Funkcja Liniowa - Definicja i Właściwości
Funkcja liniowa jest fundamentalnym pojęciem w matematyce, które opisuje zależność liniową między zmiennymi. Jest ona definiowana wzorem w postaci kierunkowej y = fx = ax + b, gdzie a i b są stałymi współczynnikami. Dziedzina funkcji liniowej obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste, a jej wykresem jest zawsze prosta linia.
Definicja: Funkcja liniowa to funkcja dana wzorem w postaci kierunkowej y = fx = ax + b, gdzie a i b są stałymi współczynnikami. Dziedziną funkcji liniowej są liczby rzeczywiste, a wykresem prosta.
Kluczowe elementy funkcji liniowej to:
-
Współczynnik kierunkowy a: Jest to współczynnik 'a' we wzorze funkcji liniowej. Określa on nachylenie prostej będącej wykresem funkcji względem osi OX. Matematycznie, jest on równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi OX.
-
Wyraz wolny b: Jest to współczynnik 'b' we wzorze. Wskazuje on punkt, w którym wykres funkcji przecina oś OY.
Highlight: Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej a określa nachylenie prostej, podczas gdy wyraz wolny b wskazuje punkt przecięcia z osią OY.
Dla funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty o współrzędnych Ax1,y1 i Bx2,y2, jej równanie można wyznaczyć z wzoru: x2−x1y−y1 = y2−y1x−x.
Monotoniczność funkcji liniowej jest bezpośrednio związana z wartością współczynnika kierunkowego 'a':
- Funkcja jest rosnąca, gdy a > 0
- Funkcja jest stała, gdy a = 0
- Funkcja jest malejąca, gdy a < 0
Example: Dla funkcji y = 3x - 2, współczynnik kierunkowy a = 3 > 0, więc funkcja jest rosnąca.
Określając własności funkcji liniowej, analizujemy:
- Dziedzinę
- Zbiór wartości
- Miejsce zerowe
- Punkt przecięcia z osiami współrzędnych
- Monotoniczność funkcji
- Przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie i ujemne
Vocabulary: Miejsce zerowe funkcji liniowej to punkt, w którym funkcja przyjmuje wartość zero, czyli przecina oś OX.
Zrozumienie tych koncepcji jest kluczowe dla rozwiązywania zadań z funkcji liniowej i analizy jej właściwości w różnych kontekstach matematycznych i praktycznych zastosowaniach.
