dąży do 0 gdy n rośnie do nieskończoności.

Dokument zawiera także informacje o obliczaniu granic ciągów zbieżnych oraz omawia pojęcia epsilon $ε$ i delta $δ$ w kontekście granic.

Vocabulary: Epsilon $ε$ - oznacza maksymalne oddalenie wyrazu ciągu od granicy. Vocabulary: Delta $δ$ - oznacza liczby spełniające nierówność |an - g| < ε.

Na końcu strony znajdują się przykłady wartości epsilon, co pomaga w zrozumieniu praktycznego zastosowania tego pojęcia w zadaniach z granic ciągów.

Dokument stanowi solidną podstawę do zrozumienia granic ciągów i jest cennym źródłem wiedzy dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki wyższej.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS