Przedmioty

Kariera

SchoolGPT

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Proste Wzory na Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

198

3

user profile picture

oliwka;)

11.10.2025

Matematyka

Ciągi

Matematyka

Analiza Ciągów i Szeregów

szereg geometryczny

7438

•

11 paź 2025

•

4 strony

Proste Wzory na Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

user profile picture

oliwka;)

@oliwkapra

Kompleksowy przewodnik po ciągach matematycznych, skupiający się na ciągach arytmetycznych... Pokaż więcej

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
1 / 4
# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Ciąg arytmetyczny

Ta strona skupia się na ciągu arytmetycznym, jednym z najważniejszych typów ciągów w matematyce.

Definicja: Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby, zwanej różnicą ciągu arytmetycznego.

Omówiono monotoniczność ciągu arytmetycznego:

  • Dla r > 0, ciąg jest rosnący
  • Dla r < 0, ciąg jest malejący
  • Dla r = 0, ciąg jest stały

Highlight: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego to: an = a1 + n−1n-1r, gdzie a1 to pierwszy wyraz, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.

Vocabulary: Różnica ciągu arytmetycznego (r) to stała wartość, o którą zwiększa się każdy kolejny wyraz ciągu.

Przedstawiono również wzór na sumę ciągu arytmetycznego: Sn = a1+ana1 + an · n/2

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, należy odjąć od siebie dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli różnica jest stała, ciąg jest arytmetyczny.

Na tej stronie wprowadzono także pojęcie ciągu geometrycznego i jego monotoniczności.

Definicja: Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q (iloraz ciągu geometrycznego).

# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Wzory dla ciągu geometrycznego

Ta strona koncentruje się na wzorach i właściwościach ciągu geometrycznego.

Highlight: Wzór ogólny ciągu geometrycznego: an = a1 · q^n−1n-1, gdzie a1 to pierwszy wyraz, q to iloraz, a n to numer wyrazu.

Omówiono monotoniczność ciągu geometrycznego:

  • Dla a1 > 0 i q > 1, ciąg jest rosnący
  • Dla a1 > 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest malejący
  • Dla a1 < 0 i q > 1, ciąg jest malejący
  • Dla a1 < 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest rosnący
  • Dla q = 1, ciąg jest stały
  • Dla q < 0, ciąg jest niemonotoniczny

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, należy podzielić dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli iloraz jest stały, ciąg jest geometryczny.

Przedstawiono wzór na sumę ciągu geometrycznego:

  • Dla q ≠ 1: Sn = a1 · 1−qn1 - q^n / 1−q1 - q
  • Dla q = 1: Sn = n · a1

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego (q) to stała wartość, przez którą mnoży się każdy kolejny wyraz ciągu.

Wprowadzono pojęcie szeregu geometrycznego, który jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

Definition: Szereg geometryczny to szereg utworzony ze wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.

Highlight: Suma szeregu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy |q| < 1 i wynosi: S∞ = a1 / 1−q1 - q

Te informacje są kluczowe dla zrozumienia ciągów arytmetycznych i geometrycznych, co jest istotne przy rozwiązywaniu zadań maturalnych z tego zakresu.

# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Monotoniczność i Zastosowania

Ta część koncentruje się na praktycznych aspektach analizy ciągów i ich zastosowaniach.

Highlight: Dla ciągu arytmetycznego:

  • r > 0 oznacza ciąg rosnący
  • r < 0 oznacza ciąg malejący
  • r = 0 oznacza ciąg stały

Example: Dla ciągu geometrycznego monotoniczność zależy od wartości a₁ i q:

  • a₁ > 0 i q > 1 → ciąg rosnący
  • a₁ > 0 i q ∈ (0,1) → ciąg malejący
  • a₁ < 0 i q > 1 → ciąg malejący
  • a₁ < 0 i q ∈ (0,1) → ciąg rosnący
# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Podstawowe pojęcia ciągów

Dokument rozpoczyna się od wprowadzenia podstawowych pojęć związanych z ciągami. Wyjaśniono różnicę między ciągiem skończonym a nieskończonym oraz zdefiniowano ciąg liczbowy.

Definicja: Ciąg skończony to funkcja, której dziedziną jest skończony podzbiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich.

Definicja: Ciąg nieskończony to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.

Wprowadzono pojęcie wyrazu ogólnego ciągu, który pełni rolę analogiczną do wzoru funkcji, umożliwiając wyznaczenie dowolnego wyrazu ciągu.

Highlight: Wyraz ogólny ciągu może być przedstawiony w formie rekurencyjnej lub ogólnej.

Omówiono również monotoniczność ciągów, definiując ciągi rosnące, malejące, stałe, niemalejące i nierosnące.

Example: Dla ciągu rosnącego, każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego: an+1 > an dla każdego n ∈ N+.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Analiza Ciągów i Szeregów

szereg geometryczny

 

Matematyka

•

7438

•

11 paź 2025

•

4 strony

Proste Wzory na Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

user profile picture

oliwka;)

@oliwkapra

Kompleksowy przewodnik po ciągach matematycznych, skupiający się na ciągach arytmetycznych i geometrycznych. Materiał zawiera szczegółowe omówienie podstawowych pojęć, wzorów i zastosowań w zadaniach matematycznych.

• Przedstawia fundamentalne definicje ciągów skończonych i nieskończonych
• Szczegółowo omawia wzory na sumę ciągu... Pokaż więcej

# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciąg arytmetyczny

Ta strona skupia się na ciągu arytmetycznym, jednym z najważniejszych typów ciągów w matematyce.

Definicja: Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby, zwanej różnicą ciągu arytmetycznego.

Omówiono monotoniczność ciągu arytmetycznego:

  • Dla r > 0, ciąg jest rosnący
  • Dla r < 0, ciąg jest malejący
  • Dla r = 0, ciąg jest stały

Highlight: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego to: an = a1 + n−1n-1r, gdzie a1 to pierwszy wyraz, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.

Vocabulary: Różnica ciągu arytmetycznego (r) to stała wartość, o którą zwiększa się każdy kolejny wyraz ciągu.

Przedstawiono również wzór na sumę ciągu arytmetycznego: Sn = a1+ana1 + an · n/2

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, należy odjąć od siebie dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli różnica jest stała, ciąg jest arytmetyczny.

Na tej stronie wprowadzono także pojęcie ciągu geometrycznego i jego monotoniczności.

Definicja: Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q (iloraz ciągu geometrycznego).

# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzory dla ciągu geometrycznego

Ta strona koncentruje się na wzorach i właściwościach ciągu geometrycznego.

Highlight: Wzór ogólny ciągu geometrycznego: an = a1 · q^n−1n-1, gdzie a1 to pierwszy wyraz, q to iloraz, a n to numer wyrazu.

Omówiono monotoniczność ciągu geometrycznego:

  • Dla a1 > 0 i q > 1, ciąg jest rosnący
  • Dla a1 > 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest malejący
  • Dla a1 < 0 i q > 1, ciąg jest malejący
  • Dla a1 < 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest rosnący
  • Dla q = 1, ciąg jest stały
  • Dla q < 0, ciąg jest niemonotoniczny

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, należy podzielić dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli iloraz jest stały, ciąg jest geometryczny.

Przedstawiono wzór na sumę ciągu geometrycznego:

  • Dla q ≠ 1: Sn = a1 · 1−qn1 - q^n / 1−q1 - q
  • Dla q = 1: Sn = n · a1

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego (q) to stała wartość, przez którą mnoży się każdy kolejny wyraz ciągu.

Wprowadzono pojęcie szeregu geometrycznego, który jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

Definition: Szereg geometryczny to szereg utworzony ze wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.

Highlight: Suma szeregu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy |q| < 1 i wynosi: S∞ = a1 / 1−q1 - q

Te informacje są kluczowe dla zrozumienia ciągów arytmetycznych i geometrycznych, co jest istotne przy rozwiązywaniu zadań maturalnych z tego zakresu.

# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Monotoniczność i Zastosowania

Ta część koncentruje się na praktycznych aspektach analizy ciągów i ich zastosowaniach.

Highlight: Dla ciągu arytmetycznego:

  • r > 0 oznacza ciąg rosnący
  • r < 0 oznacza ciąg malejący
  • r = 0 oznacza ciąg stały

Example: Dla ciągu geometrycznego monotoniczność zależy od wartości a₁ i q:

  • a₁ > 0 i q > 1 → ciąg rosnący
  • a₁ > 0 i q ∈ (0,1) → ciąg malejący
  • a₁ < 0 i q > 1 → ciąg malejący
  • a₁ < 0 i q ∈ (0,1) → ciąg rosnący
# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe pojęcia ciągów

Dokument rozpoczyna się od wprowadzenia podstawowych pojęć związanych z ciągami. Wyjaśniono różnicę między ciągiem skończonym a nieskończonym oraz zdefiniowano ciąg liczbowy.

Definicja: Ciąg skończony to funkcja, której dziedziną jest skończony podzbiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich.

Definicja: Ciąg nieskończony to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.

Wprowadzono pojęcie wyrazu ogólnego ciągu, który pełni rolę analogiczną do wzoru funkcji, umożliwiając wyznaczenie dowolnego wyrazu ciągu.

Highlight: Wyraz ogólny ciągu może być przedstawiony w formie rekurencyjnej lub ogólnej.

Omówiono również monotoniczność ciągów, definiując ciągi rosnące, malejące, stałe, niemalejące i nierosnące.

Example: Dla ciągu rosnącego, każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego: an+1 > an dla każdego n ∈ N+.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

198

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Matura Matematyka 2020

Kompletny arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym z 2020 roku. Zawiera zadania dotyczące równań, funkcji, geometrii oraz ciągów. Idealny materiał do nauki i powtórki przed egzaminem.

MatematykaMatematyka
4

Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

Zrozumienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych: wzory, przykłady oraz zadania do samodzielnego rozwiązania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Obejmuje kluczowe wzory na różnice, ilorazy oraz sumy ciągów.

MatematykaMatematyka
1

Ciąg Arytmetyczny: Wzory i Zastosowania

Zrozumienie ciągu arytmetycznego (an) z kluczowymi wzorami i definicjami. Dowiedz się, jak obliczać sumy i wyrazy ciągu arytmetycznego, a także zastosowania w zadaniach matematycznych. Idealne dla uczniów na poziomie podstawowym i rozszerzonym.

MatematykaMatematyka
1

Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

Zrozumienie ciągów arytmetycznych i geometrycznych: definicje, wzory, oraz przykłady. Dowiedz się, jak obliczać sumy i rozpoznawać monotoniczność ciągów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
4

Matura Matematyka 2023

Zbiór zadań maturalnych z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2023 roku. Obejmuje zagadnienia takie jak funkcje, geometria, obliczanie objętości i pól powierzchni, a także działania na potęgach i rozwiązywanie nierówności. Idealne materiały do nauki i powtórki przed maturą.

MatematykaMatematyka
4

Ciągi Liczb: Matura

Analiza zadań maturalnych dotyczących ciągów liczbowych. Dowiedz się, które liczby nie są wyrazami ciągu o wzorze ogólnym an = 4n + 2. Obejmuje przykłady, rozwiązania oraz kluczowe pojęcia z zakresu podstaw precalculus. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury.

MatematykaMatematyka
1

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS