Przygody z Ciągiem Arytmetycznym i Geometrycznym: Wzory i Zadania

116

Wiktoria Konecka

14.11.2022

Matematyka

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

2926

•

14 lis 2022

•

1 strona

Przygody z Ciągiem Arytmetycznym i Geometrycznym: Wzory i Zadania

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Wiktoria Konecka

@wiktoriakonecka_ifjb

Ciągi arytmetyczne i geometryczne to kluczowe koncepcje w matematyce, które... Pokaż więcej

سمسمسم ومنت
Wzór ogólny
+ (n=^) ~²
an= a₁ +
Suma
Sn = a₁ + an
2
lub
Sn= 2a₁ + (n-₁)
2
Suma
1-q²
1-9
Sn=a₁
лив
)
02
q#1
Sn=n· 9₁ q=1
>
فاسها

Ciągi arytmetyczne i geometryczne - kluczowe wzory i właściwości

Strona ta zawiera kompleksowe zestawienie najważniejszych wzorów i właściwości ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Te fundamentalne koncepcje matematyczne są niezbędne do zrozumienia wielu zagadnień w algebrze i analizie matematycznej.

Ciąg arytmetyczny

Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego jest dany wzorem: an = a₁ + $n-1$ r

gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.

Definition: Różnica ciągu arytmetycznego (r) to stała wartość, o którą każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego.

Suma ciągu arytmetycznego może być obliczona na dwa sposoby:

Sn = $a₁ + an$ * n / 2
Sn = $2a₁ + (n-1)r$ * n / 2

Example: Dla ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a₁ = 3 i różnicy r = 2, piąty wyraz wynosi: a₅ = 3 + $5-1$ *2 = 11

Ciąg geometryczny

Wzór ogólny ciągu geometrycznego jest następujący: an = a₁ * q^ $n-1$

gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, q to iloraz ciągu, a n to numer wyrazu.

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego (q) to stała wartość, przez którą mnożymy każdy wyraz, aby otrzymać następny.

Suma ciągu geometrycznego dla q ≠ 1 jest dana wzorem: Sn = a₁ * $1 - q^n$ / $1 - q$

Dla q = 1, suma wynosi: Sn = n * a₁

Highlight: Wzór rekurencyjny dla ciągu geometrycznego: a₁ = a, an+₁ = an * q, dla n ≥ 1

Dokument omawia również monotoniczność ciągów geometrycznych:

Ciąg malejący: a₁ > 0 i 0 < q < 1 lub a₁ < 0 i q > 1
Ciąg rosnący: a₁ > 0 i q > 1 lub a₁ < 0 i 0 < q < 1
Ciąg stały: q = 1
Ciąg niemonotoniczny: a₁ < 0 i q < 0 lub a₁ > 0 i q < 0

Quote: "Wzór na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego: an² = an-₁ * an+₁"

Ta formuła jest szczególnie przydatna w zadaniach wymagających analizy relacji między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

ciągi

3565

120

Ciągi monotoniczne

1086

ciągi zadania maturalne

105

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Matematyka

•

2926

•

14 lis 2022

•

1 strona

Przygody z Ciągiem Arytmetycznym i Geometrycznym: Wzory i Zadania

Wiktoria Konecka

@wiktoriakonecka_ifjb

Ciągi arytmetyczne i geometryczne to kluczowe koncepcje w matematyce, które pomagają zrozumieć wzory i relacje między liczbami. Wzór ogólny w matematyce jest podstawą do analizy tych ciągów, umożliwiając przewidywanie kolejnych elementów i sum.

Ciąg arytmetyczny charakteryzuje się stałą różnicą między... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciągi arytmetyczne i geometryczne - kluczowe wzory i właściwości

Ciąg arytmetyczny

Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego jest dany wzorem: an = a₁ + $n-1$ r

gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.

Definition: Różnica ciągu arytmetycznego (r) to stała wartość, o którą każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego.

Suma ciągu arytmetycznego może być obliczona na dwa sposoby:

Sn = $a₁ + an$ * n / 2
Sn = $2a₁ + (n-1)r$ * n / 2

Example: Dla ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a₁ = 3 i różnicy r = 2, piąty wyraz wynosi: a₅ = 3 + $5-1$ *2 = 11

Ciąg geometryczny

Wzór ogólny ciągu geometrycznego jest następujący: an = a₁ * q^ $n-1$

gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, q to iloraz ciągu, a n to numer wyrazu.

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego (q) to stała wartość, przez którą mnożymy każdy wyraz, aby otrzymać następny.

Suma ciągu geometrycznego dla q ≠ 1 jest dana wzorem: Sn = a₁ * $1 - q^n$ / $1 - q$

Dla q = 1, suma wynosi: Sn = n * a₁

Highlight: Wzór rekurencyjny dla ciągu geometrycznego: a₁ = a, an+₁ = an * q, dla n ≥ 1

Dokument omawia również monotoniczność ciągów geometrycznych:

Ciąg malejący: a₁ > 0 i 0 < q < 1 lub a₁ < 0 i q > 1
Ciąg rosnący: a₁ > 0 i q > 1 lub a₁ < 0 i 0 < q < 1
Ciąg stały: q = 1
Ciąg niemonotoniczny: a₁ < 0 i q < 0 lub a₁ > 0 i q < 0

Quote: "Wzór na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego: an² = an-₁ * an+₁"

Ta formuła jest szczególnie przydatna w zadaniach wymagających analizy relacji między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

ciągi

3565

120

Ciągi monotoniczne

1086

ciągi zadania maturalne

105

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS