Podstawy ułamków algebraicznych

Utamek algebraiczny i twierdzenie o średnich

Utamek algebraiczny to wyrażenie postaci $\frac{W(x)}{P(x)}$, gdzie P$x$≠0. Pamiętaj, że mianownik utamka określa jego założenia, czyli wartości, dla których wyrażenie jest określone.

Ważnym elementem algebry jest twierdzenie o średnich. Pokazuje ono zależność między trzema rodzajami średnich:

$\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+...+ a_n^2}{n}} \geq \frac{a_1+ a_2+... a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2....a_n}$

Co to oznacza? Że średnia kwadratowa jest większa lub równa średniej arytmetycznej, która z kolei jest większa lub równa średniej geometrycznej. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie wartości są sobie równe.

💡 Wskazówka: Twierdzenie o średnich często pomaga w rozwiązywaniu nierówności. Jeśli widzisz zadanie z porównaniem różnych rodzajów średnich, od razu pomyśl o tym twierdzeniu!

Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna to funkcja postaci $f(x)=\frac{Ax+B}{Cx+D}$, gdzie AD-BC≠0 (ten warunek zapewnia, że funkcja nie jest liniowa). Najprostszym przykładem jest $f(x)=\frac{1}{x}$.

Właściwości funkcji homograficznej:

• Dziedziną jest R bez wartości, dla których mianownik równa się 0
• Posiada asymptotę pionową dla x=0 (w przypadku $f(x)=\frac{1}{x}$)
• Posiada asymptotę poziomą y=0 (w przypadku $f(x)=\frac{1}{x}$)

Warto też pamiętać o funkcjach parzystych i nieparzystych:

• Funkcja parzysta: f$-x$ = f$x$
• Funkcja nieparzysta: f$-x$ = -f$x$