Ciągi arytmetyczne i geometryczne - kluczowe wzory i właściwości
Strona ta zawiera kompleksowe zestawienie najważniejszych wzorów i właściwości ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Te fundamentalne koncepcje matematyczne są niezbędne do zrozumienia wielu zagadnień w algebrze i analizie matematycznej.
Ciąg arytmetyczny
Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego jest dany wzorem:
an = a₁ + (n-1)r
gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.
Definition: Różnica ciągu arytmetycznego (r) to stała wartość, o którą każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego.
Suma ciągu arytmetycznego może być obliczona na dwa sposoby:
- Sn = (a₁ + an) * n / 2
- Sn = [2a₁ + (n-1)r] * n / 2
Example: Dla ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a₁ = 3 i różnicy r = 2, piąty wyraz wynosi: a₅ = 3 + (5-1)*2 = 11
Ciąg geometryczny
Wzór ogólny ciągu geometrycznego jest następujący:
an = a₁ * q^(n-1)
gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, q to iloraz ciągu, a n to numer wyrazu.
Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego (q) to stała wartość, przez którą mnożymy każdy wyraz, aby otrzymać następny.
Suma ciągu geometrycznego dla q ≠ 1 jest dana wzorem:
Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)
Dla q = 1, suma wynosi: Sn = n * a₁
Highlight: Wzór rekurencyjny dla ciągu geometrycznego: a₁ = a, an+₁ = an * q, dla n ≥ 1
Dokument omawia również monotoniczność ciągów geometrycznych:
- Ciąg malejący: a₁ > 0 i 0 < q < 1 lub a₁ < 0 i q > 1
- Ciąg rosnący: a₁ > 0 i q > 1 lub a₁ < 0 i 0 < q < 1
- Ciąg stały: q = 1
- Ciąg niemonotoniczny: a₁ < 0 i q < 0 lub a₁ > 0 i q < 0
Quote: "Wzór na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego: an² = an-₁ * an+₁"
Ta formuła jest szczególnie przydatna w zadaniach wymagających analizy relacji między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego.
