Budowa i zasada działania transformatora

Transformator to urządzenie, które służy do zmiany wartości napięcia prądu przemiennego. Jego główne elementy to:

• Dwie lub więcej zwojnic $uzwojeń$ umieszczonych na wspólnym rdzeniu ferromagnetycznym
• Uzwojenie pierwotne - podłączane do źródła napięcia
• Uzwojenie wtórne - podłączane do odbiornika prądu

Jak działa transformator?

Gdy do uzwojenia pierwotnego podłączymy źródło napięcia przemiennego, przepływający prąd wytwarza zmienne pole magnetyczne w rdzeniu. To pole indukuje napięcie w uzwojeniu wtórnym.

Kluczowa koncepcja: Transformator może podwyższać napięcie $gdy uzwojenie wtórne ma więcej zwojów niż pierwotne$ lub obniżać napięcie $gdy uzwojenie wtórne ma mniej zwojów$.

Zależności matematyczne w transformatorze

Stosunek napięć jest proporcjonalny do stosunku liczby zwojów:

$$$\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2}$$$

Przy założeniu braku strat energii, moc na obu uzwojeniach jest równa:

$$$P_1 = P_2$$$$U_1 \cdot I_1 = U_2 \cdot I_2$$$

Z tego wynika zależność między natężeniami prądów:

$$$\frac{I_2}{I_1} = \frac{U_1}{U_2} = \frac{n_1}{n_2}$$$

Zastosowanie transformatorów

• Linie wysokiego napięcia - transformatory podwyższają napięcie, aby zmniejszyć straty energii podczas przesyłania na duże odległości
• Obniżanie napięcia do wartości użytkowych $np. 230V$ w gospodarstwach domowych

Warto wiedzieć: W rzeczywistych transformatorach występują straty energii spowodowane ciepłem Joule'a, prądami wirowymi i procesem przemagnesowywania rdzenia. Sprawność transformatora $η$ to stosunek mocy wydzielonej na uzwojeniu wtórnym do mocy dostarczonej do uzwojenia pierwotnego.

Zadania z transformatorami

Zadanie 1: Obliczanie liczby zwojów

Problem: Transformator obniża napięcie z 230 V do 24 V. Uzwojenie wtórne tego transformatora ma 240 zwojów. Ile zwojów ma uzwojenie pierwotne?

Rozwiązanie:

• Korzystamy ze wzoru: $\frac{U_2}{U_1} = \frac{n_2}{n_1}$
• Dane: $U_1 = 230V$, $U_2 = 24V$, $n_2 = 240$, $n_1 = x$
• $\frac{24}{230} = \frac{240}{x}$
• $24x = 55200$
• $x = 2300$

Ważna uwaga: Liczba zwojów uzwojenia pierwotnego wynosi 2300.

Zadanie 2: Transformator z prądem stałym

Problem: Do uzwojenia pierwotnego transformatora mającego 20 razy więcej zwojów na uzwojeniu wtórnym podłączono baterię o napięciu 4,5 V. Jakie będzie napięcie na uzwojeniu wtórnym?

Rozwiązanie:

• Bateria jest źródłem prądu stałego
• Transformator działa tylko z prądem przemiennym
• Napięcie na uzwojeniu wtórnym będzie wynosiło 0 V

Kluczowa zasada: Transformatory działają wyłącznie z prądem przemiennym, ponieważ ich działanie opiera się na zmieniającym się polu magnetycznym.

Zadanie 3: Zwojnice obok siebie

Problem dotyczący dwóch zwojnic umieszczonych obok siebie, gdzie napięcie na zwojnicy n₂ było mniejsze niż obliczone ze wzoru.

Wyjaśnienie: Wzór $\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2}$ dotyczy tylko transformatorów z rdzeniem ferromagnetycznym, gdzie pole magnetyczne jest w pełni wykorzystywane.

Zadanie 4: Zmiana odbiornika i wpływ na natężenie prądu

Problem: Czy zmiana odbiornika na uzwojeniu wtórnym wpłynie na natężenie prądu w uzwojeniu pierwotnym?

Odpowiedź: Tak, ponieważ przy stałym napięciu zmiana odbiornika spowoduje zmianę mocy, co pociągnie za sobą również zmianę natężenia prądu w uzwojeniu pierwotnym.

Zadania z energią elektryczną i napięciem przemiennym

Zadanie 5: Przesył energii elektrycznej

Problem: Elektrownia przesyła w ciągu doby 2,5 GWh energii elektrycznej za pomocą sieci o napięciu 110 kV. Jakie jest średnie dobowe natężenie prądu elektrycznego w tej sieci?

Rozwiązanie:

• Dane: $\epsilon = 2,5 \text{ GWh} = 2,5 \cdot 10^9 \text{ Wh}$ $t = 24 \text{ h}$ $U = 110 \text{ kV} = 1,1 \cdot 10^5 \text{ V}$
• Moc: $P = \frac{\epsilon}{t}$
• Moc a natężenie: $P = U \cdot I$
• Stąd: $I = \frac{\epsilon}{U \cdot t} = \frac{2,5 \cdot 10^9 \text{ Wh}}{1,1 \cdot 10^5 \text{ V} \cdot 24 \text{ h}} = 950 \text{ A}$

Ciekawostka: Przesyłanie energii przy wysokim napięciu zmniejsza straty energii, gdyż natężenie prądu jest mniejsze, a straty zależą od kwadratu natężenia $prawo Joule'a$.

Zadanie 11.40: Analiza wykresu napięcia przemiennego

Problem dotyczy wykresu przedstawiającego zależność napięcia w domowej sieci elektrycznej od czasu.

a) Obliczenie częstotliwości zmian napięcia:

• Z wykresu: okres $T = 0,02$ s
• Częstotliwość: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,02} = 50 \text{ Hz}$

Kluczowe pojęcie: Częstotliwość prądu przemiennego w polskiej sieci elektrycznej wynosi 50 Hz, co oznacza, że napięcie zmienia znak 100 razy na sekundę.

b) Znaczenie dodatnich i ujemnych wartości napięcia:

• Gdy napięcie przyjmuje wartości ujemne, prąd płynie w przeciwnym kierunku
• Oznacza to, że elektrony poruszają się w odbiorniku w przeciwnym kierunku niż przy napięciu dodatnim

c) Dlaczego mówimy o napięciu 230 V?

• Wartość 230 V to napięcie skuteczne, które określa efektywność działania napięcia przemiennego
• Napięcie skuteczne prądu przemiennego daje taki sam efekt cieplny jak prąd stały o takim napięciu
• Napięcie maksymalne $amplituda$ jest większe i wynosi około 325 V $U_{max} = U_{sk} \cdot \sqrt{2}$

Obliczenia dla transformatorów i napięcia przemiennego

Zadanie 11.41: Moc transformatora w zasilaczu komputerowym

Problem: Moc dostarczona do uzwojenia pierwotnego transformatora zasilacza komputerowego jest równa 400 W. Napięcie na uzwojeniach: pierwotne - 230 V, wtórne - 12 V. Jaka jest moc odbierana z uzwojenia wtórnego?

Rozwiązanie:

• Dane: $P_1 = 400 \text{ W}$
• Przy idealnym transformatorze: $P_2 = P_1 = 400 \text{ W}$

Ważna zasada: Transformator nie ma wpływu na moc prądu, a jedynie zmienia napięcie i natężenie przy zachowaniu mocy.

Zadanie 12: Transformator w zasilaczu kolejki

Problem: Silnik elektryczny modelu kolejki pracuje pod napięciem 9 V. W domowej sieci elektrycznej jest napięcie 230 V. Uzwojenie wtórne transformatora w zasilaczu tej kolejki ma 90 zwojów. Oblicz liczbę zwojów uzwojenia pierwotnego.

Rozwiązanie:

• Dane: $U_1 = 230 \text{ V}$, $U_2 = 9 \text{ V}$, $n_2 = 90$, $n_1 = x$
• Korzystamy ze wzoru: $\frac{U_2}{U_1} = \frac{n_2}{n_1}$
• $\frac{9}{230} = \frac{90}{x}$
• $9x = 20700$
• $x = 2300$ zwojów

Zadanie 10.43: Analiza napięcia generowanego przez prądnicę

Problem dotyczy wykresu zależności napięcia generowanego przez prądnicę od czasu.

Rozwiązanie:

• Z wykresu: $T = 0,0031 \text{ s}$, $U_{max} = 10 \text{ V}$
• Częstotliwość: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,0031} = 323 \text{ Hz}$
• Napięcie skuteczne: $U_{sk} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 7,1 \text{ V}$

Przypomnienie: Napięcie skuteczne prądu sinusoidalnie zmiennego jest równe napięciu maksymalnemu podzielonemu przez pierwiastek z dwóch. Jest to wartość, którą najczęściej podaje się jako napięcie prądu przemiennego.

Więcej zadań z transformatorami

Zadanie 11.44: Obliczanie liczby zwojów uzwojenia wtórnego

Problem: W uzwojeniu pierwotnym transformatora jest 690 zwojów. Ile zwojów ma uzwojenie wtórne, jeżeli transformator obniża napięcie z 230 V do 12 V?

Rozwiązanie:

• Dane: $N_1 = 690$, $U_1 = 230 \text{ V}$, $U_2 = 12 \text{ V}$, $N_2 = x$
• Korzystamy ze wzoru: $\frac{N_2}{N_1} = \frac{U_2}{U_1}$
• $\frac{x}{690} = \frac{12}{230}$
• $230x = 8280$
• $x = 36$ zwojów

Istotna obserwacja: Przy obniżaniu napięcia 19-krotnie $z 230V do 12V$, liczba zwojów w uzwojeniu wtórnym również musi być 19 razy mniejsza niż w uzwojeniu pierwotnym.

Zadanie 11.45: Transformator z baterią

Problem: Do transformatora mającego dwa razy więcej zwojów w uzwojeniu wtórnym niż w pierwotnym podłączono żarówkę. Do uzwojenia pierwotnego podłączono baterię o napięciu 4,5 V. Jakie jest napięcie na żarówce?

Odpowiedź: Napięcie na żarówce wynosi 0 V, ponieważ bateria jest źródłem prądu stałego, a transformator działa tylko z prądem przemiennym.

Zadanie 11.46: Analiza układu z transformatorem i żarówką

Problem dotyczy transformatora podłączonego do napięcia przemiennego 230 V, z 800 zwojami w uzwojeniu pierwotnym i 40 w uzwojeniu wtórnym, oraz żarówki o oporze 4 Ω.

Rozwiązanie:

a) Schemat układu $tu można sobie wyobrazić schemat z transformatorem i żarówką$

b) Obliczenie napięcia na uzwojeniu wtórnym:

• $\frac{U_2}{U_1} = \frac{N_2}{N_1}$
• $\frac{U_2}{230} = \frac{40}{800}$
• $U_2 = 11,5 \text{ V}$

c) Moc żarówki:

• $P_2 = \frac{U_2^2}{R} = \frac{11,5^2}{4} = 33 \text{ W}$

d) Natężenie prądu:

• W uzwojeniu wtórnym: $I_2 = \frac{U_2}{R} = \frac{11,5}{4} = 2,88 \text{ A}$
• W uzwojeniu pierwotnym: $I_1 = \frac{U_2 \cdot I_2}{U_1} = \frac{11,5 \cdot 2,88}{230} = 0,14 \text{ A}$

Praktyczna zasada: Im wyższe napięcie, tym mniejsze natężenie prądu przy tej samej mocy. Dlatego w uzwojeniu pierwotnym $230V$ natężenie wynosi tylko 0,14A, podczas gdy w uzwojeniu wtórnym $11,5V$ jest to aż 2,88A.

Zadania końcowe

Zadanie 11.47: Moc prądu przemiennego płynącego przez opornik

Problem: Do napięcia przemiennego $na wykresie$ podłączono opornik 12 Ω. Oblicz moc prądu elektrycznego płynącego przez opornik.

Rozwiązanie:

• Z wykresu: $U_{max} \approx 32 \text{ V}$
• Dla prądu przemiennego: $P = \frac{U_{max}^2}{2R}$
• $P = \frac{32^2}{2 \cdot 12} = 43 \text{ W}$

Ważna formuła: Moc w obwodzie prądu przemiennego można obliczyć ze wzoru $P = U_{sk} \cdot I_{sk}$, gdzie $U_{sk}$ i $I_{sk}$ to wartości skuteczne napięcia i natężenia prądu. Dla sinusoidalnego przebiegu $U_{sk} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}}$.

Wyjaśnienie:

• Moc prądu elektrycznego: $P = U_{sk} \cdot I_{sk}$
• Z prawa Ohma: $I_{sk} = \frac{U_{sk}}{R}$
• Stąd: $P = \frac{U_{sk}^2}{R} = \frac{U_{max}^2}{2R}$ ponieważ $U_{sk} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}}$

Zadanie 11.48: Dlaczego rdzeń jest konieczny w transformatorze?

Problem: Czy wystarczy postawić obok siebie dwie cewki bez rdzenia, aby mieć transformator?

Odpowiedź: Nie, sam rdzeń ferromagnetyczny jest niezbędny, ponieważ:

• Rdzeń skupia linie pola magnetycznego, zapewniając efektywne przekazywanie energii między uzwojeniami
• Bez rdzenia tylko niewielka część linii pola magnetycznego przenikałaby przez drugie uzwojenie
• Transformator bez rdzenia miałby bardzo niską sprawność
• Rdzeń zapewnia sprzężenie magnetyczne między uzwojeniami, które jest kluczowe dla działania transformatora

Podsumowanie: Rdzeń ferromagnetyczny ma kluczowe znaczenie w transformatorze, ponieważ koncentruje strumień magnetyczny i zapewnia jego efektywne przenoszenie z uzwojenia pierwotnego do wtórnego. Bez rdzenia, większość strumienia rozpraszałaby się w przestrzeni, czyniąc transformator praktycznie bezużytecznym.