Otwórz aplikację

Przedmioty

Przygody z Ciągiem Arytmetycznym i Geometrycznym: Wzory i Zadania

116

0

W

Wiktoria Konecka

7.10.2025

Matematyka

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

2933

7 paź 2025

1 strona

Przygody z Ciągiem Arytmetycznym i Geometrycznym: Wzory i Zadania

W

Wiktoria Konecka

@wiktoriakonecka_ifjb

Ciągi arytmetyczne i geometryczne to kluczowe koncepcje w matematyce, które... Pokaż więcej

Wzór ogólny
an=a+(n-1)
Suma
Sn = a1+an
2
lub
Sn= 201+(n-1)r.n
2

an+1
+ An-1
An=
2

= An+1-an
050-920-30r
r->różnica

Wzór rekurencyjny
sa₁=

Ciągi arytmetyczne i geometryczne - kluczowe wzory i właściwości

Strona ta zawiera kompleksowe zestawienie najważniejszych wzorów i właściwości ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Te fundamentalne koncepcje matematyczne są niezbędne do zrozumienia wielu zagadnień w algebrze i analizie matematycznej.

Ciąg arytmetyczny

Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego jest dany wzorem: an = a₁ + n1n-1r

gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.

Definition: Różnica ciągu arytmetycznego (r) to stała wartość, o którą każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego.

Suma ciągu arytmetycznego może być obliczona na dwa sposoby:

  1. Sn = a1+ana₁ + an * n / 2
  2. Sn = 2a1+(n1)r2a₁ + (n-1)r * n / 2

Example: Dla ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a₁ = 3 i różnicy r = 2, piąty wyraz wynosi: a₅ = 3 + 515-1*2 = 11

Ciąg geometryczny

Wzór ogólny ciągu geometrycznego jest następujący: an = a₁ * q^n1n-1

gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, q to iloraz ciągu, a n to numer wyrazu.

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego (q) to stała wartość, przez którą mnożymy każdy wyraz, aby otrzymać następny.

Suma ciągu geometrycznego dla q ≠ 1 jest dana wzorem: Sn = a₁ * 1qn1 - q^n / 1q1 - q

Dla q = 1, suma wynosi: Sn = n * a₁

Highlight: Wzór rekurencyjny dla ciągu geometrycznego: a₁ = a, an+₁ = an * q, dla n ≥ 1

Dokument omawia również monotoniczność ciągów geometrycznych:

  • Ciąg malejący: a₁ > 0 i 0 < q < 1 lub a₁ < 0 i q > 1
  • Ciąg rosnący: a₁ > 0 i q > 1 lub a₁ < 0 i 0 < q < 1
  • Ciąg stały: q = 1
  • Ciąg niemonotoniczny: a₁ < 0 i q < 0 lub a₁ > 0 i q < 0

Quote: "Wzór na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego: an² = an-₁ * an+₁"

Ta formuła jest szczególnie przydatna w zadaniach wymagających analizy relacji między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

 

Matematyka

2933

7 paź 2025

1 strona

Przygody z Ciągiem Arytmetycznym i Geometrycznym: Wzory i Zadania

W

Wiktoria Konecka

@wiktoriakonecka_ifjb

Ciągi arytmetyczne i geometryczne to kluczowe koncepcje w matematyce, które pomagają zrozumieć wzory i relacje między liczbami. Wzór ogólny w matematyce jest podstawą do analizy tych ciągów, umożliwiając przewidywanie kolejnych elementów i sum.

  • Ciąg arytmetyczny charakteryzuje się stałą różnicą między... Pokaż więcej

Wzór ogólny
an=a+(n-1)
Suma
Sn = a1+an
2
lub
Sn= 201+(n-1)r.n
2

an+1
+ An-1
An=
2

= An+1-an
050-920-30r
r->różnica

Wzór rekurencyjny
sa₁=

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciągi arytmetyczne i geometryczne - kluczowe wzory i właściwości

Strona ta zawiera kompleksowe zestawienie najważniejszych wzorów i właściwości ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Te fundamentalne koncepcje matematyczne są niezbędne do zrozumienia wielu zagadnień w algebrze i analizie matematycznej.

Ciąg arytmetyczny

Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego jest dany wzorem: an = a₁ + n1n-1r

gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.

Definition: Różnica ciągu arytmetycznego (r) to stała wartość, o którą każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego.

Suma ciągu arytmetycznego może być obliczona na dwa sposoby:

  1. Sn = a1+ana₁ + an * n / 2
  2. Sn = 2a1+(n1)r2a₁ + (n-1)r * n / 2

Example: Dla ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a₁ = 3 i różnicy r = 2, piąty wyraz wynosi: a₅ = 3 + 515-1*2 = 11

Ciąg geometryczny

Wzór ogólny ciągu geometrycznego jest następujący: an = a₁ * q^n1n-1

gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, q to iloraz ciągu, a n to numer wyrazu.

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego (q) to stała wartość, przez którą mnożymy każdy wyraz, aby otrzymać następny.

Suma ciągu geometrycznego dla q ≠ 1 jest dana wzorem: Sn = a₁ * 1qn1 - q^n / 1q1 - q

Dla q = 1, suma wynosi: Sn = n * a₁

Highlight: Wzór rekurencyjny dla ciągu geometrycznego: a₁ = a, an+₁ = an * q, dla n ≥ 1

Dokument omawia również monotoniczność ciągów geometrycznych:

  • Ciąg malejący: a₁ > 0 i 0 < q < 1 lub a₁ < 0 i q > 1
  • Ciąg rosnący: a₁ > 0 i q > 1 lub a₁ < 0 i 0 < q < 1
  • Ciąg stały: q = 1
  • Ciąg niemonotoniczny: a₁ < 0 i q < 0 lub a₁ > 0 i q < 0

Quote: "Wzór na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego: an² = an-₁ * an+₁"

Ta formuła jest szczególnie przydatna w zadaniach wymagających analizy relacji między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

116

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Silnia i Trójkąt Pascala

Zrozumienie silni oraz symbolu Newtona w kontekście trójkąta Pascala. Dowiedz się, jak obliczać silnię, stosować wzory Newtona oraz odkrywać właściwości trójkąta Pascala. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
3

Ciągi Liczb: Matura

Analiza zadań maturalnych dotyczących ciągów liczbowych. Dowiedz się, które liczby nie są wyrazami ciągu o wzorze ogólnym an = 4n + 2. Obejmuje przykłady, rozwiązania oraz kluczowe pojęcia z zakresu podstaw precalculus. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury.

MatematykaMatematyka
1

Własności i Przekształcenia Funkcji

Zgłębiaj kluczowe aspekty funkcji matematycznych, w tym wykresy funkcji, monotoniczność, oraz przekształcenia wykresów. Dowiedz się o funkcjach rosnących, malejących oraz niemonotonicznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Matura Matematyka 2020

Kompletny arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym z 2020 roku. Zawiera zadania dotyczące równań, funkcji, geometrii oraz ciągów. Idealny materiał do nauki i powtórki przed egzaminem.

MatematykaMatematyka
4

Wzory Ciągów Matematycznych

Odkryj kluczowe wzory dotyczące ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Zrozum różnice między nimi oraz zastosowanie w zadaniach matematycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów. Typ: podsumowanie.

MatematykaMatematyka
4

Usuwanie Niewymierności Mianownika

Zrozumienie technik usuwania niewymierności z mianownika. Ta prezentacja omawia metody, takie jak skrócone mnożenie oraz przykłady zastosowania, aby uprościć wyrażenia algebraiczne. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS