Otwórz aplikację

Przedmioty

1068

8 gru 2025

5 strony

Zadania z Logarytmów - Przykłady i Rozwiązania

Logarytmy to kluczowe zagadnienie na maturze z matematyki, które często... Pokaż więcej

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
1 / 5
Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 2)
Wartość wyrażenia log7 98- log7 2 jest równa
A. 7
(B) 2
A. 2
--12)
Zad. 3 (1 pkt) (wrzesień 2022 - z

Podstawowe operacje na logarytmach

Logarytmy często pojawiają się na maturze w różnych konfiguracjach. Przy rozwiązywaniu zadań kluczowe jest pamiętanie o podstawowych właściwościach:

  • Logarytm iloczynu: log(a·b) = log(a) + log(b)
  • Logarytm ilorazu: loga/ba/b = log(a) - log(b)
  • Logarytm potęgi: log(aⁿ) = n·log(a)

Na przykład w zadaniu, gdzie mamy obliczyć wartość wyrażenia log₇ 98 - log₇ 2, stosujemy właściwość logarytmu ilorazu: log₇(98/2) = log₇ 49 = 2.

⚠️ Uwaga! Pamiętaj, że logarytm liczby 1 zawsze wynosi 0, niezależnie od podstawy logarytmu: log₁₀ 1 = 0, log₂ 1 = 0, itd.

W zadaniach typu "log₃ 18 = c, ile wynosi log₃ 54?" wykorzystaj fakt, że 54 = 18·3, więc log₃ 54 = log₃(18·3) = log₃ 18 + log₃ 3 = c + 1. To pozwala szybko znaleźć odpowiedź bez wykonywania skomplikowanych obliczeń.

Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 2)
Wartość wyrażenia log7 98- log7 2 jest równa
A. 7
(B) 2
A. 2
--12)
Zad. 3 (1 pkt) (wrzesień 2022 - z

Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych

Przy pracy z wyrażeniami zawierającymi różne logarytmy, ważne jest umiejętne stosowanie ich właściwości. Spójrz na te przykłady:

Gdy mamy wyrażenie 2log_5 4 - log_5 4, możemy zapisać je jako log_5(4²) - log_5 4 = log_5(16) - log_5 4 = log_5(16/4) = log_5 4 = 2.

Podobnie w zadaniu z wyrażeniem log_4 96 - log_4 6, stosujemy właściwość logarytmu ilorazu: log_4(96/6) = log_4 16 = 2.

Przy porównywaniu wartości logarytmów, jak w zadaniu gdzie mamy a = log₂ 8, b = log₄ 8, c = log₄(1/2), obliczamy:

  • a = log₂ 8 = 3
  • b = log₄ 8 = log₄ 2³ = 3/2
  • c = log₄(1/2) = log₄(2⁻¹) = -1/2

💡 Wskazówka: Aby szybko porównywać logarytmy, warto znać wzór na zmianę podstawy logarytmu: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a).

Wyrażenia typu 2log₃ 6 - log₃ 4 możemy uprościć do log₃(6²/4) = log₃(36/4) = log₃ 9 = 2. Ta umiejętność pozwoli Ci zaoszczędzić dużo czasu podczas rozwiązywania zadań maturalnych.

Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 2)
Wartość wyrażenia log7 98- log7 2 jest równa
A. 7
(B) 2
A. 2
--12)
Zad. 3 (1 pkt) (wrzesień 2022 - z

Logarytmy o różnych podstawach

Na maturze często spotkasz zadania z logarytmami o różnych podstawach. Kluczem do ich rozwiązania jest umiejętność przekształcania wzorów.

W zadaniu jak log3729log636\frac{log_3 729}{log_6 36} możemy wykorzystać właściwości logarytmów:

  • log_3 729 = log_3 3⁶ = 6
  • log_6 36 = log_6 6² = 2
  • Więc log3729log636=62=3\frac{log_3 729}{log_6 36} = \frac{6}{2} = 3

Przy wyrażeniach jak log₅ 0,04 - log₅ 5 + log₅ 1, pamiętaj że:

  • log₅ 0,04 = log₅(4/100) = log₅(1/25) = -2
  • log₅ 5 = 1
  • log₅ 1 = 0 Co daje -2 - 1 + 0 = -3

🔍 Zwróć uwagę! Logarytmy liczb mniejszych od 1 (jak 0,04) są ujemne. To częsty błąd wśród uczniów!

Przy równaniach wykładniczych typu 4ˣ = 9, przekształć je na postać logarytmiczną:

  • 4ˣ = 9
  • x = log₄ 9
  • x = log₄ 3²
  • x = 2 · log₄ 3
Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 2)
Wartość wyrażenia log7 98- log7 2 jest równa
A. 7
(B) 2
A. 2
--12)
Zad. 3 (1 pkt) (wrzesień 2022 - z

Praktyczne zastosowanie właściwości logarytmów

Na maturze często pojawią się zadania wymagające zastosowania kilku właściwości logarytmów naraz. Oto kilka typowych przykładów:

W zadaniu log₂ 100 - log₂ 50, stosujemy właściwość logarytmu ilorazu: log₂(100/50) = log₂ 2 = 1

Podobnie w zadaniu log 4 + log 5 - log 2: log(4 · 5 / 2) = log 10 = 1

Logarytmy z ułamkami mogą wydawać się trudne, ale spójrz na ten przykład: log₃(1/27) = log₃(3⁻³) = -3

🧠 Zapamiętaj: Logarytm z ułamka możesz zapisać jako logarytm z liczby podniesionej do potęgi ujemnej!

W zadaniach z warunkami istnienia logarytmów pamiętaj, że:

  • Argument logarytmu musi być dodatni: log_a(x) istnieje tylko gdy x > 0
  • Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1: a > 0, a ≠ 1

Na przykład w zadaniu z wyrażeniem log₄2x12x - 1 musimy określić, kiedy 2x - 1 > 0, co daje x > 1/2.

Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 2)
Wartość wyrażenia log7 98- log7 2 jest równa
A. 7
(B) 2
A. 2
--12)
Zad. 3 (1 pkt) (wrzesień 2022 - z

Zadania z logarytmami w różnych kontekstach

Na maturze możesz spotkać zadania z logarytmami w nietypowych konfiguracjach. Oto kilka przykładów:

W zadaniu, gdzie log₃ x = 9, bezpośrednio stosujemy definicję logarytmu:

  • log₃ x = 9
  • 3⁹ = x
  • Więc x = 3⁹

Zadania wymagające wyrażenia jednego logarytmu przez inne są częste:

  • log 36 = log(4 · 9) = log 4 + log 9 = log 4 + log(3²) = log 2² + 2 log 3 = 2 log 2 + 2 log 3

💪 Możesz to! Logarytmy nie są tak straszne, jak się wydają. Wystarczy systematycznie stosować ich właściwości!

Przy zadaniach typu log 12, możemy zapisać:

  • log 12 = log(4 · 3) = log 4 + log 3 = log 2² + log 3 = 2 log 2 + log 3

Przy rozwiązywaniu zadań z logarytmami kluczem jest cierpliwość i metodyczne podejście. Najpierw zidentyfikuj, jakie właściwości logarytmów można zastosować, a następnie wykonuj przekształcenia krok po kroku.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki: Logarytmy

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Najpopularniejsze notatki

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

 

Matematyka

1068

8 gru 2025

5 strony

Zadania z Logarytmów - Przykłady i Rozwiązania

Logarytmy to kluczowe zagadnienie na maturze z matematyki, które często pojawia się w testach. Zrozumienie właściwości logarytmów i umiejętność rozwiązywania związanych z nimi zadań może znacząco podnieść Twój wynik na egzaminie. Poniżej znajdziesz skondensowany przegląd typowych zadań maturalnych z tego... Pokaż więcej

Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 2)
Wartość wyrażenia log7 98- log7 2 jest równa
A. 7
(B) 2
A. 2
--12)
Zad. 3 (1 pkt) (wrzesień 2022 - z

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe operacje na logarytmach

Logarytmy często pojawiają się na maturze w różnych konfiguracjach. Przy rozwiązywaniu zadań kluczowe jest pamiętanie o podstawowych właściwościach:

  • Logarytm iloczynu: log(a·b) = log(a) + log(b)
  • Logarytm ilorazu: loga/ba/b = log(a) - log(b)
  • Logarytm potęgi: log(aⁿ) = n·log(a)

Na przykład w zadaniu, gdzie mamy obliczyć wartość wyrażenia log₇ 98 - log₇ 2, stosujemy właściwość logarytmu ilorazu: log₇(98/2) = log₇ 49 = 2.

⚠️ Uwaga! Pamiętaj, że logarytm liczby 1 zawsze wynosi 0, niezależnie od podstawy logarytmu: log₁₀ 1 = 0, log₂ 1 = 0, itd.

W zadaniach typu "log₃ 18 = c, ile wynosi log₃ 54?" wykorzystaj fakt, że 54 = 18·3, więc log₃ 54 = log₃(18·3) = log₃ 18 + log₃ 3 = c + 1. To pozwala szybko znaleźć odpowiedź bez wykonywania skomplikowanych obliczeń.

Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 2)
Wartość wyrażenia log7 98- log7 2 jest równa
A. 7
(B) 2
A. 2
--12)
Zad. 3 (1 pkt) (wrzesień 2022 - z

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych

Przy pracy z wyrażeniami zawierającymi różne logarytmy, ważne jest umiejętne stosowanie ich właściwości. Spójrz na te przykłady:

Gdy mamy wyrażenie 2log_5 4 - log_5 4, możemy zapisać je jako log_5(4²) - log_5 4 = log_5(16) - log_5 4 = log_5(16/4) = log_5 4 = 2.

Podobnie w zadaniu z wyrażeniem log_4 96 - log_4 6, stosujemy właściwość logarytmu ilorazu: log_4(96/6) = log_4 16 = 2.

Przy porównywaniu wartości logarytmów, jak w zadaniu gdzie mamy a = log₂ 8, b = log₄ 8, c = log₄(1/2), obliczamy:

  • a = log₂ 8 = 3
  • b = log₄ 8 = log₄ 2³ = 3/2
  • c = log₄(1/2) = log₄(2⁻¹) = -1/2

💡 Wskazówka: Aby szybko porównywać logarytmy, warto znać wzór na zmianę podstawy logarytmu: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a).

Wyrażenia typu 2log₃ 6 - log₃ 4 możemy uprościć do log₃(6²/4) = log₃(36/4) = log₃ 9 = 2. Ta umiejętność pozwoli Ci zaoszczędzić dużo czasu podczas rozwiązywania zadań maturalnych.

Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 2)
Wartość wyrażenia log7 98- log7 2 jest równa
A. 7
(B) 2
A. 2
--12)
Zad. 3 (1 pkt) (wrzesień 2022 - z

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Logarytmy o różnych podstawach

Na maturze często spotkasz zadania z logarytmami o różnych podstawach. Kluczem do ich rozwiązania jest umiejętność przekształcania wzorów.

W zadaniu jak log3729log636\frac{log_3 729}{log_6 36} możemy wykorzystać właściwości logarytmów:

  • log_3 729 = log_3 3⁶ = 6
  • log_6 36 = log_6 6² = 2
  • Więc log3729log636=62=3\frac{log_3 729}{log_6 36} = \frac{6}{2} = 3

Przy wyrażeniach jak log₅ 0,04 - log₅ 5 + log₅ 1, pamiętaj że:

  • log₅ 0,04 = log₅(4/100) = log₅(1/25) = -2
  • log₅ 5 = 1
  • log₅ 1 = 0 Co daje -2 - 1 + 0 = -3

🔍 Zwróć uwagę! Logarytmy liczb mniejszych od 1 (jak 0,04) są ujemne. To częsty błąd wśród uczniów!

Przy równaniach wykładniczych typu 4ˣ = 9, przekształć je na postać logarytmiczną:

  • 4ˣ = 9
  • x = log₄ 9
  • x = log₄ 3²
  • x = 2 · log₄ 3
Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 2)
Wartość wyrażenia log7 98- log7 2 jest równa
A. 7
(B) 2
A. 2
--12)
Zad. 3 (1 pkt) (wrzesień 2022 - z

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Praktyczne zastosowanie właściwości logarytmów

Na maturze często pojawią się zadania wymagające zastosowania kilku właściwości logarytmów naraz. Oto kilka typowych przykładów:

W zadaniu log₂ 100 - log₂ 50, stosujemy właściwość logarytmu ilorazu: log₂(100/50) = log₂ 2 = 1

Podobnie w zadaniu log 4 + log 5 - log 2: log(4 · 5 / 2) = log 10 = 1

Logarytmy z ułamkami mogą wydawać się trudne, ale spójrz na ten przykład: log₃(1/27) = log₃(3⁻³) = -3

🧠 Zapamiętaj: Logarytm z ułamka możesz zapisać jako logarytm z liczby podniesionej do potęgi ujemnej!

W zadaniach z warunkami istnienia logarytmów pamiętaj, że:

  • Argument logarytmu musi być dodatni: log_a(x) istnieje tylko gdy x > 0
  • Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1: a > 0, a ≠ 1

Na przykład w zadaniu z wyrażeniem log₄2x12x - 1 musimy określić, kiedy 2x - 1 > 0, co daje x > 1/2.

Zad. 1 (1 pkt) (pokazowy 2023 - zad. 2)
Wartość wyrażenia log7 98- log7 2 jest równa
A. 7
(B) 2
A. 2
--12)
Zad. 3 (1 pkt) (wrzesień 2022 - z

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zadania z logarytmami w różnych kontekstach

Na maturze możesz spotkać zadania z logarytmami w nietypowych konfiguracjach. Oto kilka przykładów:

W zadaniu, gdzie log₃ x = 9, bezpośrednio stosujemy definicję logarytmu:

  • log₃ x = 9
  • 3⁹ = x
  • Więc x = 3⁹

Zadania wymagające wyrażenia jednego logarytmu przez inne są częste:

  • log 36 = log(4 · 9) = log 4 + log 9 = log 4 + log(3²) = log 2² + 2 log 3 = 2 log 2 + 2 log 3

💪 Możesz to! Logarytmy nie są tak straszne, jak się wydają. Wystarczy systematycznie stosować ich właściwości!

Przy zadaniach typu log 12, możemy zapisać:

  • log 12 = log(4 · 3) = log 4 + log 3 = log 2² + log 3 = 2 log 2 + log 3

Przy rozwiązywaniu zadań z logarytmami kluczem jest cierpliwość i metodyczne podejście. Najpierw zidentyfikuj, jakie właściwości logarytmów można zastosować, a następnie wykonuj przekształcenia krok po kroku.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

29

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, logarytm dziesiętny, zamiana podstaw oraz działania na logarytmach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Zadania z Logarytmów

Rozwiązywanie zadań dotyczących logarytmów, w tym obliczenia logarytmów, właściwości funkcji logarytmicznych oraz zastosowanie w równaniach. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Logarytmy dziesiętne i ich zastosowania

Zrozumienie logarytmów dziesiętnych, ich definicji oraz zastosowań w matematyce. Dowiedz się, jak obliczać logarytmy o podstawie 10, w tym przykłady i praktyczne zastosowania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, zasady i przykłady. Dowiedz się, jak obliczać logarytmy, w tym logarytmy dziesiętne oraz ich zastosowania w matematyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
1

Ułamki Zwykłe: Kluczowe Zasady

Zrozumienie ułamków zwykłych: definicje, zasady dotyczące mianowników oraz zasady dzielenia. Dowiedz się, dlaczego mianownik nie może być równy zeru oraz jak zapisywać ułamki w postaci dzielenia. Idealne dla uczniów matematyki na każdym poziomie.

MatematykaMatematyka
4

Wzory Logarytmiczne

Odkryj kluczowe wzory logarytmiczne i przykłady ich zastosowania. Dowiedz się, jak obliczać logarytmy oraz stosować zasady logarytmiczne, takie jak logarytm dziesiętny i operacje na logarytmach. Idealne dla uczniów i studentów matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Najpopularniejsze notatki: Logarytmy

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Najpopularniejsze notatki

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS