Twierdzenie Bézouta i przykłady zastosowania

Dokument rozpoczyna się od przedstawienia Twierdzenia Bézouta, które jest kluczowym narzędziem w analizie wielomianów. Twierdzenie to stwierdza, że wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Definition: Twierdzenie Bézouta mówi, że wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Następnie przedstawione są dwa zadania ilustrujące praktyczne zastosowanie tego twierdzenia:

1. Pierwsze zadanie dotyczy sprawdzenia, czy wielomian W(x)=x⁵-2x⁴+x³−3x²+x+2 jest podzielny przez wielomian P(x)=x-2. Rozwiązanie polega na obliczeniu wartości wielomianu W(x) dla x=2 i sprawdzeniu, czy wynik wynosi zero.

Example: W(2) = 2⁵-2·2⁴+2³-3·2²+2+2 = 32-32+8-12+2+2 = 0

Wynik równy zero potwierdza, że wielomian jest podzielny przez (x-2).

2. Drugie zadanie jest bardziej zaawansowane i wymaga znalezienia wartości parametru m, dla którego wielomian W(x)=m²x⁵-mx²+x+m-2 jest podzielny przez dwumian x-2.

Highlight: Rozwiązanie tego zadania wymaga zastosowania Twierdzenia Bézouta oraz rozwiązania równania kwadratowego.

Proces rozwiązania obejmuje:

• Podstawienie x=2 do wielomianu W(x)
• Przyrównanie wyniku do zera: 32m² - 4m + 2 + m - 2 = 0
• Uproszczenie równania do postaci: 32m² - 3m = 0
• Rozwiązanie równania: m(32m-3) = 0

Vocabulary: Schemat Hornera to efektywna metoda obliczania wartości wielomianu dla danego argumentu, często stosowana w połączeniu z Twierdzeniem Bézouta.

Dokument kończy się przedstawieniem dwóch możliwych rozwiązań: m=0 lub m=3/32, co ilustruje, jak Twierdzenie Bézouta może być wykorzystane do rozwiązywania bardziej złożonych problemów algebraicznych.

Highlight: Twierdzenie Bézouta jest nie tylko podstawą teoretyczną, ale także praktycznym narzędziem w rozwiązywaniu zadań z wielomianami, umożliwiającym efektywne dzielenie wielomianów i analizę ich właściwości.