Ciąg geometryczny - Wyjaśnienia i przykłady

Natalia Buć

14.11.2025

Matematyka

Ciąg geometryczny

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

402

•

14 lis 2025

•

3 strony

Ciąg geometryczny - Wyjaśnienia i przykłady

Name: Knowunity
Brand: Knowunity
Rating: 4.6 (95900 reviews)

Natalia Buć

@nbuc

Ciągi geometryczne to specjalne sekwencje liczbowe, w których każdy wyraz... Pokaż więcej

1 / 3

# Ciąg geometryczny

Def
Ciąg (an) nazywamy geometryczuyor wtedy, goly hardy wyner, oprócz pierwszego.
powstaje prez wymnożenie ryram popred

Definicja i wzory ciągu geometrycznego

Ciąg $(a_n)$ nazywamy geometrycznym, gdy każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę $q$ (iloraz ciągu).

Możemy to zapisać jako: $a_{n+1} = a_n \cdot q$ lub $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$ dla $n \in N_+$ i $q \neq 0$ .

Jeśli znamy pierwszy wyraz ciągu $$a_1$$ oraz iloraz ($q$), możemy wyznaczyć dowolny wyraz ciągu za pomocą wzoru: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ . Na przykład:

$a_9 = a_1 \cdot q^8$
$a_{14} = a_1 \cdot q^{13}$

💡 Ciekawostka: W ciągu geometrycznym każdy wyraz (z wyjątkiem pierwszego i ostatniego) jest średnią geometryczną sąsiednich wyrazów: $a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}$ dla wyrazów nieujemnych.

Monotoniczność ciągu geometrycznego

Zachowanie ciągu geometrycznego zależy od wartości pierwszego wyrazu $$a_1$$ oraz ilorazu ($q$):

Gdy $a_1 > 0$ i $q > 1$ , ciąg jest rosnący $a_n \uparrow$
Gdy $a_1 > 0$ i $0 < q < 1$ , ciąg jest malejący $a_n \downarrow$
Gdy $a_1 < 0$ i $q > 1$ , ciąg jest malejący $a_n \downarrow$
Gdy $a_1 < 0$ i $0 < q < 1$ , ciąg jest rosnący $a_n \uparrow$
Gdy $q = 1$ lub $q = 0$ , ciąg jest stały $dla $q = 0$ stały od drugiego wyrazu$
Gdy $a_1 \neq 0$ i $q < 0$ , ciąg nie jest monotoniczny (wyrazy na przemian dodatnie i ujemne)

Aby sprawdzić, czy trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, możemy użyć jednego z warunków:

Ilorazy sąsiednich wyrazów są równe: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}$
Kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych: $a_2^2 = a_1 \cdot a_3$

✏️ Wskazówka: Podczas rozwiązywania zadań najłatwiej sprawdzić, czy trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, obliczając ilorazy sąsiednich wyrazów i sprawdzając, czy są równe.

Suma pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego

Sumę pierwszych $n$ wyrazów ciągu geometrycznego możemy obliczyć korzystając z wzorów:

Gdy $q \neq 1$ : $S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$
Gdy $q = 1$ : $S_n = n \cdot a_1$ $wszystkie wyrazy są równe $a_1$$

Wzór na sumę można łatwo zapamiętać i jest bardzo przydatny podczas rozwiązywania zadań. Wykorzystujemy go, gdy znamy pierwszy wyraz ciągu, iloraz oraz liczbę wyrazów, które chcemy zsumować.

Aby rozwiązać zadanie z sumą ciągu, zazwyczaj potrzebujemy:

Pierwszego wyrazu $a_1$
Ilorazu $q$
Liczby wyrazów $n$

Na przykład, dla ciągu $1 + 2 + 4 + ... + 64$ mamy $a_1 = 1$ , $q = 2$ , a ostatni wyraz to $64$ . Obliczamy $n = 7$ $bo $2^6 = 64$$ i stosujemy wzór: $S_7 = 1 \cdot \frac{1-2^7}{1-2} = 127$ .

🔑 Kluczowe: Wzór na sumę ciągu geometrycznego pozwala w prosty sposób obliczyć sumę wielu wyrazów, zamiast żmudnego dodawania każdego z nich osobno.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Matura matematyka

2850

Ciągi monotoniczne

1141

Logarytmy - własności, równania, nierówności

2370

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Matematyka

•

402

•

14 lis 2025

•

3 strony

Ciąg geometryczny - Wyjaśnienia i przykłady

Natalia Buć

@nbuc

Ciągi geometryczne to specjalne sekwencje liczbowe, w których każdy wyraz (oprócz pierwszego) powstaje przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę, zwaną ilorazem ciągu. Zrozumienie ciągów geometrycznych jest kluczowe w matematyce i ma wiele praktycznych zastosowań.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Definicja i wzory ciągu geometrycznego

Ciąg $(a_n)$ nazywamy geometrycznym, gdy każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę $q$ (iloraz ciągu).

Możemy to zapisać jako: $a_{n+1} = a_n \cdot q$ lub $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$ dla $n \in N_+$ i $q \neq 0$ .

Jeśli znamy pierwszy wyraz ciągu $$a_1$$ oraz iloraz ($q$), możemy wyznaczyć dowolny wyraz ciągu za pomocą wzoru: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ . Na przykład:

$a_9 = a_1 \cdot q^8$
$a_{14} = a_1 \cdot q^{13}$

💡 Ciekawostka: W ciągu geometrycznym każdy wyraz (z wyjątkiem pierwszego i ostatniego) jest średnią geometryczną sąsiednich wyrazów: $a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}$ dla wyrazów nieujemnych.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Monotoniczność ciągu geometrycznego

Zachowanie ciągu geometrycznego zależy od wartości pierwszego wyrazu $$a_1$$ oraz ilorazu ($q$):

Gdy $a_1 > 0$ i $q > 1$ , ciąg jest rosnący $a_n \uparrow$
Gdy $a_1 > 0$ i $0 < q < 1$ , ciąg jest malejący $a_n \downarrow$
Gdy $a_1 < 0$ i $q > 1$ , ciąg jest malejący $a_n \downarrow$
Gdy $a_1 < 0$ i $0 < q < 1$ , ciąg jest rosnący $a_n \uparrow$
Gdy $q = 1$ lub $q = 0$ , ciąg jest stały $dla $q = 0$ stały od drugiego wyrazu$
Gdy $a_1 \neq 0$ i $q < 0$ , ciąg nie jest monotoniczny (wyrazy na przemian dodatnie i ujemne)

Aby sprawdzić, czy trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, możemy użyć jednego z warunków:

Ilorazy sąsiednich wyrazów są równe: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}$
Kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych: $a_2^2 = a_1 \cdot a_3$

✏️ Wskazówka: Podczas rozwiązywania zadań najłatwiej sprawdzić, czy trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, obliczając ilorazy sąsiednich wyrazów i sprawdzając, czy są równe.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Suma pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego

Sumę pierwszych $n$ wyrazów ciągu geometrycznego możemy obliczyć korzystając z wzorów:

Gdy $q \neq 1$ : $S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$
Gdy $q = 1$ : $S_n = n \cdot a_1$ $wszystkie wyrazy są równe $a_1$$

Aby rozwiązać zadanie z sumą ciągu, zazwyczaj potrzebujemy:

Pierwszego wyrazu $a_1$
Ilorazu $q$
Liczby wyrazów $n$

Na przykład, dla ciągu $1 + 2 + 4 + ... + 64$ mamy $a_1 = 1$ , $q = 2$ , a ostatni wyraz to $64$ . Obliczamy $n = 7$ $bo $2^6 = 64$$ i stosujemy wzór: $S_7 = 1 \cdot \frac{1-2^7}{1-2} = 127$ .

🔑 Kluczowe: Wzór na sumę ciągu geometrycznego pozwala w prosty sposób obliczyć sumę wielu wyrazów, zamiast żmudnego dodawania każdego z nich osobno.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Matura Matematyka 2023

Zbiór zadań maturalnych z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2023 roku. Obejmuje zagadnienia takie jak funkcje, geometria, obliczanie objętości i pól powierzchni, a także działania na potęgach i rozwiązywanie nierówności. Idealne materiały do nauki i powtórki przed maturą.

Matematyka

Monotoniczność Ciągów Matematycznych

Zrozumienie monotoniczności ciągów matematycznych, w tym definicje ciągów rosnących, malejących oraz ich właściwości. Obejmuje wzory rekurencyjne i przykłady. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Własności logarytmów i nierówności

Zgłębiaj kluczowe aspekty funkcji logarytmicznych, w tym ich własności, równania oraz nierówności. Dowiedz się, jak rozwiązywać nierówności logarytmiczne oraz zrozumieć zachowanie funkcji w różnych przedziałach. Idealne dla studentów matematyki i osób przygotowujących się do egzaminów.

Matematyka

Matura Matematyka 2020

Kompletny arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym z 2020 roku. Zawiera zadania dotyczące równań, funkcji, geometrii oraz ciągów. Idealny materiał do nauki i powtórki przed egzaminem.

Matematyka

Ciągi Rekurencyjne: Definicje i Przykłady

Zrozumienie ciągów rekurencyjnych określonych. Ta notatka zawiera kluczowe definicje, przykłady obliczeń oraz metody wyznaczania kolejnych wyrazów. Idealna dla uczniów klasy 3, z praktycznymi zadaniami do samodzielnego rozwiązania.

Matematyka

Silnia i Trójkąt Pascala

Zrozumienie silni oraz symbolu Newtona w kontekście trójkąta Pascala. Dowiedz się, jak obliczać silnię, stosować wzory Newtona oraz odkrywać właściwości trójkąta Pascala. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Podobne notatki

Matura matematyka

2850

Ciągi monotoniczne

1141

Logarytmy - własności, równania, nierówności

2370

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS