Język polski
Biologia
Chemia
Historia
Geografia
Komórka
Genetyka klasyczna
Układ krążenia
Badania przyrodnicze
Ekologia
Organizm człowieka jako funkcjonalna całość
Metabolizm
Układ wydalniczy
Genetyka molekularna
Układ pokarmowy
Proste zwierzęta bezkręgowe
Kręgowce zmiennocieplne
Genetyka
Rozmnażanie i rozwój człowieka
Chemiczne podstawy życia
Pokaż wszystkie tematy
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Węglowodory
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Pochodne węglowodorów
Stechiometria
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Gazy i ich mieszaniny
Świat substancji
Kwasy
Sole
Wodorotlenki a zasady
Systematyka związków nieorganicznych
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Pokaż wszystkie tematy
38
0
Natalia Buć
25.10.2025
Matematyka
Statystyka - prawdopodobieństwo
3749
•
25 paź 2025
•
Prawdopodobieństwo i statystyka: Kluczowe pojęcia i definicje
Dokument omawia podstawowe... Pokaż więcej
Dokument omawia kilka ważnych rozkładów prawdopodobieństwa:
Rozkład dwumianowy - rozkład zmiennej losowej dyskretnej, oparty na niezależnych doświadczeniach z dwoma możliwymi wynikami: "sukces" lub "porażka".
Rozkład Poissona - również rozkład zmiennej losowej dyskretnej, opisujący rzadkie wydarzenia i przedstawiający prawdopodobieństwo, że badane zdarzenie zajdzie określoną liczbę razy.
Rozkład normalny - najczęściej spotykany rozkład zmiennej losowej ciągłej.
Highlight: Rozkład normalny jest niezwykle ważny w statystyce, ponieważ każda zmienna losowa może być opisana jako suma wielu niezależnych zdarzeń losowych. Ze względu na swoją popularność, rozkład normalny lub jego aproksymacje są często wykorzystywane podczas wnioskowania statystycznego i testowania hipotez.
Rozkłady powiązane z rozkładem normalnym to:
Definition: Estymacja to dział wnioskowania statystycznego obejmujący metody służące do uogólniania wyników badania próby na nieznane parametry całej populacji oraz szacowania błędów takich uogólnień.
Metody estymacji dzielą się na:
Estymator to funkcja skonstruowana w celu jak najlepszego szacowania wartości parametrów. Jest on zawsze oparty na rozkładzie próby i z tego powodu obciążony ryzykiem popełnienia błędu szacunku.
Highlight: Cechy optymalnego estymatora:
- Brak obciążenia
- Dostateczność
- Efektywność
- Zgodność
Dokument omawia dwa kluczowe estymatory:
Example: Jeżeli próba pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym, to rozkład estymatora również jest rozkładem normalnym. Dla innych rozkładów populacji mówimy o asymptotycznie normalnym rozkładzie estymatora.
Te estymatory są kluczowe w statystyce, ponieważ pozwalają na wnioskowanie o parametrach całej populacji na podstawie danych z próby.
Prawdopodobieństwo to szansa na wystąpienie analizowanego zdarzenia. Istnieją dwie główne definicje prawdopodobieństwa:
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa - określa częstość zdarzeń prowadzących do określonego efektu w stosunku do wszystkich możliwych zdarzeń w doświadczeniu losowym. Ta definicja ma zastosowanie tylko dla skończonych ciągów zdarzeń.
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa - opiera się na trzech aksjomatach:
Definition: Aksjomaty prawdopodobieństwa Kołmogorowa:
- Prawdopodobieństwo zdarzenia A (P(A)) zawiera się w przedziale
- Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1
- Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się parami jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń
Vocabulary: Aksjomat - zdanie przyjmowane za prawdziwe, nie dowodzi się go w obrębie danej teorii matematycznej.
Zmienna losowa to funkcja przypisująca wszystkim możliwym wynikom doświadczenia liczby w sposób zależny od prawdopodobieństwa uzyskania danego wyniku. Rozróżniamy dwa typy zmiennych losowych:
Highlight: Funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej X to funkcja, dla której prawdopodobieństwo obserwacji o wartości w przedziale jest równe powierzchni pod krzywą funkcji gęstości prawdopodobieństwa między punktami a i b.
Dystrybuanta zmiennej losowej X w punkcie a to prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość ≤ a. Może być empiryczna (wyliczana z wyników doświadczeń) lub teoretyczna (odgórnie znany rozkład prawdopodobieństwa).
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Matematyka
25 paź 2025
3749
3 strony
Prawdopodobieństwo i statystyka: Kluczowe pojęcia i definicje
Dokument omawia podstawowe koncepcje prawdopodobieństwa i statystyki, w tym:
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Dokument omawia kilka ważnych rozkładów prawdopodobieństwa
Rozkład dwumianowy - rozkład zmiennej losowej dyskretnej, oparty na niezależnych doświadczeniach z dwoma możliwymi wynikami "sukces" lub "porażka".
Rozkład Poissona - również rozkład zmiennej losowej dyskretnej, opisujący rzadkie wydarzenia i przedstawiający prawdopodobieństwo, że badane zdarzenie zajdzie określoną liczbę razy.
Rozkład normalny - najczęściej spotykany rozkład zmiennej losowej ciągłej.
Highlight Rozkład normalny jest niezwykle ważny w statystyce, ponieważ każda zmienna losowa może być opisana jako suma wielu niezależnych zdarzeń losowych. Ze względu na swoją popularność, rozkład normalny lub jego aproksymacje są często wykorzystywane podczas wnioskowania statystycznego i testowania hipotez.
Rozkłady powiązane z rozkładem normalnym to
Definition Estymacja to dział wnioskowania statystycznego obejmujący metody służące do uogólniania wyników badania próby na nieznane parametry całej populacji oraz szacowania błędów takich uogólnień.
Metody estymacji dzielą się na
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Estymator to funkcja skonstruowana w celu jak najlepszego szacowania wartości parametrów. Jest on zawsze oparty na rozkładzie próby i z tego powodu obciążony ryzykiem popełnienia błędu szacunku.
Highlight Cechy optymalnego estymatora
- Brak obciążenia
- Dostateczność
- Efektywność
- Zgodność
Dokument omawia dwa kluczowe estymatory
Example Jeżeli próba pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym, to rozkład estymatora również jest rozkładem normalnym. Dla innych rozkładów populacji mówimy o asymptotycznie normalnym rozkładzie estymatora.
Te estymatory są kluczowe w statystyce, ponieważ pozwalają na wnioskowanie o parametrach całej populacji na podstawie danych z próby.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Prawdopodobieństwo to szansa na wystąpienie analizowanego zdarzenia. Istnieją dwie główne definicje prawdopodobieństwa
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa - określa częstość zdarzeń prowadzących do określonego efektu w stosunku do wszystkich możliwych zdarzeń w doświadczeniu losowym. Ta definicja ma zastosowanie tylko dla skończonych ciągów zdarzeń.
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa - opiera się na trzech aksjomatach
Definition Aksjomaty prawdopodobieństwa Kołmogorowa
- Prawdopodobieństwo zdarzenia A (P(A)) zawiera się w przedziale
- Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1
- Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się parami jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń
Vocabulary Aksjomat - zdanie przyjmowane za prawdziwe, nie dowodzi się go w obrębie danej teorii matematycznej.
Zmienna losowa to funkcja przypisująca wszystkim możliwym wynikom doświadczenia liczby w sposób zależny od prawdopodobieństwa uzyskania danego wyniku. Rozróżniamy dwa typy zmiennych losowych
Highlight Funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej X to funkcja, dla której prawdopodobieństwo obserwacji o wartości w przedziale jest równe powierzchni pod krzywą funkcji gęstości prawdopodobieństwa między punktami a i b.
Dystrybuanta zmiennej losowej X w punkcie a to prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość ≤ a. Może być empiryczna (wyliczana z wyników doświadczeń) lub teoretyczna (odgórnie znany rozkład prawdopodobieństwa).
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
38
Inteligentne Narzędzia NOWE
Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
