Twierdzenie Bezouta i Dzielenie Wielomianów - Proste Zadania i Wzory

Otwórz

Elwira Drzonek

28.04.2022

Matematyka

Twierdzenie Bèzouta

Przedmioty

Matematyka

Wielomiany

Działania na wielomianach

Wymierne pierwiastki o współczynnikach całkowitych

Twierdzenie Bezouta i Dzielenie Wielomianów - Proste Zadania i Wzory

Twierdzenie Bézouta dla wielomianów to kluczowe narzędzie w algebrze, pozwalające na analizę pierwiastków wielomianów. Umożliwia ono sprawdzenie, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu oraz dzielenie wielomianów.

Definicja twierdzenia Bézouta mówi, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a).
Twierdzenie to ma zastosowanie w dwóch kierunkach: sprawdzanie pierwiastków i dzielność wielomianów.
Przykłady zastosowania twierdzenia Bézouta obejmują sprawdzanie podzielności wielomianów i wyznaczanie pierwiastków.
Twierdzenie o reszcie jest ściśle związane z twierdzeniem Bézouta i pomaga w obliczaniu reszty z dzielenia wielomianów.

28.04.2022

DEFINICJA
TWIERDZENIE BEZOUTA mówi nam, 28 liczba a
jest pierwiastlucm Nielomianu W(x) wtedy i tylko
wtedy, gdy Nielomian w(X) jest podzieln

Zobacz

Przykłady zastosowania twierdzenia Bezouta

Na tej stronie przedstawiono praktyczne zastosowania twierdzenia Bezouta w rozwiązywaniu zadań matematycznych. Pierwsze zadanie polega na sprawdzeniu, czy dany wielomian W $x$ jest podzielny przez określony dwumian g $x$ . W przykładzie a) wielomian W $x$ =x²-2x³+3x²-3x+1 jest sprawdzany pod kątem podzielności przez g $x$ =x-1. Stosując twierdzenie Bezouta, wstawiamy a=1 do wielomianu W $x$ i obliczamy jego wartość. Ponieważ W $1$ =0, wiemy, że 1 jest pierwiastkiem wielomianu, a zatem W $x$ jest podzielny przez $x-1$ .

W przykładzie b) sprawdzamy, czy wielomian W $x$ =x²+8x²+2x+16 jest podzielny przez g $x$ =x+2. Po wstawieniu a=-2 do W $x$ otrzymujemy wartość różną od zera, co oznacza, że wielomian nie jest podzielny przez $x+2$ .

Przykład: W $x$ =x²-2x³+3x²-3x+1, g $x$ =x-1. Po wstawieniu a=1 do W $x$ otrzymujemy W $1$ =0, co potwierdza podzielność W $x$ przez $x-1$ .

Te przykłady pokazują, jak twierdzenie Bezouta może być wykorzystane do szybkiego sprawdzenia podzielności wielomianów przez dwumiany, co jest często przydatne w rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów algebraicznych.

Zobacz

Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem twierdzenia Bezouta

W tym rozdziale przedstawiono bardziej zaawansowane zastosowanie twierdzenia Bezouta w rozwiązywaniu zadań z wielomianami. Zadanie polega na wyznaczeniu pozostałych pierwiastków wielomianu trzeciego stopnia W $x$ =x³+5x²+2x-8, gdy wiadomo, że a=-4 jest jednym z jego pierwiastków.

Proces rozwiązania składa się z dwóch głównych kroków:

Dzielenie wielomianu W $x$ przez dwumian $x+4$ , co prowadzi do rozkładu W $x$ na czynniki: W $x$ = $x²+x-2$ $x+4$ .
Obliczenie pierwiastków otrzymanego trójmianu kwadratowego x²+x-2=0, które są pozostałymi pierwiastkami wielomianu W $x$ .

Highlight: Wykorzystanie twierdzenia Bezouta pozwala na efektywne rozłożenie wielomianu na czynniki, co znacznie ułatwia znalezienie jego pierwiastków.

Rozwiązanie tego zadania demonstruje, jak twierdzenie Bezouta może być wykorzystane w praktyce do analizy i rozkładu wielomianów wyższych stopni, co jest kluczową umiejętnością w zaawansowanej algebrze.

Zobacz

Twierdzenie o reszcie i jego zastosowania

Na tej stronie omówiono twierdzenie o reszcie, które jest ściśle związane z twierdzeniem Bezouta. Twierdzenie to mówi, że jeśli r jest resztą z dzielenia wielomianu W $x$ przez dwumian $x-a$ , to r = W $a$ . Jest to niezwykle użyteczne narzędzie do obliczania reszt z dzielenia wielomianów przez dwumiany bez konieczności przeprowadzania pełnego procesu dzielenia.

Przedstawiono przykład zastosowania tego twierdzenia do obliczenia reszty z dzielenia wielomianu W $x$ =x⁵+x⁴+x³+x+1 przez dwumian g $x$ = $x+1$ . Wykorzystując twierdzenie o reszcie, wystarczy obliczyć wartość W $-1$ , co daje wynik -1.

Przykład: Dla wielomianu W $x$ =x⁵+x⁴+x³+x+1 i dwumianu g $x$ = $x+1$ , reszta z dzielenia wynosi W $-1$ = $-1$ ⁵ + $-1$ ⁴ + $-1$ ³ + $-1$ + 1 = -1.

To twierdzenie znacznie upraszcza obliczenia związane z dzieleniem wielomianów i jest często wykorzystywane w bardziej zaawansowanych zagadnieniach algebraicznych.

Highlight: Twierdzenie o reszcie jest potężnym narzędziem, które pozwala na szybkie obliczenie reszty z dzielenia wielomianu przez dwumian bez konieczności przeprowadzania pełnego procesu dzielenia.

Podobne notatki

Know Funkcja wymierna dziedzina i działania thumbnail

1999

1/2

Funkcja wymierna dziedzina i działania

Funkcja wymierna dziedzina i działania Przykłady, rozszerzenie

3453

4/3

Wielomiany

Notatka z teorią o wielomianach

191

6408

1/3

wielomiany

Know mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych thumbnail

2031

1/2

mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

zasady mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych wraz z zasadami

4585

4/2

WIELOMIANY

ZADANIA MATURALNE

Know Równania i nierówności z parametrem. Poziom rozszerzony. thumbnail

608

4/2

Równania i nierówności z parametrem. Poziom rozszerzony.

Poziom rozszerzony.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Wielomiany

Działania na wielomianach

Wymierne pierwiastki o współczynnikach całkowitych

Matematyka

•

412

•

28 kwi 2022

•

4 strony

Twierdzenie Bezouta i Dzielenie Wielomianów - Proste Zadania i Wzory

Elwira Drzonek

@elwiradrzonek_matmaonline

Definicja twierdzenia Bézoutamówi, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Przykłady zastosowania twierdzenia Bezouta

Przykład: W $x$ =x²-2x³+3x²-3x+1, g $x$ =x-1. Po wstawieniu a=1 do W $x$ otrzymujemy W $1$ =0, co potwierdza podzielność W $x$ przez $x-1$ .

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem twierdzenia Bezouta

Proces rozwiązania składa się z dwóch głównych kroków:

Dzielenie wielomianu W $x$ przez dwumian $x+4$ , co prowadzi do rozkładu W $x$ na czynniki: W $x$ = $x²+x-2$ $x+4$ .
Obliczenie pierwiastków otrzymanego trójmianu kwadratowego x²+x-2=0, które są pozostałymi pierwiastkami wielomianu W $x$ .

Highlight: Wykorzystanie twierdzenia Bezouta pozwala na efektywne rozłożenie wielomianu na czynniki, co znacznie ułatwia znalezienie jego pierwiastków.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Twierdzenie o reszcie i jego zastosowania

Przykład: Dla wielomianu W $x$ =x⁵+x⁴+x³+x+1 i dwumianu g $x$ = $x+1$ , reszta z dzielenia wynosi W $-1$ = $-1$ ⁵ + $-1$ ⁴ + $-1$ ³ + $-1$ + 1 = -1.

To twierdzenie znacznie upraszcza obliczenia związane z dzieleniem wielomianów i jest często wykorzystywane w bardziej zaawansowanych zagadnieniach algebraicznych.

Highlight: Twierdzenie o reszcie jest potężnym narzędziem, które pozwala na szybkie obliczenie reszty z dzielenia wielomianu przez dwumian bez konieczności przeprowadzania pełnego procesu dzielenia.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Definicja i twierdzenie Bezouta

Twierdzenie Bezouta jest fundamentalnym twierdzeniem w teorii wielomianów. Mówi ono, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W $x$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W $x$ jest podzielny przez dwumian $x-a$ . Twierdzenie to można stosować w dwóch kierunkach: jeśli a jest pierwiastkiem wielomianu W $x$ , to wielomian jest podzielny przez dwumian $x-a$ , oraz jeśli wielomian W $x$ jest podzielny przez dwumian $x-a$ , to a jest pierwiastkiem wielomianu.

Definicja: Pierwiastek wielomianu to taka wartość x, dla której wielomian W $x$ przyjmuje wartość 0 $W(x$ =0).

To twierdzenie jest niezwykle użyteczne w analizie wielomianów i rozwiązywaniu związanych z nimi problemów matematycznych.

Highlight: Twierdzenie Bezouta jest kluczowym narzędziem w badaniu właściwości wielomianów i ich pierwiastków.

Podobne notatki

Funkcja wymierna dziedzina i działania

1999

Wielomiany

3453

wielomiany

6408

191

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS