Nikola <3

2.12.2025

Matematyka

Liczby całkowite i wymierne

Matematyka

Odejmowanie i Liczby Ujemne

856

•

2 gru 2025

•

1 strona

Co to są liczby całkowite i wymierne?

Nikola <3

@books_in_head

Liczby całkowite i wymierne to fundamenty matematyki, które spotkasz na... Pokaż więcej

# LICZBY CAŁKOWITE I WYMIERNE

liczby całkowite - naturalne dodatnie (1,2,3), preawne do nich
(-1,-2,-3) oraz O, oznaczamy Z

liczby wymiern

Liczby całkowite i wymierne - podstawy

Liczby całkowite (oznaczane symbolem Z) to wszystkie liczby naturalne dodatnie (1, 2, 3...), ich odpowiedniki ujemne (-1, -2, -3...) oraz zero. Stanowią one podstawę wielu obliczeń matematycznych.

Liczby wymierne (oznaczane jako Q) możemy zapisać w postaci ułamka $\frac{m}{n}$ , gdzie m i n są liczbami całkowitymi (n ≠ 0). Każdą liczbę całkowitą można również przedstawić jako wymierną, na przykład 5 = $\frac{5}{1}$ .

Działania na ułamkach mają swoje zasady:

Dodawanie: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$ $np. $\frac{2}{3} + \frac{5}{4} = \frac{8+15}{12} = \frac{23}{12}$$
Odejmowanie: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}$ $np. $\frac{8}{5} - \frac{3}{2} = \frac{16-15}{10} = \frac{1}{10}$$
Mnożenie: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ $np. $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$$
Dzielenie: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$ $np. $\frac{8}{5} : \frac{3}{4} = \frac{32}{15}$$

💡 Ciekawostka: Starożytni Egipcjanie zapisywali ułamki w wyjątkowy sposób! Dla ułamków typu $\frac{2}{n}$ (gdzie n jest liczbą nieparzystą) stosowali rozwinięcie na sumę ułamków egipskich o liczniku 1: $\frac{2}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ , gdzie $a = \frac{n+1}{2}$ i $b = \frac{n(n+1)}{2}$ . Na przykład: $\frac{2}{11} = \frac{1}{6} + \frac{1}{66}$

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Liczby rzeczywiste

1069

liczby rzeczywiste

2308

Liczby całkowite i wymierne

7647

198

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Odejmowanie i Liczby Ujemne

Matematyka

•

856

•

2 gru 2025

•

1 strona

Co to są liczby całkowite i wymierne?

Nikola <3

@books_in_head

Liczby całkowite i wymierne to fundamenty matematyki, które spotkasz na każdym etapie edukacji. W tym materiale poznasz ich definicje, nauczysz się wykonywać na nich podstawowe operacje oraz odkryjesz ciekawostkę - ułamki egipskie.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Liczby całkowite i wymierne - podstawy

Działania na ułamkach mają swoje zasady:

Dodawanie: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$ $np. $\frac{2}{3} + \frac{5}{4} = \frac{8+15}{12} = \frac{23}{12}$$
Odejmowanie: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}$ $np. $\frac{8}{5} - \frac{3}{2} = \frac{16-15}{10} = \frac{1}{10}$$
Mnożenie: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ $np. $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$$
Dzielenie: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$ $np. $\frac{8}{5} : \frac{3}{4} = \frac{32}{15}$$

💡 Ciekawostka: Starożytni Egipcjanie zapisywali ułamki w wyjątkowy sposób! Dla ułamków typu $\frac{2}{n}$ (gdzie n jest liczbą nieparzystą) stosowali rozwinięcie na sumę ułamków egipskich o liczniku 1: $\frac{2}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ , gdzie $a = \frac{n+1}{2}$ i $b = \frac{n(n+1)}{2}$ . Na przykład: $\frac{2}{11} = \frac{1}{6} + \frac{1}{66}$

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Rodzaje Liczb Matematycznych

Zrozumienie rodzajów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych i niewymiernych. Ta notatka zawiera kluczowe definicje oraz przykłady, które pomogą w nauce podstaw matematyki. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Zbiór Liczb Rzeczywistych

Odkryj zbiór liczb rzeczywistych, w tym liczby naturalne, całkowite oraz wymierne. Dowiedz się o ich właściwościach, podzielności, liczbach pierwszych oraz zastosowaniach rozkładu na czynniki. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Systemy Liczb: Całkowite i Wymierne

Zrozumienie systemów liczbowych: liczby całkowite (naturalne, przeciwne, zero) oraz liczby wymierne (iloraz m/n). Dowiedz się, jak upraszczać ułamki do postaci nieskracalnej i poznaj ich właściwości. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Liczby Naturalne i Ich Działania

Zrozumienie liczb naturalnych, ich definicji oraz podstawowych działań. Notatka omawia zbiór liczb naturalnych, w tym różnice między liczbami naturalnymi a całkowitymi. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Liczby naturalne.

Notatka z liczb naturalnych.

Matematyka

Zasady Podzielności Liczb

Odkryj zasady podzielności liczb w matematyce. Dowiedz się, jak określić, czy liczba dzieli się przez 2, 3, 4, 5, 9, 10 i 25 na podstawie jej cyfr. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów i testów. Typ: Podsumowanie.

Matematyka

Podobne notatki

Liczby rzeczywiste

1069

liczby rzeczywiste

2308

Liczby całkowite i wymierne

7647

198

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS