Przedmioty

Przedmioty

Więcej

Szukaj

Knowunity Pro

AI Knowunity

Przedmioty

/

Matematyka

/

Wielomiany

/

Działania na wielomianach

/

Wymierne pierwiastki o współczynnikach całkowitych

Twierdzenie Bezouta i Dzielenie Wielomianów - Proste Zadania i Wzory

Zobacz

Twierdzenie Bezouta i Dzielenie Wielomianów - Proste Zadania i Wzory
user profile picture

Elwira Drzonek

@elwiradrzonek_matmaonline

·

4120 Obserwujących

Obserwuj

Twierdzenie Bézouta dla wielomianów to kluczowe narzędzie w algebrze, pozwalające na analizę pierwiastków wielomianów. Umożliwia ono sprawdzenie, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu oraz dzielenie wielomianów.

  • Definicja twierdzenia Bézouta mówi, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a).
  • Twierdzenie to ma zastosowanie w dwóch kierunkach: sprawdzanie pierwiastków i dzielność wielomianów.
  • Przykłady zastosowania twierdzenia Bézouta obejmują sprawdzanie podzielności wielomianów i wyznaczanie pierwiastków.
  • Twierdzenie o reszcie jest ściśle związane z twierdzeniem Bézouta i pomaga w obliczaniu reszty z dzielenia wielomianów.

28.04.2022

337

DEFINICJA TWIERDZENIE BEZOUTA mówi nam, 28 liczba a jest pierwiastlucm Nielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy Nielomian w(X) jest podzieln

Zobacz

Twierdzenie o reszcie i jego zastosowania

Na tej stronie omówiono twierdzenie o reszcie, które jest ściśle związane z twierdzeniem Bezouta. Twierdzenie to mówi, że jeśli r jest resztą z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-a), to r = W(a). Jest to niezwykle użyteczne narzędzie do obliczania reszt z dzielenia wielomianów przez dwumiany bez konieczności przeprowadzania pełnego procesu dzielenia.

Przedstawiono przykład zastosowania tego twierdzenia do obliczenia reszty z dzielenia wielomianu W(x)=x⁵+x⁴+x³+x+1 przez dwumian g(x)=(x+1). Wykorzystując twierdzenie o reszcie, wystarczy obliczyć wartość W(-1), co daje wynik -1.

Przykład: Dla wielomianu W(x)=x⁵+x⁴+x³+x+1 i dwumianu g(x)=(x+1), reszta z dzielenia wynosi W(-1) = (-1)⁵ + (-1)⁴ + (-1)³ + (-1) + 1 = -1.

To twierdzenie znacznie upraszcza obliczenia związane z dzieleniem wielomianów i jest często wykorzystywane w bardziej zaawansowanych zagadnieniach algebraicznych.

Highlight: Twierdzenie o reszcie jest potężnym narzędziem, które pozwala na szybkie obliczenie reszty z dzielenia wielomianu przez dwumian bez konieczności przeprowadzania pełnego procesu dzielenia.

DEFINICJA TWIERDZENIE BEZOUTA mówi nam, 28 liczba a jest pierwiastlucm Nielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy Nielomian w(X) jest podzieln

Zobacz

Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem twierdzenia Bezouta

W tym rozdziale przedstawiono bardziej zaawansowane zastosowanie twierdzenia Bezouta w rozwiązywaniu zadań z wielomianami. Zadanie polega na wyznaczeniu pozostałych pierwiastków wielomianu trzeciego stopnia W(x)=x³+5x²+2x-8, gdy wiadomo, że a=-4 jest jednym z jego pierwiastków.

Proces rozwiązania składa się z dwóch głównych kroków:

  1. Dzielenie wielomianu W(x) przez dwumian (x+4), co prowadzi do rozkładu W(x) na czynniki: W(x) = (x²+x-2)(x+4).

  2. Obliczenie pierwiastków otrzymanego trójmianu kwadratowego x²+x-2=0, które są pozostałymi pierwiastkami wielomianu W(x).

Highlight: Wykorzystanie twierdzenia Bezouta pozwala na efektywne rozłożenie wielomianu na czynniki, co znacznie ułatwia znalezienie jego pierwiastków.

Rozwiązanie tego zadania demonstruje, jak twierdzenie Bezouta może być wykorzystane w praktyce do analizy i rozkładu wielomianów wyższych stopni, co jest kluczową umiejętnością w zaawansowanej algebrze.

DEFINICJA TWIERDZENIE BEZOUTA mówi nam, 28 liczba a jest pierwiastlucm Nielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy Nielomian w(X) jest podzieln

Zobacz

Definicja i twierdzenie Bezouta

Twierdzenie Bezouta jest fundamentalnym twierdzeniem w teorii wielomianów. Mówi ono, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a). Twierdzenie to można stosować w dwóch kierunkach: jeśli a jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to wielomian jest podzielny przez dwumian (x-a), oraz jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a), to a jest pierwiastkiem wielomianu.

Definicja: Pierwiastek wielomianu to taka wartość x, dla której wielomian W(x) przyjmuje wartość 0 (W(x)=0).

To twierdzenie jest niezwykle użyteczne w analizie wielomianów i rozwiązywaniu związanych z nimi problemów matematycznych.

Highlight: Twierdzenie Bezouta jest kluczowym narzędziem w badaniu właściwości wielomianów i ich pierwiastków.

DEFINICJA TWIERDZENIE BEZOUTA mówi nam, 28 liczba a jest pierwiastlucm Nielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy Nielomian w(X) jest podzieln

Zobacz

Przykłady zastosowania twierdzenia Bezouta

Na tej stronie przedstawiono praktyczne zastosowania twierdzenia Bezouta w rozwiązywaniu zadań matematycznych. Pierwsze zadanie polega na sprawdzeniu, czy dany wielomian W(x) jest podzielny przez określony dwumian g(x). W przykładzie a) wielomian W(x)=x²-2x³+3x²-3x+1 jest sprawdzany pod kątem podzielności przez g(x)=x-1. Stosując twierdzenie Bezouta, wstawiamy a=1 do wielomianu W(x) i obliczamy jego wartość. Ponieważ W(1)=0, wiemy, że 1 jest pierwiastkiem wielomianu, a zatem W(x) jest podzielny przez (x-1).

W przykładzie b) sprawdzamy, czy wielomian W(x)=x²+8x²+2x+16 jest podzielny przez g(x)=x+2. Po wstawieniu a=-2 do W(x) otrzymujemy wartość różną od zera, co oznacza, że wielomian nie jest podzielny przez (x+2).

Przykład: W(x)=x²-2x³+3x²-3x+1, g(x)=x-1. Po wstawieniu a=1 do W(x) otrzymujemy W(1)=0, co potwierdza podzielność W(x) przez (x-1).

Te przykłady pokazują, jak twierdzenie Bezouta może być wykorzystane do szybkiego sprawdzenia podzielności wielomianów przez dwumiany, co jest często przydatne w rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów algebraicznych.

Podobne notatki

Know wielomiany thumbnail

186

5478

1/3

wielomiany

wielomiany

Know Funkcja wymierna dziedzina i działania thumbnail

34

1596

1/2

Funkcja wymierna dziedzina i działania

Funkcja wymierna dziedzina i działania Przykłady, rozszerzenie

Know mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych thumbnail

30

1354

1/2

mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

zasady mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych wraz z zasadami

Know wielomiany thumbnail

6

369

1/2

wielomiany

matematyka

Know Potęgi o wykładniku wymiernym Własności potęg o tym samym wykładniku thumbnail

31

1405

1/2

Potęgi o wykładniku wymiernym Własności potęg o tym samym wykładniku

Potęgi o wykładniku wymiernym Własności potęg o tym samym wykładniku

Know stopień i współczynniki wielomianu thumbnail

22

751

1/2

stopień i współczynniki wielomianu

Podstawowe informacje przy wyznaczaniu stopnia i współczynników wielomianu + zadania

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

/

Matematyka

/

Wielomiany

/

Działania na wielomianach

/

Wymierne pierwiastki o współczynnikach całkowitych

Twierdzenie Bezouta i Dzielenie Wielomianów - Proste Zadania i Wzory

user profile picture

Elwira Drzonek

@elwiradrzonek_matmaonline

·

4120 Obserwujących

Obserwuj

Twierdzenie Bézouta dla wielomianów to kluczowe narzędzie w algebrze, pozwalające na analizę pierwiastków wielomianów. Umożliwia ono sprawdzenie, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu oraz dzielenie wielomianów.

  • Definicja twierdzenia Bézouta mówi, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a).
  • Twierdzenie to ma zastosowanie w dwóch kierunkach: sprawdzanie pierwiastków i dzielność wielomianów.
  • Przykłady zastosowania twierdzenia Bézouta obejmują sprawdzanie podzielności wielomianów i wyznaczanie pierwiastków.
  • Twierdzenie o reszcie jest ściśle związane z twierdzeniem Bézouta i pomaga w obliczaniu reszty z dzielenia wielomianów.

28.04.2022

337

 

1/2

 

Matematyka

10

DEFINICJA TWIERDZENIE BEZOUTA mówi nam, 28 liczba a jest pierwiastlucm Nielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy Nielomian w(X) jest podzieln

Twierdzenie o reszcie i jego zastosowania

Na tej stronie omówiono twierdzenie o reszcie, które jest ściśle związane z twierdzeniem Bezouta. Twierdzenie to mówi, że jeśli r jest resztą z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-a), to r = W(a). Jest to niezwykle użyteczne narzędzie do obliczania reszt z dzielenia wielomianów przez dwumiany bez konieczności przeprowadzania pełnego procesu dzielenia.

Przedstawiono przykład zastosowania tego twierdzenia do obliczenia reszty z dzielenia wielomianu W(x)=x⁵+x⁴+x³+x+1 przez dwumian g(x)=(x+1). Wykorzystując twierdzenie o reszcie, wystarczy obliczyć wartość W(-1), co daje wynik -1.

Przykład: Dla wielomianu W(x)=x⁵+x⁴+x³+x+1 i dwumianu g(x)=(x+1), reszta z dzielenia wynosi W(-1) = (-1)⁵ + (-1)⁴ + (-1)³ + (-1) + 1 = -1.

To twierdzenie znacznie upraszcza obliczenia związane z dzieleniem wielomianów i jest często wykorzystywane w bardziej zaawansowanych zagadnieniach algebraicznych.

Highlight: Twierdzenie o reszcie jest potężnym narzędziem, które pozwala na szybkie obliczenie reszty z dzielenia wielomianu przez dwumian bez konieczności przeprowadzania pełnego procesu dzielenia.

DEFINICJA TWIERDZENIE BEZOUTA mówi nam, 28 liczba a jest pierwiastlucm Nielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy Nielomian w(X) jest podzieln

Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem twierdzenia Bezouta

W tym rozdziale przedstawiono bardziej zaawansowane zastosowanie twierdzenia Bezouta w rozwiązywaniu zadań z wielomianami. Zadanie polega na wyznaczeniu pozostałych pierwiastków wielomianu trzeciego stopnia W(x)=x³+5x²+2x-8, gdy wiadomo, że a=-4 jest jednym z jego pierwiastków.

Proces rozwiązania składa się z dwóch głównych kroków:

  1. Dzielenie wielomianu W(x) przez dwumian (x+4), co prowadzi do rozkładu W(x) na czynniki: W(x) = (x²+x-2)(x+4).

  2. Obliczenie pierwiastków otrzymanego trójmianu kwadratowego x²+x-2=0, które są pozostałymi pierwiastkami wielomianu W(x).

Highlight: Wykorzystanie twierdzenia Bezouta pozwala na efektywne rozłożenie wielomianu na czynniki, co znacznie ułatwia znalezienie jego pierwiastków.

Rozwiązanie tego zadania demonstruje, jak twierdzenie Bezouta może być wykorzystane w praktyce do analizy i rozkładu wielomianów wyższych stopni, co jest kluczową umiejętnością w zaawansowanej algebrze.

DEFINICJA TWIERDZENIE BEZOUTA mówi nam, 28 liczba a jest pierwiastlucm Nielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy Nielomian w(X) jest podzieln

Definicja i twierdzenie Bezouta

Twierdzenie Bezouta jest fundamentalnym twierdzeniem w teorii wielomianów. Mówi ono, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a). Twierdzenie to można stosować w dwóch kierunkach: jeśli a jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to wielomian jest podzielny przez dwumian (x-a), oraz jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a), to a jest pierwiastkiem wielomianu.

Definicja: Pierwiastek wielomianu to taka wartość x, dla której wielomian W(x) przyjmuje wartość 0 (W(x)=0).

To twierdzenie jest niezwykle użyteczne w analizie wielomianów i rozwiązywaniu związanych z nimi problemów matematycznych.

Highlight: Twierdzenie Bezouta jest kluczowym narzędziem w badaniu właściwości wielomianów i ich pierwiastków.

DEFINICJA TWIERDZENIE BEZOUTA mówi nam, 28 liczba a jest pierwiastlucm Nielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy Nielomian w(X) jest podzieln

Przykłady zastosowania twierdzenia Bezouta

Na tej stronie przedstawiono praktyczne zastosowania twierdzenia Bezouta w rozwiązywaniu zadań matematycznych. Pierwsze zadanie polega na sprawdzeniu, czy dany wielomian W(x) jest podzielny przez określony dwumian g(x). W przykładzie a) wielomian W(x)=x²-2x³+3x²-3x+1 jest sprawdzany pod kątem podzielności przez g(x)=x-1. Stosując twierdzenie Bezouta, wstawiamy a=1 do wielomianu W(x) i obliczamy jego wartość. Ponieważ W(1)=0, wiemy, że 1 jest pierwiastkiem wielomianu, a zatem W(x) jest podzielny przez (x-1).

W przykładzie b) sprawdzamy, czy wielomian W(x)=x²+8x²+2x+16 jest podzielny przez g(x)=x+2. Po wstawieniu a=-2 do W(x) otrzymujemy wartość różną od zera, co oznacza, że wielomian nie jest podzielny przez (x+2).

Przykład: W(x)=x²-2x³+3x²-3x+1, g(x)=x-1. Po wstawieniu a=1 do W(x) otrzymujemy W(1)=0, co potwierdza podzielność W(x) przez (x-1).

Te przykłady pokazują, jak twierdzenie Bezouta może być wykorzystane do szybkiego sprawdzenia podzielności wielomianów przez dwumiany, co jest często przydatne w rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów algebraicznych.

Podobne notatki

Matematyka - wielomiany

wielomiany

186

5478

2

Know wielomiany thumbnail

Matematyka - Funkcja wymierna dziedzina i działania

Funkcja wymierna dziedzina i działania Przykłady, rozszerzenie

34

1596

0

Know Funkcja wymierna dziedzina i działania thumbnail

Matematyka - mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

zasady mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych wraz z zasadami

30

1354

0

Know mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych thumbnail

Matematyka - wielomiany

matematyka

6

369

0

Know wielomiany thumbnail

Matematyka - Potęgi o wykładniku wymiernym Własności potęg o tym samym wykładniku

Potęgi o wykładniku wymiernym Własności potęg o tym samym wykładniku

31

1405

0

Know Potęgi o wykładniku wymiernym Własności potęg o tym samym wykładniku thumbnail

Matematyka - stopień i współczynniki wielomianu

Podstawowe informacje przy wyznaczaniu stopnia i współczynników wielomianu + zadania

22

751

0

Know stopień i współczynniki wielomianu thumbnail

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.