Postać iloczynowa funkcji kwadratowej: Przykłady i wyjaśnienia

lilith_cb97

25.11.2025

Matematyka

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Matematyka

Techniki Rozkładu Wielomianów na Czynniki

Postać iloczynowa

787

•

25 lis 2025

•

2 strony

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej: Przykłady i wyjaśnienia

Name: Knowunity
Brand: Knowunity
Rating: 4.6 (95900 reviews)

lilith_cb97

@spear.b.

Postać iloczynowa to jeden z trzech sposobów zapisywania funkcji kwadratowej... Pokaż więcej

* POSTAC ILOCZYNOWA
FUNKCJI KWADRATOWEJ
postać ogólna f(x) = ax² + bx + c₁ a#0
postać kanoniczna f(x) = a (x − p) ²³+q₁
=
wienchołek (p, q)

Trzy postacie funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa może być zapisana na trzy różne sposoby, które dają ci różne informacje. Postać ogólna to $f(x) = ax^2 + bx + c$ , postać kanoniczna to $f(x) = a(x-p)^2 + q$ (gdzie widzisz od razu wierzchołek), a postać iloczynowa to $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ .

W postaci iloczynowej masz rozkład na czynniki liniowe - to znaczy, że funkcję zapisujesz jako iloczyn prostszych wyrażeń. Na przykład: $y = (3x+2)(x-7)$ albo $y = 3(x+\frac{2}{3})(x-7)$ .

Żeby przejść z postaci iloczynowej do ogólnej, po prostu wykonujesz mnożenie. Weź przykład $y = 2(x-3)(x+5)$ - po pomnożeniu otrzymasz $y = 2x^2 + 4x - 30$ .

Pamiętaj: Postać iloczynowa od razu pokazuje ci miejsca zerowe funkcji - to wartości $x_1$ i $x_2$ !

Kiedy można zapisać funkcję w postaci iloczynowej?

Nie każdą funkcję kwadratową da się rozłożyć na czynniki - wszystko zależy od dyskryminanty $\Delta = b^2 - 4ac$ . To jak sprawdzenie, czy równanie ma rozwiązania!

Gdy $\Delta > 0$ , masz szczęście - równanie ma dwa różne pierwiastki $x_1$ i $x_2$ . Możesz wtedy spokojnie zapisać funkcję jako $y = a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Jeśli $\Delta = 0$ , to masz jeden pierwiastek podwójny $x_0$ , więc postać iloczynowa to $y = a(x-x_0)^2$ . Ale gdy $\Delta < 0$ , to przykro mi - równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych i nie da się rozłożyć na czynniki.

Wskazówka: Zawsze najpierw oblicz dyskrymiantę - to ci powie, czy w ogóle warto próbować rozkładu na czynniki!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Nierówności wielomianowe

1789

funkcja kwadratowa

319

Postać iloczynowa

1147

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Techniki Rozkładu Wielomianów na Czynniki

Postać iloczynowa

Matematyka

•

787

•

25 lis 2025

•

2 strony

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej: Przykłady i wyjaśnienia

lilith_cb97

@spear.b.

Postać iloczynowa to jeden z trzech sposobów zapisywania funkcji kwadratowej - obok postaci ogólnej i kanonicznej. To super przydatny sposób, bo od razu widzisz miejsca zerowe funkcji!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Trzy postacie funkcji kwadratowej

W postaci iloczynowej masz rozkład na czynniki liniowe - to znaczy, że funkcję zapisujesz jako iloczyn prostszych wyrażeń. Na przykład: $y = (3x+2)(x-7)$ albo $y = 3(x+\frac{2}{3})(x-7)$ .

Żeby przejść z postaci iloczynowej do ogólnej, po prostu wykonujesz mnożenie. Weź przykład $y = 2(x-3)(x+5)$ - po pomnożeniu otrzymasz $y = 2x^2 + 4x - 30$ .

Pamiętaj: Postać iloczynowa od razu pokazuje ci miejsca zerowe funkcji - to wartości $x_1$ i $x_2$ !

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Kiedy można zapisać funkcję w postaci iloczynowej?

Nie każdą funkcję kwadratową da się rozłożyć na czynniki - wszystko zależy od dyskryminanty $\Delta = b^2 - 4ac$ . To jak sprawdzenie, czy równanie ma rozwiązania!

Gdy $\Delta > 0$ , masz szczęście - równanie ma dwa różne pierwiastki $x_1$ i $x_2$ . Możesz wtedy spokojnie zapisać funkcję jako $y = a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Wskazówka: Zawsze najpierw oblicz dyskrymiantę - to ci powie, czy w ogóle warto próbować rozkładu na czynniki!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Rozwiązywanie Nierówności Wielomianowych

Praktyczny przewodnik po rozwiązywaniu nierówności wielomianowych. Zawiera szczegółowe przykłady, omówienie krotności pierwiastków oraz zasady rysowania funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Równania Kwadratowe

Zrozumienie równań kwadratowych: teoria, przykłady oraz zadania do samodzielnego rozwiązania. Obejmuje właściwości funkcji, przekształcenia, miejsca zerowe oraz rozwiązywanie nierówności. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury.

Matematyka

Miejsca Zerowe Funkcji Kwadratowej

Zrozum, jak przekształcić funkcję kwadratową z postaci ogólnej do iloczynowej. Dowiedz się, jak obliczać miejsca zerowe oraz zastosować wzory na deltę. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: Podsumowanie.

Matematyka

Nierówności i Równania Kwadratowe

Zgłębiaj nierówności i równania kwadratowe! Dowiedz się o własnościach funkcji kwadratowej, miejscach zerowych, oraz sposobach przekształcania postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej. Przykłady zadań tekstowych oraz szczegółowe omówienie delty i jej zastosowania w rozwiązywaniu równań. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

Matematyka

Optymalizacja funkcji kwadratowej

Przewodnik po optymalizacji funkcji kwadratowej. Dowiedz się, jak wyznaczyć wzór funkcji, określić dziedzinę oraz obliczyć wartości ekstremalne. Idealne dla studentów matematyki, którzy chcą zrozumieć zastosowanie funkcji kwadratowych w zadaniach optymalizacyjnych.

Matematyka

Właściwości funkcji kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: zakres, wierzchołek, miejsca zerowe oraz monotoniczność. Praktyczne przykłady rozwiązywania równań i nierówności kwadratowych. Idealne dla uczniów na poziomie podstawowym.

Matematyka

Podobne notatki

Nierówności wielomianowe

1789

funkcja kwadratowa

319

Postać iloczynowa

1147

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS