Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

10 gru 2025

1261

36 strony

Najważniejsze wzory matematyczne dla uczniów

N

Nadia Wac @nadiawac

Ten materiał to oficjalny zestaw wzorów matematycznych na maturę - twoja ściągka z najważniejszymi formułami! Znajdziesz tu wszystko,... Pokaż więcej

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Strona tytułowa

Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny to oficjalny materiał przygotowany przez Centralną Komisję Egzaminacyjną. To twój najlepszy sprzymierzeniec podczas przygotowań do matury!

Ten zbiór wzorów zawiera wszystkie kluczowe formuły, które możesz potrzebować na egzaminie. Pamiętaj - te wzory będziesz mieć dostępne również podczas matury, więc warto się z nimi zapoznać już teraz.

💡 Wskazówka Nie musisz uczyć się wszystkich wzorów na pamięć - ważniejsze jest zrozumienie, kiedy ich używać!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Zespół redakcyjny

Materiał został przygotowany przez doświadczonych matematyków i egzaminatorów z różnych ośrodków egzaminacyjnych w Polsce. W zespole znaleźli się między innymi specjaliści z CKE oraz okręgowych komisji egzaminacyjnych.

Recenzentami byli dr hab. Jan Jakóbowski z UWM oraz Agata Górniak, która przeprowadziła recenzję nauczycielską. Dzięki temu materiał jest sprawdzony zarówno pod kątem merytorycznym, jak i praktycznym.

💡 Warto wiedzieć Materiał przeszedł dokładną weryfikację, więc możesz mu w pełni zaufać podczas przygotowań!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Spis treści

Wzory zostały podzielone na kluczowe działy matematyki maturalnej. Znajdziesz tu formuły dotyczące wartości bezwzględnej, potęg i pierwiastków oraz logarytmów.

Materiał obejmuje również silnie i współczynniki dwumianowe, wzór Newtona i wzory skróconego mnożenia. Nie zabrakło też działów dotyczących funkcji kwadratowej i ciągów.

Każdy dział zawiera najważniejsze wzory wraz z warunkami ich stosowania. To oznacza, że nie tylko dostaniesz gotową formułę, ale też dowiesz się, kiedy można jej użyć.

💡 Rada Zapoznaj się ze spisem treści - pomoże ci szybko znaleźć potrzebne wzory podczas egzaminu!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Wartość bezwzględna, potęgi i pierwiastki

Wartość bezwzględna |x| to po prostu odległość liczby od zera na osi liczbowej. Jeśli x ≥ 0, to |x| = x, a jeśli x < 0, to |x| = -x.

Zapamiętaj kluczowe własności |x| ≥ 0 zawsze, |x| = 0 tylko gdy x = 0, oraz |-x| = |x|. Dla działań mamy |x·y| = |x|·|y| i jeśli y ≠ 0, to |x/y| = |x|/|y|.

Potęgi definiujemy jako aⁿ = a·a·...·a (n razy). Pierwiastek arytmetyczny ⁿ√a to liczba, która podniesiona do potęgi n daje a. Pamiętaj, że √a² = |a|!

Wzory na potęgi działają dla a > 0 i b > 0 aʳ·aˢ = aʳ⁺ˢ, (aʳ)ˢ = aʳ·ˢ, (a·b)ʳ = aʳ·bʳ.

💡 Uwaga Pierwiastki parzystego stopnia z liczb ujemnych nie istnieją w liczbach rzeczywistych!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Potęgi - ciąg dalszy i logarytmy

Dla potęg z wykładnikami ułamkowymi a^m/nm/n = ⁿ√(aᵐ) gdy a ≥ 0. Gdy a > 0, to a^m/n-m/n = 1/ⁿ√(aᵐ).

Ważne dla nierówności jeśli 0 < a < 1, to aˣ < aʸ oznacza x > y. Jeśli a > 1, to aˣ < aʸ oznacza x < y.

Logarytm log_a b to wykładnik, do którego trzeba podnieść a, żeby otrzymać b. Czyli log_a b = c wtedy i tylko wtedy, gdy aᶜ = b.

Podstawowe wzory logarytmów log_a(x·y) = log_a x + log_a y, log_ax/yx/y = log_a x - log_a y, log_a(xʳ) = r·log_a x.

💡 Pamiętaj Wzór na zmianę podstawy - log_b c = logaclog_a c/logablog_a b - bardzo przydatny!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Silnia i współczynnik dwumianowy

Silnia n! to iloczyn kolejnych liczb od 1 do n n! = 1·2·3·...·n. Dodatkowo 0! = 1 z definicji.

Przydatny wzór n+1n+1! = n!·n+1n+1 - ułatwia obliczenia!

Współczynnik dwumianowy C(n,k) = n!/k!(nk)!k!(n-k)! pokazuje, na ile sposobów można wybrać k elementów z n elementów.

Kluczowe wzory C(n,0) = 1, C(n,1) = n, C(n,n) = 1, C(n,k) = Cn,nkn,n-k. Bardzo przydatny jest też wzór Pascal'a C(n,k) + Cn,k+1n,k+1 = Cn+1,k+1n+1,k+1.

💡 Wskazówka Współczynniki dwumianowe są symetryczne - C(n,k) = Cn,nkn,n-k!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Wzór dwumianowy Newtona i wzory skróconego mnożenia

Wzór dwumianowy Newtona pozwala rozłożyć a+ba+bⁿ na sumę wyrazów z współczynnikami dwumianowymi. Dla aba-bⁿ naprzemiennie zmieniają się znaki.

Wzory skróconego mnożenia to podstawa! a+ba+b² = a² + 2ab + b², aba-b² = a² - 2ab + b², a+ba+b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Kluczowe rozkłady a² - b² = aba-ba+ba+b, a³ - b³ = aba-ba2+ab+b2a² + ab + b², a³ + b³ = a+ba+ba2ab+b2a² - ab + b².

Uniwersalny wzór aⁿ - bⁿ = aba-ban1+an2b+...+abn2+bn1aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + ... + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹.

💡 Rada Wzory a² - 1 = a1a-1a+1a+1 i a³ - 1 = a1a-1a2+a+1a² + a + 1 są bardzo często przydatne!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Funkcja kwadratowa - część 1

Wyróżnik Δ = b² - 4ac to klucz do zrozumienia funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c.

Wierzchołek paraboli ma współrzędne W = (p,q), gdzie p = -b/(2a), q = -Δ/(4a). Jeśli a > 0, ramiona skierowane ku górze, jeśli a < 0 - ku dołowi.

Liczba miejsc zerowych zależy od Δ

  • Δ > 0 dwa różne miejsca zerowe x₁,₂ = b±Δ-b ± √Δ/(2a)
  • Δ = 0 jedno miejsce zerowe x = -b/(2a)
  • Δ < 0 brak miejsc zerowych

Postać kanoniczna f(x) = axpx-p² + q, gdzie (p,q) to wierzchołek.

💡 Pamiętaj Znak przy a decyduje o kierunku ramion paraboli!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Funkcja kwadratowa - część 2 i ciągi arytmetyczne

Gdy Δ ≥ 0, funkcję kwadratową można zapisać w postaci iloczynowej f(x) = axx1x-x₁xx2x-x₂.

Wzory Vieta jeśli równanie ax² + bx + c = 0 ma pierwiastki x₁, x₂, to x₁ + x₂ = -b/a i x₁·x₂ = c/a.

Ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę r między sąsiednimi wyrazami. n-ty wyraz aₙ = a₁ + n1n-1r.

Suma n początkowych wyrazów Sₙ = a1+ana₁ + aₙn/2 = 2a1+(n1)r2a₁ + (n-1)rn/2.

Własność środkowa aₙ = an1+an+1aₙ₋₁ + aₙ₊₁/2 - każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów.

💡 Wskazówka W ciągu arytmetycznym różnica między dowolnymi sąsiednimi wyrazami jest taka sama!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Ciągi geometryczne i procent składany

Ciąg geometryczny ma stały iloraz q między sąsiednimi wyrazami. n-ty wyraz aₙ = a₁·qⁿ⁻¹.

Suma n początkowych wyrazów Sₙ = a₁1qn1-qⁿ/1q1-q dla q ≠ 1, Sₙ = n·a₁ dla q = 1.

Własność środkowa aₙ² = aₙ₋₁·aₙ₊₁ - każdy wyraz jest średnią geometryczną sąsiadów.

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego jeśli |q| < 1, to S = a₁/1q1-q.

Procent składany kapitał po n latach Kₙ = K₀1+p/1001 + p/100ⁿ, gdzie p to oprocentowanie w %.

Twierdzenia o granicach granice można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić (gdy mianownik ≠ 0).

💡 Ważne Nieskończona suma istnieje tylko gdy |q| < 1!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

21

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Podstawy Trygonometrii

Zrozumienie podstawowych funkcji trygonometrycznych oraz ich zastosowania w obliczeniach trójkątów prostokątnych. Materiał obejmuje wartości funkcji dla kątów 30°, 45°, 60° oraz zasady rozwiązywania trójkątów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Trygonometria Kątów 30°, 45°, 60°

Zrozumienie funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens i cotangens dla kątów 30°, 45° i 60°. Przykłady obliczeń oraz zastosowanie wzorów trygonometrycznych w praktyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
1

Rozwiązywanie Trójkątów Prostokątnych

Dowiedz się, jak rozwiązać trójkąt prostokątny, obliczając długości boków i miary kątów. Przykład z kątem 30° i przyprostokątną 8. Zawiera zasady trygonometrii oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

MatematykaMatematyka
1

Funkcje Trygonometryczne w Trójkącie Prostokątnym

Zrozumienie funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens w kontekście trójkąta prostokątnego. Materiał obejmuje definicje, wzory oraz przykłady zastosowania tych funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Rodzaje Kątów Geometrii

Zrozumienie różnych rodzajów kątów w geometrii, w tym kątów ostrych, prostych, rozwartych oraz wierzchołkowych. Dowiedz się o ich właściwościach i zastosowaniach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
6

Równania Trygonometryczne

Zrozumienie równań trygonometrycznych, w tym szczególnych przypadków, sum i różnic kątów oraz wielokrotności kątów. Materiał obejmuje przykłady rozwiązań oraz kluczowe wzory. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
3

Najpopularniejsze notatki: funkcje trygonometryczne

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Najpopularniejsze notatki

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

 

Matematyka

1261

10 gru 2025

36 strony

Najważniejsze wzory matematyczne dla uczniów

N

Nadia Wac

@nadiawac

Ten materiał to oficjalny zestaw wzorów matematycznych na maturę - twoja ściągka z najważniejszymi formułami! Znajdziesz tu wszystko, czego potrzebujesz do rozwiązywania zadań z algebry, funkcji i ciągów.

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Strona tytułowa

Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny to oficjalny materiał przygotowany przez Centralną Komisję Egzaminacyjną. To twój najlepszy sprzymierzeniec podczas przygotowań do matury!

Ten zbiór wzorów zawiera wszystkie kluczowe formuły, które możesz potrzebować na egzaminie. Pamiętaj - te wzory będziesz mieć dostępne również podczas matury, więc warto się z nimi zapoznać już teraz.

💡 Wskazówka: Nie musisz uczyć się wszystkich wzorów na pamięć - ważniejsze jest zrozumienie, kiedy ich używać!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zespół redakcyjny

Materiał został przygotowany przez doświadczonych matematyków i egzaminatorów z różnych ośrodków egzaminacyjnych w Polsce. W zespole znaleźli się między innymi specjaliści z CKE oraz okręgowych komisji egzaminacyjnych.

Recenzentami byli dr hab. Jan Jakóbowski z UWM oraz Agata Górniak, która przeprowadziła recenzję nauczycielską. Dzięki temu materiał jest sprawdzony zarówno pod kątem merytorycznym, jak i praktycznym.

💡 Warto wiedzieć: Materiał przeszedł dokładną weryfikację, więc możesz mu w pełni zaufać podczas przygotowań!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Spis treści

Wzory zostały podzielone na kluczowe działy matematyki maturalnej. Znajdziesz tu formuły dotyczące wartości bezwzględnej, potęg i pierwiastków oraz logarytmów.

Materiał obejmuje również silnie i współczynniki dwumianowe, wzór Newtona i wzory skróconego mnożenia. Nie zabrakło też działów dotyczących funkcji kwadratowej i ciągów.

Każdy dział zawiera najważniejsze wzory wraz z warunkami ich stosowania. To oznacza, że nie tylko dostaniesz gotową formułę, ale też dowiesz się, kiedy można jej użyć.

💡 Rada: Zapoznaj się ze spisem treści - pomoże ci szybko znaleźć potrzebne wzory podczas egzaminu!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wartość bezwzględna, potęgi i pierwiastki

Wartość bezwzględna |x| to po prostu odległość liczby od zera na osi liczbowej. Jeśli x ≥ 0, to |x| = x, a jeśli x < 0, to |x| = -x.

Zapamiętaj kluczowe własności: |x| ≥ 0 zawsze, |x| = 0 tylko gdy x = 0, oraz |-x| = |x|. Dla działań mamy |x·y| = |x|·|y| i jeśli y ≠ 0, to |x/y| = |x|/|y|.

Potęgi definiujemy jako aⁿ = a·a·...·a (n razy). Pierwiastek arytmetyczny ⁿ√a to liczba, która podniesiona do potęgi n daje a. Pamiętaj, że √a² = |a|!

Wzory na potęgi działają dla a > 0 i b > 0: aʳ·aˢ = aʳ⁺ˢ, (aʳ)ˢ = aʳ·ˢ, (a·b)ʳ = aʳ·bʳ.

💡 Uwaga: Pierwiastki parzystego stopnia z liczb ujemnych nie istnieją w liczbach rzeczywistych!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Potęgi - ciąg dalszy i logarytmy

Dla potęg z wykładnikami ułamkowymi: a^m/nm/n = ⁿ√(aᵐ) gdy a ≥ 0. Gdy a > 0, to a^m/n-m/n = 1/ⁿ√(aᵐ).

Ważne dla nierówności: jeśli 0 < a < 1, to aˣ < aʸ oznacza x > y. Jeśli a > 1, to aˣ < aʸ oznacza x < y.

Logarytm log_a b to wykładnik, do którego trzeba podnieść a, żeby otrzymać b. Czyli log_a b = c wtedy i tylko wtedy, gdy aᶜ = b.

Podstawowe wzory logarytmów: log_a(x·y) = log_a x + log_a y, log_ax/yx/y = log_a x - log_a y, log_a(xʳ) = r·log_a x.

💡 Pamiętaj: Wzór na zmianę podstawy - log_b c = logaclog_a c/logablog_a b - bardzo przydatny!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Silnia i współczynnik dwumianowy

Silnia n! to iloczyn kolejnych liczb od 1 do n: n! = 1·2·3·...·n. Dodatkowo 0! = 1 z definicji.

Przydatny wzór: n+1n+1! = n!·n+1n+1 - ułatwia obliczenia!

Współczynnik dwumianowy C(n,k) = n!/k!(nk)!k!(n-k)! pokazuje, na ile sposobów można wybrać k elementów z n elementów.

Kluczowe wzory: C(n,0) = 1, C(n,1) = n, C(n,n) = 1, C(n,k) = Cn,nkn,n-k. Bardzo przydatny jest też wzór Pascal'a: C(n,k) + Cn,k+1n,k+1 = Cn+1,k+1n+1,k+1.

💡 Wskazówka: Współczynniki dwumianowe są symetryczne - C(n,k) = Cn,nkn,n-k!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzór dwumianowy Newtona i wzory skróconego mnożenia

Wzór dwumianowy Newtona pozwala rozłożyć a+ba+bⁿ na sumę wyrazów z współczynnikami dwumianowymi. Dla aba-bⁿ naprzemiennie zmieniają się znaki.

Wzory skróconego mnożenia to podstawa! a+ba+b² = a² + 2ab + b², aba-b² = a² - 2ab + b², a+ba+b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Kluczowe rozkłady: a² - b² = aba-ba+ba+b, a³ - b³ = aba-ba2+ab+b2a² + ab + b², a³ + b³ = a+ba+ba2ab+b2a² - ab + b².

Uniwersalny wzór: aⁿ - bⁿ = aba-ban1+an2b+...+abn2+bn1aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + ... + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹.

💡 Rada: Wzory a² - 1 = a1a-1a+1a+1 i a³ - 1 = a1a-1a2+a+1a² + a + 1 są bardzo często przydatne!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Funkcja kwadratowa - część 1

Wyróżnik Δ = b² - 4ac to klucz do zrozumienia funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c.

Wierzchołek paraboli ma współrzędne W = (p,q), gdzie p = -b/(2a), q = -Δ/(4a). Jeśli a > 0, ramiona skierowane ku górze, jeśli a < 0 - ku dołowi.

Liczba miejsc zerowych zależy od Δ:

  • Δ > 0: dwa różne miejsca zerowe x₁,₂ = b±Δ-b ± √Δ/(2a)
  • Δ = 0: jedno miejsce zerowe x = -b/(2a)
  • Δ < 0: brak miejsc zerowych

Postać kanoniczna: f(x) = axpx-p² + q, gdzie (p,q) to wierzchołek.

💡 Pamiętaj: Znak przy a decyduje o kierunku ramion paraboli!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Funkcja kwadratowa - część 2 i ciągi arytmetyczne

Gdy Δ ≥ 0, funkcję kwadratową można zapisać w postaci iloczynowej: f(x) = axx1x-x₁xx2x-x₂.

Wzory Vieta: jeśli równanie ax² + bx + c = 0 ma pierwiastki x₁, x₂, to x₁ + x₂ = -b/a i x₁·x₂ = c/a.

Ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę r między sąsiednimi wyrazami. n-ty wyraz: aₙ = a₁ + n1n-1r.

Suma n początkowych wyrazów: Sₙ = a1+ana₁ + aₙn/2 = 2a1+(n1)r2a₁ + (n-1)rn/2.

Własność środkowa: aₙ = an1+an+1aₙ₋₁ + aₙ₊₁/2 - każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów.

💡 Wskazówka: W ciągu arytmetycznym różnica między dowolnymi sąsiednimi wyrazami jest taka sama!

# Wybrane

wzory matematyczne
na egzamin maturalny
z matematyki

CENTRALNA
KOMISJA
EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny:
Hubert Rauch (CKE)
Mariu

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciągi geometryczne i procent składany

Ciąg geometryczny ma stały iloraz q między sąsiednimi wyrazami. n-ty wyraz: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹.

Suma n początkowych wyrazów: Sₙ = a₁1qn1-qⁿ/1q1-q dla q ≠ 1, Sₙ = n·a₁ dla q = 1.

Własność środkowa: aₙ² = aₙ₋₁·aₙ₊₁ - każdy wyraz jest średnią geometryczną sąsiadów.

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego: jeśli |q| < 1, to S = a₁/1q1-q.

Procent składany: kapitał po n latach Kₙ = K₀1+p/1001 + p/100ⁿ, gdzie p to oprocentowanie w %.

Twierdzenia o granicach: granice można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić (gdy mianownik ≠ 0).

💡 Ważne: Nieskończona suma istnieje tylko gdy |q| < 1!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

21

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Podstawy Trygonometrii

Zrozumienie podstawowych funkcji trygonometrycznych oraz ich zastosowania w obliczeniach trójkątów prostokątnych. Materiał obejmuje wartości funkcji dla kątów 30°, 45°, 60° oraz zasady rozwiązywania trójkątów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
2

Trygonometria Kątów 30°, 45°, 60°

Zrozumienie funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens i cotangens dla kątów 30°, 45° i 60°. Przykłady obliczeń oraz zastosowanie wzorów trygonometrycznych w praktyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
1

Rozwiązywanie Trójkątów Prostokątnych

Dowiedz się, jak rozwiązać trójkąt prostokątny, obliczając długości boków i miary kątów. Przykład z kątem 30° i przyprostokątną 8. Zawiera zasady trygonometrii oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii.

MatematykaMatematyka
1

Funkcje Trygonometryczne w Trójkącie Prostokątnym

Zrozumienie funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens w kontekście trójkąta prostokątnego. Materiał obejmuje definicje, wzory oraz przykłady zastosowania tych funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Rodzaje Kątów Geometrii

Zrozumienie różnych rodzajów kątów w geometrii, w tym kątów ostrych, prostych, rozwartych oraz wierzchołkowych. Dowiedz się o ich właściwościach i zastosowaniach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
6

Równania Trygonometryczne

Zrozumienie równań trygonometrycznych, w tym szczególnych przypadków, sum i różnic kątów oraz wielokrotności kątów. Materiał obejmuje przykłady rozwiązań oraz kluczowe wzory. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
3

Najpopularniejsze notatki: funkcje trygonometryczne

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Najpopularniejsze notatki

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS