Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne: Zadania, Wzory i Rozwiązania PDF

Ciąg arytmetyczny

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

1393

•

28 cze 2025

•

2 strony

Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne: Zadania, Wzory i Rozwiązania PDF

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Elwira Drzonek

@elwiradrzonek_matmaonline

Ciąg arytmetyczny to sekwencja liczb, w której każda kolejna różni... Pokaż więcej

CO TO JEST?
ciąg liczb, w którym
każda kolejna różni się
od poprzedniej o taka sama
wartość
r- różnica ciąque
PRZYKŁAD
2
+=2 +r=2
CIĄG ARYTM

Page 2: Problem-Solving Techniques for Arithmetic Sequences

This page focuses on applying the concepts and formulas of arithmetic sequences to solve various problems.

The page presents two main problems:

Finding the first term and common difference of an arithmetic sequence given two specific terms.
Solving a word problem involving an arithmetic sequence.

For the first problem, the page demonstrates how to use the wzór na różnicę ciągu arytmetycznego $formula for the difference of an arithmetic sequence$ and the nth term formula to find the unknown values.

Example: Given a₃ = 13 and a₅ = 39, the solution process involves setting up equations using the nth term formula and solving them simultaneously to find a₁ and r.

The second problem involves a word problem where three numbers form an arithmetic sequence, and additional information is provided about their sum.

Highlight: The problem-solving approach involves using the properties of arithmetic sequences and setting up equations based on the given information.

The page emphasizes the importance of step-by-step problem-solving and the application of ciągi arytmetyczne zadania i odpowiedzi $arithmetic sequence problems and answers$ to reinforce understanding.

Vocabulary: • Szukane: Unknown $what we're looking for$ • Dane: Given information • Korzystamy ze wzoru: We use the formula

This page provides valuable practice in applying ciąg arytmetyczny zadania maturalne $arithmetic sequence exam problems$ and prepares students for more complex problem-solving scenarios.

Page 1: Introduction to Arithmetic Sequences

This page introduces the concept of arithmetic sequences and provides essential formulas and examples.

Definition: An arithmetic sequence is a series of numbers where each subsequent term differs from the previous one by a constant value, known as the common difference.

The page covers the following key points:

• Components of an arithmetic sequence: first term $a₁$ , common difference $r$ , and subsequent terms • Examples of increasing and decreasing arithmetic sequences • Ciąg arytmetyczny wzory $Arithmetic sequence formulas$ for finding the nth term and the sum of n terms

Example: In the sequence 2, 4, 6, 8, the common difference $r$ is 2, and it's an increasing sequence.

Highlight: The formula for the nth term of an arithmetic sequence is aₙ = a₁ + $n-1$ • r, where a₁ is the first term, n is the position of the term, and r is the common difference.

The page also introduces the wzór na sumę ciągu arytmetycznego $formula for the sum of an arithmetic sequence$ : Sₙ = $n/2$ • $a₁ + aₙ$ , where n is the number of terms, a₁ is the first term, and aₙ is the last term.

Vocabulary: • Ciąg rosnący: Increasing sequence • Ciąg malejący: Decreasing sequence • Wyrazy ciągu: Terms of the sequence

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Ciąg arytmetyczny

369

Matematyka - wzory ciągi liczbowe

627

ciąg geometryczny

406

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Matematyka

•

1393

•

28 cze 2025

•

2 strony

Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne: Zadania, Wzory i Rozwiązania PDF

Elwira Drzonek

@elwiradrzonek_matmaonline

Ciąg arytmetyczny to sekwencja liczb, w której każda kolejna różni się od poprzedniej o stałą wartość. Kluczowe elementy to:

Różnica ciągu (r) jest stała między kolejnymi wyrazami
Wzory ciągu arytmetycznego pozwalają obliczyć dowolny wyraz i sumę wyrazów
Zadania z ciągiem... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 2: Problem-Solving Techniques for Arithmetic Sequences

This page focuses on applying the concepts and formulas of arithmetic sequences to solve various problems.

The page presents two main problems:

Finding the first term and common difference of an arithmetic sequence given two specific terms.

Solving a word problem involving an arithmetic sequence.

For the first problem, the page demonstrates how to use the wzór na różnicę ciągu arytmetycznego $formula for the difference of an arithmetic sequence$ and the nth term formula to find the unknown values.

Example: Given a₃ = 13 and a₅ = 39, the solution process involves setting up equations using the nth term formula and solving them simultaneously to find a₁ and r.

The second problem involves a word problem where three numbers form an arithmetic sequence, and additional information is provided about their sum.

Highlight: The problem-solving approach involves using the properties of arithmetic sequences and setting up equations based on the given information.

The page emphasizes the importance of step-by-step problem-solving and the application of ciągi arytmetyczne zadania i odpowiedzi $arithmetic sequence problems and answers$ to reinforce understanding.

Vocabulary: • Szukane: Unknown $what we're looking for$ • Dane: Given information • Korzystamy ze wzoru: We use the formula

This page provides valuable practice in applying ciąg arytmetyczny zadania maturalne $arithmetic sequence exam problems$ and prepares students for more complex problem-solving scenarios.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Page 1: Introduction to Arithmetic Sequences

This page introduces the concept of arithmetic sequences and provides essential formulas and examples.

Definition: An arithmetic sequence is a series of numbers where each subsequent term differs from the previous one by a constant value, known as the common difference.

The page covers the following key points:

• Components of an arithmetic sequence: first term $a₁$ , common difference $r$ , and subsequent terms • Examples of increasing and decreasing arithmetic sequences • Ciąg arytmetyczny wzory $Arithmetic sequence formulas$ for finding the nth term and the sum of n terms

Example: In the sequence 2, 4, 6, 8, the common difference $r$ is 2, and it's an increasing sequence.

Highlight: The formula for the nth term of an arithmetic sequence is aₙ = a₁ + $n-1$ • r, where a₁ is the first term, n is the position of the term, and r is the common difference.

The page also introduces the wzór na sumę ciągu arytmetycznego $formula for the sum of an arithmetic sequence$ : Sₙ = $n/2$ • $a₁ + aₙ$ , where n is the number of terms, a₁ is the first term, and aₙ is the last term.

Vocabulary: • Ciąg rosnący: Increasing sequence • Ciąg malejący: Decreasing sequence • Wyrazy ciągu: Terms of the sequence

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Ciąg arytmetyczny
369
11

Matematyka - wzory ciągi liczbowe
627
23

ciąg geometryczny
406
17

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS