Weronika

28.11.2025

Matematyka

Ułamki algebraiczne

Przedmioty

Matematyka

Wielomiany

Działania na wielomianach

1727

•

28 lis 2025

•

1 strona

Podstawy ułamków algebraicznych

Name: Knowunity
Brand: Knowunity
Rating: 4.6 (95900 reviews)

Weronika

@weronika_31

Utamki algebraiczne to ważny element algebry, który wymaga rozumienia podstawowych... Pokaż więcej

$# utamek algebraiczny mianownik = ZAŁOŻENIA Tamek algebraiczny $\approx$ czyli $\frac{W(x)}{P(x)}$ i P(x)70 tw.o średnich $\sqrt{\frac{a_$

Utamek algebraiczny i twierdzenie o średnich

Utamek algebraiczny to wyrażenie postaci $\frac{W(x)}{P(x)}$ , gdzie P(x)≠0. Pamiętaj, że mianownik utamka określa jego założenia, czyli wartości, dla których wyrażenie jest określone.

Ważnym elementem algebry jest twierdzenie o średnich. Pokazuje ono zależność między trzema rodzajami średnich:

$\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+...+ a_n^2}{n}} \geq \frac{a_1+ a_2+... a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2....a_n}$

Co to oznacza? Że średnia kwadratowa jest większa lub równa średniej arytmetycznej, która z kolei jest większa lub równa średniej geometrycznej. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie wartości są sobie równe.

💡 Wskazówka: Twierdzenie o średnich często pomaga w rozwiązywaniu nierówności. Jeśli widzisz zadanie z porównaniem różnych rodzajów średnich, od razu pomyśl o tym twierdzeniu!

Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna to funkcja postaci $f(x)=\frac{Ax+B}{Cx+D}$ , gdzie AD-BC≠0 (ten warunek zapewnia, że funkcja nie jest liniowa). Najprostszym przykładem jest $f(x)=\frac{1}{x}$ .

Właściwości funkcji homograficznej:

Dziedziną jest R bez wartości, dla których mianownik równa się 0
Posiada asymptotę pionową dla x=0 $w przypadku $f(x)=\frac{1}{x}$$
Posiada asymptotę poziomą y=0 $w przypadku $f(x)=\frac{1}{x}$$

Warto też pamiętać o funkcjach parzystych i nieparzystych:

Funkcja parzysta: f $-x$ = f(x)
Funkcja nieparzysta: f $-x$ = -f(x)

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Wielomiany Rozszerzenie z parametrem

1004

Równania i nierówności z parametrem. Poziom rozszerzony.

745

Wielomiany

3973

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Wielomiany

Działania na wielomianach

Matematyka

•

1727

•

28 lis 2025

•

1 strona

Podstawy ułamków algebraicznych

Weronika

@weronika_31

Utamki algebraiczne to ważny element algebry, który wymaga rozumienia podstawowych pojęć matematycznych. W tych notatkach poznasz definicję utamka algebraicznego, twierdzenie o średnich oraz funkcje homograficzne.

$# utamek algebraiczny mianownik = ZAŁOŻENIA Tamek algebraiczny $\approx$ czyli $\frac{W(x)}{P(x)}$ i P(x)70 tw.o średnich $\sqrt{\frac{a_$

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Utamek algebraiczny i twierdzenie o średnich

Ważnym elementem algebry jest twierdzenie o średnich. Pokazuje ono zależność między trzema rodzajami średnich:

$\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+...+ a_n^2}{n}} \geq \frac{a_1+ a_2+... a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2....a_n}$

💡 Wskazówka: Twierdzenie o średnich często pomaga w rozwiązywaniu nierówności. Jeśli widzisz zadanie z porównaniem różnych rodzajów średnich, od razu pomyśl o tym twierdzeniu!

Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna to funkcja postaci $f(x)=\frac{Ax+B}{Cx+D}$ , gdzie AD-BC≠0 (ten warunek zapewnia, że funkcja nie jest liniowa). Najprostszym przykładem jest $f(x)=\frac{1}{x}$ .

Właściwości funkcji homograficznej:

Dziedziną jest R bez wartości, dla których mianownik równa się 0
Posiada asymptotę pionową dla x=0 $w przypadku $f(x)=\frac{1}{x}$$
Posiada asymptotę poziomą y=0 $w przypadku $f(x)=\frac{1}{x}$$

Warto też pamiętać o funkcjach parzystych i nieparzystych:

Funkcja parzysta: f $-x$ = f(x)
Funkcja nieparzysta: f $-x$ = -f(x)

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Rozwiązywanie Wielomianów

Odkryj metody rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych z parametrem. Materiał obejmuje właściwości funkcji, zastosowanie twierdzenia Bézouta oraz analizy wykresów. Idealne dla studentów matematyki, którzy chcą zgłębić temat wielomianów i ich zastosowań. Typ: Podsumowanie.

Matematyka

Równania z parametrem: Rozwiązania

Zgłębiaj metody rozwiązywania równań i nierówności z parametrem. Dowiedz się, jak określić wartości parametrów, dla których równania mają różne rodzaje rozwiązań, w tym dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz warunki dotyczące dodatnich rozwiązań. Idealne dla uczniów na poziomie rozszerzonym.

Matematyka

Teoria Wielomianów

Zgłębiaj teorię wielomianów, w tym twierdzenie Bézouta, tożsamości specjalne oraz zasady dzielenia z resztą. Dowiedz się, jak rozwiązywać nierówności i stosować skrócone mnożenie. Idealne dla studentów matematyki na poziomie średnim i wyższym.

Matematyka

Mnożenie i Dzielenie Ułamków

Zrozum zasady mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych. Przykłady ilustrujące operacje na ułamkach oraz techniki uproszczenia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Bézouta i Wielomiany

Zrozumienie twierdzenia Bézouta oraz jego zastosowania w dzieleniu wielomianów. Przykłady zadań ilustrujące, jak znaleźć pierwiastki wielomianów i obliczyć reszty z dzielenia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Operacje na Pierwiastkach

Zrozumienie działań na pierwiastkach, w tym mnożenie, dzielenie oraz wyciąganie czynników przed znak pierwiastka. Przykłady dla pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Podobne notatki

Wielomiany Rozszerzenie z parametrem

1004

Równania i nierówności z parametrem. Poziom rozszerzony.

745

Wielomiany

3973

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS