Przedmioty
Kariera
Język polski
Biologia
Chemia
Geografia
Historia
Stechiometria
Węglowodory
Reakcje chemiczne w roztworach wodnych
Układ okresowy pierwiastków chemicznych
Pochodne węglowodorów
Budowa atomu a układ okresowy pierwiastków chemicznych
Świat substancji
Systematyka związków nieorganicznych
Gazy i ich mieszaniny
Efekty energetyczne i szybkość reakcji chemicznych
Kwasy
Sole
Roztwory
Reakcje utleniania-redukcji. elektrochemia
Łączenie się atomów
Pokaż wszystkie tematy
199
3
oliwka;)
12.12.2022
Matematyka
Ciągi
7281
•
12 gru 2022
•
oliwka;)
@oliwkapra
Kompleksowy przewodnik po ciągach matematycznych, skupiający się na ciągach arytmetycznych... Pokaż więcej
Ta strona skupia się na ciągu arytmetycznym, jednym z najważniejszych typów ciągów w matematyce.
Definicja: Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby, zwanej różnicą ciągu arytmetycznego.
Omówiono monotoniczność ciągu arytmetycznego:
Highlight: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego to: an = a1 + (n-1)r, gdzie a1 to pierwszy wyraz, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.
Vocabulary: Różnica ciągu arytmetycznego (r) to stała wartość, o którą zwiększa się każdy kolejny wyraz ciągu.
Przedstawiono również wzór na sumę ciągu arytmetycznego: Sn = (a1 + an) · n/2
Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, należy odjąć od siebie dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli różnica jest stała, ciąg jest arytmetyczny.
Na tej stronie wprowadzono także pojęcie ciągu geometrycznego i jego monotoniczności.
Definicja: Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q (iloraz ciągu geometrycznego).
Ta strona koncentruje się na wzorach i właściwościach ciągu geometrycznego.
Highlight: Wzór ogólny ciągu geometrycznego: an = a1 · q^(n-1), gdzie a1 to pierwszy wyraz, q to iloraz, a n to numer wyrazu.
Omówiono monotoniczność ciągu geometrycznego:
Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, należy podzielić dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli iloraz jest stały, ciąg jest geometryczny.
Przedstawiono wzór na sumę ciągu geometrycznego:
Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego (q) to stała wartość, przez którą mnoży się każdy kolejny wyraz ciągu.
Wprowadzono pojęcie szeregu geometrycznego, który jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.
Definition: Szereg geometryczny to szereg utworzony ze wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.
Highlight: Suma szeregu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy |q| < 1 i wynosi: S∞ = a1 / (1 - q)
Te informacje są kluczowe dla zrozumienia ciągów arytmetycznych i geometrycznych, co jest istotne przy rozwiązywaniu zadań maturalnych z tego zakresu.
Ta część koncentruje się na praktycznych aspektach analizy ciągów i ich zastosowaniach.
Highlight: Dla ciągu arytmetycznego:
Example: Dla ciągu geometrycznego monotoniczność zależy od wartości a₁ i q:
Dokument rozpoczyna się od wprowadzenia podstawowych pojęć związanych z ciągami. Wyjaśniono różnicę między ciągiem skończonym a nieskończonym oraz zdefiniowano ciąg liczbowy.
Definicja: Ciąg skończony to funkcja, której dziedziną jest skończony podzbiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich.
Definicja: Ciąg nieskończony to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.
Wprowadzono pojęcie wyrazu ogólnego ciągu, który pełni rolę analogiczną do wzoru funkcji, umożliwiając wyznaczenie dowolnego wyrazu ciągu.
Highlight: Wyraz ogólny ciągu może być przedstawiony w formie rekurencyjnej lub ogólnej.
Omówiono również monotoniczność ciągów, definiując ciągi rosnące, malejące, stałe, niemalejące i nierosnące.
Example: Dla ciągu rosnącego, każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego: an+1 > an dla każdego n ∈ N+.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
oliwka;)
@oliwkapra
Kompleksowy przewodnik po ciągach matematycznych, skupiający się na ciągach arytmetycznych i geometrycznych. Materiał zawiera szczegółowe omówienie podstawowych pojęć, wzorów i zastosowań w zadaniach matematycznych.
• Przedstawia fundamentalne definicje ciągów skończonych i nieskończonych
• Szczegółowo omawia wzory na sumę ciągu... Pokaż więcej
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Ta strona skupia się na ciągu arytmetycznym, jednym z najważniejszych typów ciągów w matematyce.
Definicja: Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby, zwanej różnicą ciągu arytmetycznego.
Omówiono monotoniczność ciągu arytmetycznego:
Highlight: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego to: an = a1 + (n-1)r, gdzie a1 to pierwszy wyraz, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.
Vocabulary: Różnica ciągu arytmetycznego (r) to stała wartość, o którą zwiększa się każdy kolejny wyraz ciągu.
Przedstawiono również wzór na sumę ciągu arytmetycznego: Sn = (a1 + an) · n/2
Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, należy odjąć od siebie dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli różnica jest stała, ciąg jest arytmetyczny.
Na tej stronie wprowadzono także pojęcie ciągu geometrycznego i jego monotoniczności.
Definicja: Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q (iloraz ciągu geometrycznego).
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Ta strona koncentruje się na wzorach i właściwościach ciągu geometrycznego.
Highlight: Wzór ogólny ciągu geometrycznego: an = a1 · q^(n-1), gdzie a1 to pierwszy wyraz, q to iloraz, a n to numer wyrazu.
Omówiono monotoniczność ciągu geometrycznego:
Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, należy podzielić dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli iloraz jest stały, ciąg jest geometryczny.
Przedstawiono wzór na sumę ciągu geometrycznego:
Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego (q) to stała wartość, przez którą mnoży się każdy kolejny wyraz ciągu.
Wprowadzono pojęcie szeregu geometrycznego, który jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.
Definition: Szereg geometryczny to szereg utworzony ze wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.
Highlight: Suma szeregu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy |q| < 1 i wynosi: S∞ = a1 / (1 - q)
Te informacje są kluczowe dla zrozumienia ciągów arytmetycznych i geometrycznych, co jest istotne przy rozwiązywaniu zadań maturalnych z tego zakresu.
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Ta część koncentruje się na praktycznych aspektach analizy ciągów i ich zastosowaniach.
Highlight: Dla ciągu arytmetycznego:
Example: Dla ciągu geometrycznego monotoniczność zależy od wartości a₁ i q:
Dostęp do wszystkich materiałów
Popraw swoje oceny
Dołącz do milionów studentów
Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.
Dokument rozpoczyna się od wprowadzenia podstawowych pojęć związanych z ciągami. Wyjaśniono różnicę między ciągiem skończonym a nieskończonym oraz zdefiniowano ciąg liczbowy.
Definicja: Ciąg skończony to funkcja, której dziedziną jest skończony podzbiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich.
Definicja: Ciąg nieskończony to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.
Wprowadzono pojęcie wyrazu ogólnego ciągu, który pełni rolę analogiczną do wzoru funkcji, umożliwiając wyznaczenie dowolnego wyrazu ciągu.
Highlight: Wyraz ogólny ciągu może być przedstawiony w formie rekurencyjnej lub ogólnej.
Omówiono również monotoniczność ciągów, definiując ciągi rosnące, malejące, stałe, niemalejące i nierosnące.
Example: Dla ciągu rosnącego, każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego: an+1 > an dla każdego n ∈ N+.
Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.
Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.
Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.
App Store
Google Play
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.
Stefan S
użytkownik iOS
Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.
Samantha Klich
użytkownik Androida
Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.
Anna
użytkownik iOS
Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷
Patrycja
użytkowniczka iOS
Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.
Szymon
użytkownik Android
Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄
Szymon
użytkownik iOS
Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!
Kuba T
użytkownik Androida
W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.
Kriss
użytkownik Androida
Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍
Gosia
użytkowniczka Android
Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)
Sara
użytkowniczka iOS
Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙
Krzysztof
użytkownik Android
Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.
Oliwia
użytkowniczka iOS
