Matematyka

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne

Logarytmy

1,292

•

Zaktualizowano Mar 25, 2026

•

5 strony

Zadania z Logarytmów - Przykłady i Rozwiązania

Aleksandra

@olusiaola

Logarytmy to kluczowe zagadnienie na maturze z matematyki, które często... Pokaż więcej

1 / 5

$Zadania maturalne Logarytmy Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 2) Wartość wyrażenia log, 98-log, 2 jest równa $1097(\frac{98}{2})= 1097 48$

Podstawowe operacje na logarytmach

Logarytmy często pojawiają się na maturze w różnych konfiguracjach. Przy rozwiązywaniu zadań kluczowe jest pamiętanie o podstawowych właściwościach:

Logarytm iloczynu: log(a·b) = log(a) + log(b)
Logarytm ilorazu: log $a/b$ = log(a) - log(b)
Logarytm potęgi: log(aⁿ) = n·log(a)

Na przykład w zadaniu, gdzie mamy obliczyć wartość wyrażenia log₇ 98 - log₇ 2, stosujemy właściwość logarytmu ilorazu: log₇(98/2) = log₇ 49 = 2.

⚠️ Uwaga! Pamiętaj, że logarytm liczby 1 zawsze wynosi 0, niezależnie od podstawy logarytmu: log₁₀ 1 = 0, log₂ 1 = 0, itd.

W zadaniach typu "log₃ 18 = c, ile wynosi log₃ 54?" wykorzystaj fakt, że 54 = 18·3, więc log₃ 54 = log₃(18·3) = log₃ 18 + log₃ 3 = c + 1. To pozwala szybko znaleźć odpowiedź bez wykonywania skomplikowanych obliczeń.

$Zadania maturalne Logarytmy Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 2) Wartość wyrażenia log, 98-log, 2 jest równa $1097(\frac{98}{2})= 1097 48$

Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych

Przy pracy z wyrażeniami zawierającymi różne logarytmy, ważne jest umiejętne stosowanie ich właściwości. Spójrz na te przykłady:

Gdy mamy wyrażenie 2log_5 4 - log_5 4, możemy zapisać je jako log_5(4²) - log_5 4 = log_5(16) - log_5 4 = log_5(16/4) = log_5 4 = 2.

Podobnie w zadaniu z wyrażeniem log_4 96 - log_4 6, stosujemy właściwość logarytmu ilorazu: log_4(96/6) = log_4 16 = 2.

Przy porównywaniu wartości logarytmów, jak w zadaniu gdzie mamy a = log₂ 8, b = log₄ 8, c = log₄(1/2), obliczamy:

a = log₂ 8 = 3
b = log₄ 8 = log₄ 2³ = 3/2
c = log₄(1/2) = log₄(2⁻¹) = -1/2

💡 Wskazówka: Aby szybko porównywać logarytmy, warto znać wzór na zmianę podstawy logarytmu: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a).

Wyrażenia typu 2log₃ 6 - log₃ 4 możemy uprościć do log₃(6²/4) = log₃(36/4) = log₃ 9 = 2. Ta umiejętność pozwoli Ci zaoszczędzić dużo czasu podczas rozwiązywania zadań maturalnych.

$Zadania maturalne Logarytmy Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 2) Wartość wyrażenia log, 98-log, 2 jest równa $1097(\frac{98}{2})= 1097 48$

Logarytmy o różnych podstawach

Na maturze często spotkasz zadania z logarytmami o różnych podstawach. Kluczem do ich rozwiązania jest umiejętność przekształcania wzorów.

W zadaniu jak $\frac{log_3 729}{log_6 36}$ możemy wykorzystać właściwości logarytmów:

log_3 729 = log_3 3⁶ = 6
log_6 36 = log_6 6² = 2
Więc $\frac{log_3 729}{log_6 36} = \frac{6}{2} = 3$

Przy wyrażeniach jak log₅ 0,04 - log₅ 5 + log₅ 1, pamiętaj że:

log₅ 0,04 = log₅(4/100) = log₅(1/25) = -2
log₅ 5 = 1
log₅ 1 = 0 Co daje -2 - 1 + 0 = -3

🔍 Zwróć uwagę! Logarytmy liczb mniejszych od 1 (jak 0,04) są ujemne. To częsty błąd wśród uczniów!

Przy równaniach wykładniczych typu 4ˣ = 9, przekształć je na postać logarytmiczną:

4ˣ = 9
x = log₄ 9
x = log₄ 3²
x = 2 · log₄ 3

$Zadania maturalne Logarytmy Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 2) Wartość wyrażenia log, 98-log, 2 jest równa $1097(\frac{98}{2})= 1097 48$

Praktyczne zastosowanie właściwości logarytmów

Na maturze często pojawią się zadania wymagające zastosowania kilku właściwości logarytmów naraz. Oto kilka typowych przykładów:

W zadaniu log₂ 100 - log₂ 50, stosujemy właściwość logarytmu ilorazu: log₂(100/50) = log₂ 2 = 1

Podobnie w zadaniu log 4 + log 5 - log 2: log(4 · 5 / 2) = log 10 = 1

Logarytmy z ułamkami mogą wydawać się trudne, ale spójrz na ten przykład: log₃(1/27) = log₃(3⁻³) = -3

🧠 Zapamiętaj: Logarytm z ułamka możesz zapisać jako logarytm z liczby podniesionej do potęgi ujemnej!

W zadaniach z warunkami istnienia logarytmów pamiętaj, że:

Argument logarytmu musi być dodatni: log_a(x) istnieje tylko gdy x > 0
Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1: a > 0, a ≠ 1

Na przykład w zadaniu z wyrażeniem log₄ $2x - 1$ musimy określić, kiedy 2x - 1 > 0, co daje x > 1/2.

$Zadania maturalne Logarytmy Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 2) Wartość wyrażenia log, 98-log, 2 jest równa $1097(\frac{98}{2})= 1097 48$

Zadania z logarytmami w różnych kontekstach

Na maturze możesz spotkać zadania z logarytmami w nietypowych konfiguracjach. Oto kilka przykładów:

W zadaniu, gdzie log₃ x = 9, bezpośrednio stosujemy definicję logarytmu:

log₃ x = 9
3⁹ = x
Więc x = 3⁹

Zadania wymagające wyrażenia jednego logarytmu przez inne są częste:

log 36 = log(4 · 9) = log 4 + log 9 = log 4 + log(3²) = log 2² + 2 log 3 = 2 log 2 + 2 log 3

💪 Możesz to! Logarytmy nie są tak straszne, jak się wydają. Wystarczy systematycznie stosować ich właściwości!

Przy zadaniach typu log 12, możemy zapisać:

log 12 = log(4 · 3) = log 4 + log 3 = log 2² + log 3 = 2 log 2 + log 3

Przy rozwiązywaniu zadań z logarytmami kluczem jest cierpliwość i metodyczne podejście. Najpierw zidentyfikuj, jakie właściwości logarytmów można zastosować, a następnie wykonuj przekształcenia krok po kroku.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Logarytmy

462

Logarytmy najważniejsze wzory Rozszerzenie

410

Logarytm i jego własności

1790

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Logarytmy

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, przykłady obliczeń oraz kluczowe wzory. Dowiedz się, jak rozwiązywać działania z logarytmami, w tym logarytmy z ułamkami i pierwiastkami. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

Zadania z Logarytmów - Przykłady i Rozwiązania

Podstawowe operacje na logarytmach

Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych

Logarytmy o różnych podstawach

Praktyczne zastosowanie właściwości logarytmów

Zadania z logarytmami w różnych kontekstach

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Logarytmy

Logarytmy najważniejsze wzory Rozszerzenie

Logarytm i jego własności

Najpopularniejsze notatki: Logarytmy

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Zadania z Logarytmów

Zadania z Logarytmów

Logarytmy: Wzory i Zadania

Logarytmy i Potęgi

Zadania pod maturę z matematyki podstawowej

Zadania z Logarytmów

Zadania z Logarytmów

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Graniastosłupy i Ostrosłupy

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Obliczenia Wyrażeń Algebraicznych

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Wzory Matematyczne na Egzamin

Najpopularniejsze notatki

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Przedwiośnie: Analiza i Interpretacja

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Wesele: Analiza Symboli

Analiza Dziadów III

Analiza 'Lalki' Prusa

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5

4.7/5

Zadania z Logarytmów - Przykłady i Rozwiązania

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Podstawowe operacje na logarytmach

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Logarytmy o różnych podstawach

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Praktyczne zastosowanie właściwości logarytmów

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Zadania z logarytmami w różnych kontekstach

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Podstawy Logarytmów

Wzory Logarytmiczne

Własności Logarytmów

Własności Logarytmów

Własności Logarytmów

Wzory Logarytmiczne

Podobne notatki

Logarytmy

Logarytmy najważniejsze wzory Rozszerzenie

Logarytm i jego własności

Najpopularniejsze notatki: Logarytmy

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Zadania z Logarytmów

Zadania z Logarytmów

Logarytmy: Wzory i Zadania