Wartość bezwzględna: definicja, nierówności, zadania i wzory - klasa 6

238

kuba_study

14.10.2025

Matematyka

Wartość bezwzględna

Matematyka

Wielkości Wektorowe i Pomiary

5409

•

14 paź 2025

•

2 strony

Wartość bezwzględna: definicja, nierówności, zadania i wzory - klasa 6

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

kuba_study

@kuba_study

Wartość bezwzględna i równania linioweto kluczowe pojęcia w matematyce.... Pokaż więcej

# Wartosc bezwzgledna

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x to
liczba x, jeśli x jest liczbą nieujemny lub liczba
przeciwna do x, jeśli

Równania i nierówności liniowe z parametrem

Równania z wartością bezwzględną to ważny temat w matematyce, który łączy pojęcie wartości bezwzględnej z równaniami liniowymi. Równanie liniowe z jedną niewiadomą x to równanie, które można przekształcić równoważnie do postaci ax + b = 0, gdzie a i b to ustalone liczby rzeczywiste.

Definition: Równanie liniowe to równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, które można zapisać w postaci ax + b = 0, gdzie a ≠ 0.

Rozwiązania równań liniowych zależą od wartości parametrów a i b:

Gdy a ≠ 0, równanie ma jedno rozwiązanie: x = -b/a
Gdy a = 0 i b ≠ 0, równanie jest sprzeczne (brak rozwiązań)
Gdy a = 0 i b = 0, równanie jest tożsamościowe (nieskończenie wiele rozwiązań)

Example: Dla równania 2x + 3 = 0, mamy a = 2 i b = 3. Rozwiązaniem jest x = -3/2.

Nierówności z wartością bezwzględną to kolejny ważny temat. Nierówność liniowa z jedną niewiadomą x to nierówność przyjmująca postać ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0 lub ax + b ≤ 0.

Highlight: Jeśli a ≠ 0, to każda nierówność liniowa to nierówność pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Równania i nierówności z wartością bezwzględną często wymagają rozważenia różnych przypadków, w zależności od znaku wyrażenia wewnątrz wartości bezwzględnej.

Układy równań pierwszego stopnia to zestaw dwóch lub więcej równań liniowych, które należy rozwiązać jednocześnie. Dla układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂

Rozwiązanie zależy od wyznacznika głównego (W) i wyznaczników pomocniczych (Wx, Wy):

Gdy W ≠ 0, układ ma jedno rozwiązanie: x = Wx/W, y = Wy/W
Gdy W = 0 i Wx = Wy = 0, układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
Gdy W = 0 i (Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0), układ nie ma rozwiązań

Vocabulary: Wyznacznik - wartość liczbowa obliczana na podstawie współczynników układu równań, która pozwala określić liczbę rozwiązań układu.

Równania z wartością bezwzględną - rozszerzenie często wymagają analizy różnych przedziałów i mogą prowadzić do złożonych rozwiązań. Podobnie, nierówności z wartością bezwzględną mogą wymagać rozważenia wielu przypadków i przedziałów.

Wartość bezwzględna i jej własności

Wartość bezwzględna definicja to kluczowe pojęcie w matematyce, które określa odległość liczby od zera na osi liczbowej. Wartość bezwzględna z x jest zawsze nieujemna i definiuje się ją jako:

|x| = x, jeśli x ≥ 0 |x| = -x, jeśli x < 0

Definition: Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x to liczba x, jeśli x jest liczbą nieujemną, lub liczba przeciwna do x, jeśli x jest ujemna.

Własności wartości bezwzględnej obejmują:

|x| ≥ 0 - wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna
|x| = |-x| - wartości bezwzględne danej liczby i liczby do niej przeciwnej są równe
|x + y| ≤ |x| + |y| - nierówność trójkąta
|xy| = |x| · |y| - wartość bezwzględna iloczynu

Example: Odległość między liczbami na osi liczbowej. Jeśli dane są 2 liczby a, b na osi liczbowej $b ≥ a$ , to odległość między nimi jest równa b - a.

Wartość bezwzględną nierówności można rozwiązywać, korzystając z następujących zasad:

|w| = a ⇒ $w = a ∨ w = -a$
|w| < a ⇒ -a < w < a
|w| ≤ a ⇒ -a ≤ w ≤ a
|w| > a ⇒ w < -a ∨ w > a
|w| ≥ a ⇒ w ≤ -a ∨ w ≥ a

Highlight: Wartość bezwzględna liczby x jest równa odległości tej liczby od zera na osi liczbowej.

Wartość bezwzględna działania obejmuje również ważne własności, takie jak:

√ $x²$ = |x|
|x|² = x²
-|x| ≤ x ≤ |x|

Vocabulary: Środek odcinka - punkt na osi liczbowej, który dzieli odcinek na dwie równe części. Wyznacza się go jako średnią arytmetyczną współrzędnych końców odcinka.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Wielkości Wektorowe i Pomiary

Matematyka

•

5409

•

14 paź 2025

•

2 strony

Wartość bezwzględna: definicja, nierówności, zadania i wzory - klasa 6

kuba_study

@kuba_study

Wartość bezwzględna i równania linioweto kluczowe pojęcia w matematyce. Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi liczbowej, zawsze nieujemna. Równania liniowe z parametrem to równania pierwszego stopnia, które można przekształcić do postaci ax+b=0. Nierówności liniowe i układy... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Równania i nierówności liniowe z parametrem

Definition: Równanie liniowe to równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, które można zapisać w postaci ax + b = 0, gdzie a ≠ 0.

Rozwiązania równań liniowych zależą od wartości parametrów a i b:

Gdy a ≠ 0, równanie ma jedno rozwiązanie: x = -b/a
Gdy a = 0 i b ≠ 0, równanie jest sprzeczne (brak rozwiązań)
Gdy a = 0 i b = 0, równanie jest tożsamościowe (nieskończenie wiele rozwiązań)

Example: Dla równania 2x + 3 = 0, mamy a = 2 i b = 3. Rozwiązaniem jest x = -3/2.

Highlight: Jeśli a ≠ 0, to każda nierówność liniowa to nierówność pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Równania i nierówności z wartością bezwzględną często wymagają rozważenia różnych przypadków, w zależności od znaku wyrażenia wewnątrz wartości bezwzględnej.

Układy równań pierwszego stopnia to zestaw dwóch lub więcej równań liniowych, które należy rozwiązać jednocześnie. Dla układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂

Rozwiązanie zależy od wyznacznika głównego (W) i wyznaczników pomocniczych (Wx, Wy):

Gdy W ≠ 0, układ ma jedno rozwiązanie: x = Wx/W, y = Wy/W
Gdy W = 0 i Wx = Wy = 0, układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
Gdy W = 0 i (Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0), układ nie ma rozwiązań

Vocabulary: Wyznacznik - wartość liczbowa obliczana na podstawie współczynników układu równań, która pozwala określić liczbę rozwiązań układu.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wartość bezwzględna i jej własności

|x| = x, jeśli x ≥ 0 |x| = -x, jeśli x < 0

Definition: Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x to liczba x, jeśli x jest liczbą nieujemną, lub liczba przeciwna do x, jeśli x jest ujemna.

Własności wartości bezwzględnej obejmują:

|x| ≥ 0 - wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna
|x| = |-x| - wartości bezwzględne danej liczby i liczby do niej przeciwnej są równe
|x + y| ≤ |x| + |y| - nierówność trójkąta
|xy| = |x| · |y| - wartość bezwzględna iloczynu

Example: Odległość między liczbami na osi liczbowej. Jeśli dane są 2 liczby a, b na osi liczbowej $b ≥ a$ , to odległość między nimi jest równa b - a.

Wartość bezwzględną nierówności można rozwiązywać, korzystając z następujących zasad:

|w| = a ⇒ $w = a ∨ w = -a$
|w| < a ⇒ -a < w < a
|w| ≤ a ⇒ -a ≤ w ≤ a
|w| > a ⇒ w < -a ∨ w > a
|w| ≥ a ⇒ w ≤ -a ∨ w ≥ a

Highlight: Wartość bezwzględna liczby x jest równa odległości tej liczby od zera na osi liczbowej.

Wartość bezwzględna działania obejmuje również ważne własności, takie jak:

√ $x²$ = |x|
|x|² = x²
-|x| ≤ x ≤ |x|

Vocabulary: Środek odcinka - punkt na osi liczbowej, który dzieli odcinek na dwie równe części. Wyznacza się go jako średnią arytmetyczną współrzędnych końców odcinka.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

238

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS