Przedmioty

Knowunity AI

Więcej

Kariera

Program dla Twórców

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Analiza Ciągów i Szeregów

ciąg geometryczny

473

•

30 sty 2026

•

3 strony

Ciąg geometryczny - Wyjaśnienia i przykłady

user profile picture

Natalia Buć

@nbuc

Ciągi geometryczne to specjalne sekwencje liczbowe, w których każdy wyraz... Pokaż więcej

Page 1
Page 2
Page 3
1 / 3
# Ciąg geometryczny Def Ciąg (an) nazywamy geometryczuyor wtedy, goly hardy wyner, oprócz pierwszego. powstaje prez wymnożenie ryram popred

Definicja i wzory ciągu geometrycznego

Ciąg (an)(a_n) nazywamy geometrycznym, gdy każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę qq (iloraz ciągu).

Możemy to zapisać jako: an+1=an⋅qa_{n+1} = a_n \cdot q lub an+1an=q\frac{a_{n+1}}{a_n} = q dla n∈N+n \in N_+ i q≠0q \neq 0.

Jeśli znamy pierwszy wyraz ciągu $a_1$ oraz iloraz ($q$), możemy wyznaczyć dowolny wyraz ciągu za pomocą wzoru: an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}. Na przykład:

  • a9=a1⋅q8a_9 = a_1 \cdot q^8
  • a14=a1⋅q13a_{14} = a_1 \cdot q^{13}

💡 Ciekawostka: W ciągu geometrycznym każdy wyraz (z wyjątkiem pierwszego i ostatniego) jest średnią geometryczną sąsiednich wyrazów: an=an−1⋅an+1a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} dla wyrazów nieujemnych.

# Ciąg geometryczny Def Ciąg (an) nazywamy geometryczuyor wtedy, goly hardy wyner, oprócz pierwszego. powstaje prez wymnożenie ryram popred

Monotoniczność ciągu geometrycznego

Zachowanie ciągu geometrycznego zależy od wartości pierwszego wyrazu $a_1$ oraz ilorazu ($q$):

  1. Gdy a1>0a_1 > 0 i q>1q > 1, ciąg jest rosnący $a_n \uparrow$
  2. Gdy a1>0a_1 > 0 i $0 < q < 1$, ciąg jest malejący $a_n \downarrow$
  3. Gdy a1<0a_1 < 0 i q>1q > 1, ciąg jest malejący $a_n \downarrow$
  4. Gdy a1<0a_1 < 0 i $0 < q < 1$, ciąg jest rosnący $a_n \uparrow$
  5. Gdy q=1q = 1 lub q=0q = 0, ciąg jest stały dla $q = 0$ stały od drugiego wyrazu
  6. Gdy a1≠0a_1 \neq 0 i q<0q < 0, ciąg nie jest monotoniczny (wyrazy na przemian dodatnie i ujemne)

Aby sprawdzić, czy trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, możemy użyć jednego z warunków:

  • Ilorazy sąsiednich wyrazów są równe: a2a1=a3a2\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}
  • Kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych: a22=a1⋅a3a_2^2 = a_1 \cdot a_3

✏️ Wskazówka: Podczas rozwiązywania zadań najłatwiej sprawdzić, czy trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, obliczając ilorazy sąsiednich wyrazów i sprawdzając, czy są równe.

# Ciąg geometryczny Def Ciąg (an) nazywamy geometryczuyor wtedy, goly hardy wyner, oprócz pierwszego. powstaje prez wymnożenie ryram popred

Suma pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego

Sumę pierwszych nn wyrazów ciągu geometrycznego możemy obliczyć korzystając z wzorów:

  1. Gdy q≠1q \neq 1: Sn=a1⋅1−qn1−qS_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}
  2. Gdy q=1q = 1: Sn=n⋅a1S_n = n \cdot a_1 wszystkie wyrazy są równe $a_1$

Wzór na sumę można łatwo zapamiętać i jest bardzo przydatny podczas rozwiązywania zadań. Wykorzystujemy go, gdy znamy pierwszy wyraz ciągu, iloraz oraz liczbę wyrazów, które chcemy zsumować.

Aby rozwiązać zadanie z sumą ciągu, zazwyczaj potrzebujemy:

  • Pierwszego wyrazu a1a_1
  • Ilorazu qq
  • Liczby wyrazów nn

Na przykład, dla ciągu $1 + 2 + 4 + ... + 64mamy mamy a_1 = 1,, q = 2,aostatniwyrazto, a ostatni wyraz to 64.Obliczamy. Obliczamy n = 7(bo (bo 2^6 = 64)istosujemywzoˊr:) i stosujemy wzór: S_7 = 1 \cdot \frac{1-2^7}{1-2} = 127$.

🔑 Kluczowe: Wzór na sumę ciągu geometrycznego pozwala w prosty sposób obliczyć sumę wielu wyrazów, zamiast żmudnego dodawania każdego z nich osobno.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Najpopularniejsze notatki: ciąg geometryczny

Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

Zrozumienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych: wzory ogólne, sumy, wzory rekurencyjne oraz monotoniczność. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje kluczowe pojęcia, takie jak różnica, iloraz oraz wzory na trzy kolejne wyrazy ciągu.

MatematykaMatematyka
3

Ciąg Geometryczny: Wzory i Zastosowania

Praktyczne zadania dotyczące ciągów geometrycznych oraz ich sum. Obejmuje wzory, przykłady i rozwiązania zadań z zakresu podstawowego, idealne dla uczniów klasy trzeciej. Dowiedz się, jak identyfikować ciągi geometryczne i obliczać ich sumy.

MatematykaMatematyka
3

Ciągi Liczbowe i Ich Właściwości

Zgłębiaj temat ciągów liczbowych, ich właściwości oraz zastosowania w matematyce i finansach. Dowiedz się o monotoniczności, granicach ciągów oraz obliczeniach ekonomicznych. Idealne materiały do nauki dla studentów matematyki i finansów. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
4

Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

Zrozumienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych: wzory, przykłady oraz zadania do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje kluczowe wzory na różnice, ilorazy oraz sumy ciągów.

MatematykaMatematyka
1

Ciągi Geometryczne: Rozwiązywanie Zadań

Praktyczny przewodnik po zadaniach dotyczących ciągów geometrycznych. Dowiedz się, jak obliczać iloraz, wyrazy oraz rozwiązywać problemy maturalne krok po kroku. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów. Tematy obejmują operacje na potęgach, ciągi oraz granice ciągów.

MatematykaMatematyka
1

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Zgłębiaj podstawowe pojęcia geometrii płaskiej, w tym rodzaje figur, miary kątów, przystawanie trójkątów oraz wzory na pola. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje proste, kąty, trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne.

MatematykaMatematyka
8

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie, miejsca zerowe, osie symetrii oraz monotoniczność. Przykłady zadań do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, przykłady obliczeń oraz kluczowe wzory. Dowiedz się, jak rozwiązywać działania z logarytmami, w tym logarytmy z ułamkami i pierwiastkami. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
1

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej, jej właściwości, miejsca zerowe oraz zastosowanie w rozwiązywaniu równań. Materiał obejmuje przykłady, wzory oraz metody analizy funkcji kwadratowej w kontekście geometrii i algebraicznych równań. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
1

Wzory Geometrii Przestrzennej

Zbiór kluczowych wzorów dotyczących pól i objętości figur przestrzennych, w tym graniastosłupów, prostopadłościanów, sześcianów oraz ostrosłupów. Idealne materiały do nauki przed egzaminem ósmoklasisty. Obejmuje również wzory na pola figur płaskich, takich jak trójkąty, prostokąty i trapezy.

MatematykaMatematyka
8

Stereoizomeria

Wzory graniastosłupy,ostrosłupy,walec,kula,stożek

MatematykaMatematyka
4

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, zasady, kluczowe wzory oraz praktyczne przykłady. Dowiedz się, jak wykonywać operacje na logarytmach, zamieniać podstawy oraz rozwiązywać równania logarytmiczne. Idealne dla uczniów i studentów matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

MatematykaMatematyka
8

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Notatka ciągi, ciąg arytmetyczny i geometryczny - najważniejsze wzory i informacje

MatematykaMatematyka
1

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Analiza dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, obejmująca genezę, gatunki, kompozycję, bohaterów oraz kluczowe symbole i problemy społeczne. Zawiera omówienie podziałów między inteligencją a chłopstwem oraz narodowych mitów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Analiza powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, głównych bohaterów oraz szczegółowy plan wydarzeń. Zawiera omówienie kluczowych motywów literackich, takich jak patriotyzm, rewolucja, miłość i przemiana Cezarego Baryki. Idealne dla studentów przygotowujących się do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, który ukazuje podziały między inteligencją a chłopstwem w Polsce na początku XX wieku. Odkryj symbole, narodowe mity oraz kluczowe rozmowy, które ilustrują społeczne napięcia i brak zrozumienia. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
3

Dziady III: Mesjanizm i Konrad

Analiza 'Dziadów' cz. III Adama Mickiewicza, koncentrująca się na postaci Konrada jako romantycznego bohatera oraz motywach mesjanizmu i cierpienia narodu. Zawiera omówienie kluczowych scen, postaci historycznych i ich znaczenia w kontekście walki o wolność. Idealna dla studentów literatury polskiej i miłośników romantyzmu.

Język polskiJęzyk polski
2

Analiza Dziadów III

Szczegółowa analiza III części 'Dziadów' Adama Mickiewicza, koncentrująca się na tematach buntu, mesjanizmu oraz przemiany bohatera Konrada. Obejmuje omówienie gatunku dramat romantyczny, psychomachii, oraz roli Księdza Piotra. Idealne dla studentów literatury polskiej i romantyzmu. Typ: opracowanie.

Język polskiJęzyk polski
4

Konflikty w Antygonie

Analiza konfliktów tragicznych w 'Antygonie' Sofoklesa, obejmująca zderzenie praw boskich i państwowych, oraz dylematy moralne bohaterów. Zawiera streszczenie, kluczowe motywy, oraz charakterystykę postaci. Idealne dla uczniów przygotowujących się do lekcji lub egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
4

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Odkryj istotne cechy i motywy epoki Młodej Polski, w tym dekadentyzm, sztukę dla sztuki oraz wpływ filozofii Nietzschego i Schopenhauera. Analiza najważniejszych twórców, ich dzieł oraz typów bohaterów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
1

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Analiza Ksiąg Biblijnych

Zgłębiaj kluczowe Księgi Biblii, w tym Księgę Rodzaju, Pieśń nad Pieśniami, Księgę Hioba, Księgę Koheleta, Księgę Psalmów oraz Apokalipsę św. Jana. Odkryj ich przesłania, relacje między Bogiem a człowiekiem oraz znaczenie w kontekście chrześcijańskim. Idealne dla studentów teologii i miłośników literatury biblijnej.

Język polskiJęzyk polski
4

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Analiza Ciągów i Szeregów

ciąg geometryczny

 

Matematyka

•

473

•

30 sty 2026

•

3 strony

Ciąg geometryczny - Wyjaśnienia i przykłady

user profile picture

Natalia Buć

@nbuc

Ciągi geometryczne to specjalne sekwencje liczbowe, w których każdy wyraz (oprócz pierwszego) powstaje przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę, zwaną ilorazem ciągu. Zrozumienie ciągów geometrycznych jest kluczowe w matematyce i ma wiele praktycznych zastosowań.

# Ciąg geometryczny Def Ciąg (an) nazywamy geometryczuyor wtedy, goly hardy wyner, oprócz pierwszego. powstaje prez wymnożenie ryram popred

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Definicja i wzory ciągu geometrycznego

Ciąg (an)(a_n) nazywamy geometrycznym, gdy każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę qq (iloraz ciągu).

Możemy to zapisać jako: an+1=an⋅qa_{n+1} = a_n \cdot q lub an+1an=q\frac{a_{n+1}}{a_n} = q dla n∈N+n \in N_+ i q≠0q \neq 0.

Jeśli znamy pierwszy wyraz ciągu $a_1$ oraz iloraz ($q$), możemy wyznaczyć dowolny wyraz ciągu za pomocą wzoru: an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}. Na przykład:

  • a9=a1⋅q8a_9 = a_1 \cdot q^8
  • a14=a1⋅q13a_{14} = a_1 \cdot q^{13}

💡 Ciekawostka: W ciągu geometrycznym każdy wyraz (z wyjątkiem pierwszego i ostatniego) jest średnią geometryczną sąsiednich wyrazów: an=an−1⋅an+1a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} dla wyrazów nieujemnych.

# Ciąg geometryczny Def Ciąg (an) nazywamy geometryczuyor wtedy, goly hardy wyner, oprócz pierwszego. powstaje prez wymnożenie ryram popred

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Monotoniczność ciągu geometrycznego

Zachowanie ciągu geometrycznego zależy od wartości pierwszego wyrazu $a_1$ oraz ilorazu ($q$):

  1. Gdy a1>0a_1 > 0 i q>1q > 1, ciąg jest rosnący $a_n \uparrow$
  2. Gdy a1>0a_1 > 0 i $0 < q < 1$, ciąg jest malejący $a_n \downarrow$
  3. Gdy a1<0a_1 < 0 i q>1q > 1, ciąg jest malejący $a_n \downarrow$
  4. Gdy a1<0a_1 < 0 i $0 < q < 1$, ciąg jest rosnący $a_n \uparrow$
  5. Gdy q=1q = 1 lub q=0q = 0, ciąg jest stały dla $q = 0$ stały od drugiego wyrazu
  6. Gdy a1≠0a_1 \neq 0 i q<0q < 0, ciąg nie jest monotoniczny (wyrazy na przemian dodatnie i ujemne)

Aby sprawdzić, czy trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, możemy użyć jednego z warunków:

  • Ilorazy sąsiednich wyrazów są równe: a2a1=a3a2\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}
  • Kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych: a22=a1⋅a3a_2^2 = a_1 \cdot a_3

✏️ Wskazówka: Podczas rozwiązywania zadań najłatwiej sprawdzić, czy trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, obliczając ilorazy sąsiednich wyrazów i sprawdzając, czy są równe.

# Ciąg geometryczny Def Ciąg (an) nazywamy geometryczuyor wtedy, goly hardy wyner, oprócz pierwszego. powstaje prez wymnożenie ryram popred

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Suma pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego

Sumę pierwszych nn wyrazów ciągu geometrycznego możemy obliczyć korzystając z wzorów:

  1. Gdy q≠1q \neq 1: Sn=a1⋅1−qn1−qS_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}
  2. Gdy q=1q = 1: Sn=n⋅a1S_n = n \cdot a_1 wszystkie wyrazy są równe $a_1$

Wzór na sumę można łatwo zapamiętać i jest bardzo przydatny podczas rozwiązywania zadań. Wykorzystujemy go, gdy znamy pierwszy wyraz ciągu, iloraz oraz liczbę wyrazów, które chcemy zsumować.

Aby rozwiązać zadanie z sumą ciągu, zazwyczaj potrzebujemy:

  • Pierwszego wyrazu a1a_1
  • Ilorazu qq
  • Liczby wyrazów nn

Na przykład, dla ciągu $1 + 2 + 4 + ... + 64mamy mamy a_1 = 1,, q = 2,aostatniwyrazto, a ostatni wyraz to 64.Obliczamy. Obliczamy n = 7(bo (bo 2^6 = 64)istosujemywzoˊr:) i stosujemy wzór: S_7 = 1 \cdot \frac{1-2^7}{1-2} = 127$.

🔑 Kluczowe: Wzór na sumę ciągu geometrycznego pozwala w prosty sposób obliczyć sumę wielu wyrazów, zamiast żmudnego dodawania każdego z nich osobno.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

5

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny egzamin próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Kombinatoryka i Prawdopodobieństwo

Zgłębiaj zasady kombinatoryki i prawdopodobieństwa w matematyce. Obejmuje definicje, wzory na permutacje, kombinacje oraz aksjomaty prawdopodobieństwa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury.

MatematykaMatematyka
4

Usuwanie Niewymierności Mianownika

Zrozumienie technik usuwania niewymierności z mianownika. Ta prezentacja omawia metody, takie jak skrócone mnożenie oraz przykłady zastosowania, aby uprościć wyrażenia algebraiczne. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Tablice Maturalne Matematyki

Kompleksowe tablice maturalne z kluczowymi wzorami i definicjami z matematyki, obejmujące trygonometrię, geometrię, funkcje oraz statystykę. Idealne do nauki i przygotowania do matury.

MatematykaMatematyka
4

Ciągi Liczbowe i Ich Właściwości

Zrozumienie ciągów liczbowych, w tym ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Dowiedz się o ich monotoniczności, wzorach oraz sumach szeregów geometrycznych. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
3

Ciągi Arytmetyczne

Zrozumienie ciągów arytmetycznych: wzory na różnicę, n-ty wyraz oraz sumę. Przykłady obliczeń, badanie monotoniczności oraz rysowanie wykresów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
3

Granice Funkcji: Przykłady

Zbiór zadań dotyczących obliczania granic funkcji w różnych punktach. Materiał obejmuje przykłady limitów, w tym granice funkcji ciągłych oraz zastosowanie pojęcia granicy w analizie matematycznej. Idealne dla uczniów klasy 3 rozszerzonej z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Najpopularniejsze notatki: ciąg geometryczny

Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

Zrozumienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych: wzory ogólne, sumy, wzory rekurencyjne oraz monotoniczność. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje kluczowe pojęcia, takie jak różnica, iloraz oraz wzory na trzy kolejne wyrazy ciągu.

MatematykaMatematyka
3

Ciąg Geometryczny: Wzory i Zastosowania

Praktyczne zadania dotyczące ciągów geometrycznych oraz ich sum. Obejmuje wzory, przykłady i rozwiązania zadań z zakresu podstawowego, idealne dla uczniów klasy trzeciej. Dowiedz się, jak identyfikować ciągi geometryczne i obliczać ich sumy.

MatematykaMatematyka
3

Ciągi Liczbowe i Ich Właściwości

Zgłębiaj temat ciągów liczbowych, ich właściwości oraz zastosowania w matematyce i finansach. Dowiedz się o monotoniczności, granicach ciągów oraz obliczeniach ekonomicznych. Idealne materiały do nauki dla studentów matematyki i finansów. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
4

Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

Zrozumienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych: wzory, przykłady oraz zadania do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje kluczowe wzory na różnice, ilorazy oraz sumy ciągów.

MatematykaMatematyka
1

Ciągi Geometryczne: Rozwiązywanie Zadań

Praktyczny przewodnik po zadaniach dotyczących ciągów geometrycznych. Dowiedz się, jak obliczać iloraz, wyrazy oraz rozwiązywać problemy maturalne krok po kroku. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów. Tematy obejmują operacje na potęgach, ciągi oraz granice ciągów.

MatematykaMatematyka
1

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Geometria Figur Płaszczyzny

Zgłębiaj podstawowe pojęcia geometrii płaskiej, w tym rodzaje figur, miary kątów, przystawanie trójkątów oraz wzory na pola. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje proste, kąty, trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne.

MatematykaMatematyka
8

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej: postacie, miejsca zerowe, osie symetrii oraz monotoniczność. Przykłady zadań do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, przykłady obliczeń oraz kluczowe wzory. Dowiedz się, jak rozwiązywać działania z logarytmami, w tym logarytmy z ułamkami i pierwiastkami. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów.

MatematykaMatematyka
1

Analiza Funkcji Kwadratowej

Zrozumienie funkcji kwadratowej, jej właściwości, miejsca zerowe oraz zastosowanie w rozwiązywaniu równań. Materiał obejmuje przykłady, wzory oraz metody analizy funkcji kwadratowej w kontekście geometrii i algebraicznych równań. Typ: Podsumowanie.

MatematykaMatematyka
1

Wzory Geometrii Przestrzennej

Zbiór kluczowych wzorów dotyczących pól i objętości figur przestrzennych, w tym graniastosłupów, prostopadłościanów, sześcianów oraz ostrosłupów. Idealne materiały do nauki przed egzaminem ósmoklasisty. Obejmuje również wzory na pola figur płaskich, takich jak trójkąty, prostokąty i trapezy.

MatematykaMatematyka
8

Stereoizomeria

Wzory graniastosłupy,ostrosłupy,walec,kula,stożek

MatematykaMatematyka
4

Podstawy Logarytmów

Zrozumienie logarytmów: definicje, zasady, kluczowe wzory oraz praktyczne przykłady. Dowiedz się, jak wykonywać operacje na logarytmach, zamieniać podstawy oraz rozwiązywać równania logarytmiczne. Idealne dla uczniów i studentów matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

MatematykaMatematyka
8

Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Notatka ciągi, ciąg arytmetyczny i geometryczny - najważniejsze wzory i informacje

MatematykaMatematyka
1

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Analiza dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, obejmująca genezę, gatunki, kompozycję, bohaterów oraz kluczowe symbole i problemy społeczne. Zawiera omówienie podziałów między inteligencją a chłopstwem oraz narodowych mitów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
4

Przedwiośnie: Kluczowe Motywy

Analiza powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, głównych bohaterów oraz szczegółowy plan wydarzeń. Zawiera omówienie kluczowych motywów literackich, takich jak patriotyzm, rewolucja, miłość i przemiana Cezarego Baryki. Idealne dla studentów przygotowujących się do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
4

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego, który ukazuje podziały między inteligencją a chłopstwem w Polsce na początku XX wieku. Odkryj symbole, narodowe mity oraz kluczowe rozmowy, które ilustrują społeczne napięcia i brak zrozumienia. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
3

Dziady III: Mesjanizm i Konrad

Analiza 'Dziadów' cz. III Adama Mickiewicza, koncentrująca się na postaci Konrada jako romantycznego bohatera oraz motywach mesjanizmu i cierpienia narodu. Zawiera omówienie kluczowych scen, postaci historycznych i ich znaczenia w kontekście walki o wolność. Idealna dla studentów literatury polskiej i miłośników romantyzmu.

Język polskiJęzyk polski
2

Analiza Dziadów III

Szczegółowa analiza III części 'Dziadów' Adama Mickiewicza, koncentrująca się na tematach buntu, mesjanizmu oraz przemiany bohatera Konrada. Obejmuje omówienie gatunku dramat romantyczny, psychomachii, oraz roli Księdza Piotra. Idealne dla studentów literatury polskiej i romantyzmu. Typ: opracowanie.

Język polskiJęzyk polski
4

Konflikty w Antygonie

Analiza konfliktów tragicznych w 'Antygonie' Sofoklesa, obejmująca zderzenie praw boskich i państwowych, oraz dylematy moralne bohaterów. Zawiera streszczenie, kluczowe motywy, oraz charakterystykę postaci. Idealne dla uczniów przygotowujących się do lekcji lub egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
4

Młoda Polska: Kluczowe Tematy

Odkryj istotne cechy i motywy epoki Młodej Polski, w tym dekadentyzm, sztukę dla sztuki oraz wpływ filozofii Nietzschego i Schopenhauera. Analiza najważniejszych twórców, ich dzieł oraz typów bohaterów. Idealne dla studentów literatury i kultury polskiej.

Język polskiJęzyk polski
1

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.

Język polskiJęzyk polski
1

Analiza Ksiąg Biblijnych

Zgłębiaj kluczowe Księgi Biblii, w tym Księgę Rodzaju, Pieśń nad Pieśniami, Księgę Hioba, Księgę Koheleta, Księgę Psalmów oraz Apokalipsę św. Jana. Odkryj ich przesłania, relacje między Bogiem a człowiekiem oraz znaczenie w kontekście chrześcijańskim. Idealne dla studentów teologii i miłośników literatury biblijnej.

Język polskiJęzyk polski
4

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

QUIZY I FISZKI SĄ SUPER PRZYDATNE I UWIELBIAM Knowunity AI. TO JEST DOSŁOWNIE JAK CHATGPT ALE MĄDRZEJSZY!! POMÓGŁ MI NAWET Z PROBLEMAMI Z TUSZEM DO RZĘS!! A TAKŻE Z PRAWDZIWYMI PRZEDMIOTAMI! OCZYWIŚCIE 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS