Ciągi arytmetyczne i geometryczne - kluczowe wzory i właściwości
Strona ta zawiera kompleksowe zestawienie najważniejszych wzorów i właściwości ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Te fundamentalne koncepcje matematyczne są niezbędne do zrozumienia wielu zagadnień w algebrze i analizie matematycznej.
Ciąg arytmetyczny
Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego jest dany wzorem:
an = a₁ + n−1r
gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.
Definition: Różnica ciągu arytmetycznego r to stała wartość, o którą każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego.
Suma ciągu arytmetycznego może być obliczona na dwa sposoby:
- Sn = a1+an * n / 2
- Sn = 2a1+(n−1)r * n / 2
Example: Dla ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a₁ = 3 i różnicy r = 2, piąty wyraz wynosi: a₅ = 3 + 5−1*2 = 11
Ciąg geometryczny
Wzór ogólny ciągu geometrycznego jest następujący:
an = a₁ * q^n−1
gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, q to iloraz ciągu, a n to numer wyrazu.
Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego q to stała wartość, przez którą mnożymy każdy wyraz, aby otrzymać następny.
Suma ciągu geometrycznego dla q ≠ 1 jest dana wzorem:
Sn = a₁ * 1−qn / 1−q
Dla q = 1, suma wynosi: Sn = n * a₁
Highlight: Wzór rekurencyjny dla ciągu geometrycznego: a₁ = a, an+₁ = an * q, dla n ≥ 1
Dokument omawia również monotoniczność ciągów geometrycznych:
- Ciąg malejący: a₁ > 0 i 0 < q < 1 lub a₁ < 0 i q > 1
- Ciąg rosnący: a₁ > 0 i q > 1 lub a₁ < 0 i 0 < q < 1
- Ciąg stały: q = 1
- Ciąg niemonotoniczny: a₁ < 0 i q < 0 lub a₁ > 0 i q < 0
Quote: "Wzór na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego: an² = an-₁ * an+₁"
Ta formuła jest szczególnie przydatna w zadaniach wymagających analizy relacji między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego.
