Przedmioty

Kariera

SchoolGPT

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Proste Wzory na Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

200

3

user profile picture

oliwka;)

31.10.2025

Matematyka

Ciągi

Matematyka

Analiza Ciągów i Szeregów

szereg geometryczny

7655

•

31 paź 2025

•

4 strony

Proste Wzory na Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

user profile picture

oliwka;)

@oliwkapra

Kompleksowy przewodnik po ciągach matematycznych, skupiający się na ciągach arytmetycznych... Pokaż więcej

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
1 / 4
# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Ciąg arytmetyczny

Ta strona skupia się na ciągu arytmetycznym, jednym z najważniejszych typów ciągów w matematyce.

Definicja: Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby, zwanej różnicą ciągu arytmetycznego.

Omówiono monotoniczność ciągu arytmetycznego:

  • Dla r > 0, ciąg jest rosnący
  • Dla r < 0, ciąg jest malejący
  • Dla r = 0, ciąg jest stały

Highlight: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego to: an = a1 + n−1n-1r, gdzie a1 to pierwszy wyraz, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.

Vocabulary: Różnica ciągu arytmetycznego (r) to stała wartość, o którą zwiększa się każdy kolejny wyraz ciągu.

Przedstawiono również wzór na sumę ciągu arytmetycznego: Sn = a1+ana1 + an · n/2

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, należy odjąć od siebie dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli różnica jest stała, ciąg jest arytmetyczny.

Na tej stronie wprowadzono także pojęcie ciągu geometrycznego i jego monotoniczności.

Definicja: Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q (iloraz ciągu geometrycznego).

# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Wzory dla ciągu geometrycznego

Ta strona koncentruje się na wzorach i właściwościach ciągu geometrycznego.

Highlight: Wzór ogólny ciągu geometrycznego: an = a1 · q^n−1n-1, gdzie a1 to pierwszy wyraz, q to iloraz, a n to numer wyrazu.

Omówiono monotoniczność ciągu geometrycznego:

  • Dla a1 > 0 i q > 1, ciąg jest rosnący
  • Dla a1 > 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest malejący
  • Dla a1 < 0 i q > 1, ciąg jest malejący
  • Dla a1 < 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest rosnący
  • Dla q = 1, ciąg jest stały
  • Dla q < 0, ciąg jest niemonotoniczny

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, należy podzielić dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli iloraz jest stały, ciąg jest geometryczny.

Przedstawiono wzór na sumę ciągu geometrycznego:

  • Dla q ≠ 1: Sn = a1 · 1−qn1 - q^n / 1−q1 - q
  • Dla q = 1: Sn = n · a1

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego (q) to stała wartość, przez którą mnoży się każdy kolejny wyraz ciągu.

Wprowadzono pojęcie szeregu geometrycznego, który jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

Definition: Szereg geometryczny to szereg utworzony ze wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.

Highlight: Suma szeregu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy |q| < 1 i wynosi: S∞ = a1 / 1−q1 - q

Te informacje są kluczowe dla zrozumienia ciągów arytmetycznych i geometrycznych, co jest istotne przy rozwiązywaniu zadań maturalnych z tego zakresu.

# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Monotoniczność i Zastosowania

Ta część koncentruje się na praktycznych aspektach analizy ciągów i ich zastosowaniach.

Highlight: Dla ciągu arytmetycznego:

  • r > 0 oznacza ciąg rosnący
  • r < 0 oznacza ciąg malejący
  • r = 0 oznacza ciąg stały

Example: Dla ciągu geometrycznego monotoniczność zależy od wartości a₁ i q:

  • a₁ > 0 i q > 1 → ciąg rosnący
  • a₁ > 0 i q ∈ (0,1) → ciąg malejący
  • a₁ < 0 i q > 1 → ciąg malejący
  • a₁ < 0 i q ∈ (0,1) → ciąg rosnący
# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Podstawowe pojęcia ciągów

Dokument rozpoczyna się od wprowadzenia podstawowych pojęć związanych z ciągami. Wyjaśniono różnicę między ciągiem skończonym a nieskończonym oraz zdefiniowano ciąg liczbowy.

Definicja: Ciąg skończony to funkcja, której dziedziną jest skończony podzbiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich.

Definicja: Ciąg nieskończony to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.

Wprowadzono pojęcie wyrazu ogólnego ciągu, który pełni rolę analogiczną do wzoru funkcji, umożliwiając wyznaczenie dowolnego wyrazu ciągu.

Highlight: Wyraz ogólny ciągu może być przedstawiony w formie rekurencyjnej lub ogólnej.

Omówiono również monotoniczność ciągów, definiując ciągi rosnące, malejące, stałe, niemalejące i nierosnące.

Example: Dla ciągu rosnącego, każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego: an+1 > an dla każdego n ∈ N+.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Analiza Ciągów i Szeregów

szereg geometryczny

 

Matematyka

•

7655

•

31 paź 2025

•

4 strony

Proste Wzory na Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

user profile picture

oliwka;)

@oliwkapra

Kompleksowy przewodnik po ciągach matematycznych, skupiający się na ciągach arytmetycznych i geometrycznych. Materiał zawiera szczegółowe omówienie podstawowych pojęć, wzorów i zastosowań w zadaniach matematycznych.

• Przedstawia fundamentalne definicje ciągów skończonych i nieskończonych
• Szczegółowo omawia wzory na sumę ciągu... Pokaż więcej

# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciąg arytmetyczny

Ta strona skupia się na ciągu arytmetycznym, jednym z najważniejszych typów ciągów w matematyce.

Definicja: Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby, zwanej różnicą ciągu arytmetycznego.

Omówiono monotoniczność ciągu arytmetycznego:

  • Dla r > 0, ciąg jest rosnący
  • Dla r < 0, ciąg jest malejący
  • Dla r = 0, ciąg jest stały

Highlight: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego to: an = a1 + n−1n-1r, gdzie a1 to pierwszy wyraz, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.

Vocabulary: Różnica ciągu arytmetycznego (r) to stała wartość, o którą zwiększa się każdy kolejny wyraz ciągu.

Przedstawiono również wzór na sumę ciągu arytmetycznego: Sn = a1+ana1 + an · n/2

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, należy odjąć od siebie dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli różnica jest stała, ciąg jest arytmetyczny.

Na tej stronie wprowadzono także pojęcie ciągu geometrycznego i jego monotoniczności.

Definicja: Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q (iloraz ciągu geometrycznego).

# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzory dla ciągu geometrycznego

Ta strona koncentruje się na wzorach i właściwościach ciągu geometrycznego.

Highlight: Wzór ogólny ciągu geometrycznego: an = a1 · q^n−1n-1, gdzie a1 to pierwszy wyraz, q to iloraz, a n to numer wyrazu.

Omówiono monotoniczność ciągu geometrycznego:

  • Dla a1 > 0 i q > 1, ciąg jest rosnący
  • Dla a1 > 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest malejący
  • Dla a1 < 0 i q > 1, ciąg jest malejący
  • Dla a1 < 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest rosnący
  • Dla q = 1, ciąg jest stały
  • Dla q < 0, ciąg jest niemonotoniczny

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, należy podzielić dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli iloraz jest stały, ciąg jest geometryczny.

Przedstawiono wzór na sumę ciągu geometrycznego:

  • Dla q ≠ 1: Sn = a1 · 1−qn1 - q^n / 1−q1 - q
  • Dla q = 1: Sn = n · a1

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego (q) to stała wartość, przez którą mnoży się każdy kolejny wyraz ciągu.

Wprowadzono pojęcie szeregu geometrycznego, który jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

Definition: Szereg geometryczny to szereg utworzony ze wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.

Highlight: Suma szeregu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy |q| < 1 i wynosi: S∞ = a1 / 1−q1 - q

Te informacje są kluczowe dla zrozumienia ciągów arytmetycznych i geometrycznych, co jest istotne przy rozwiązywaniu zadań maturalnych z tego zakresu.

# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Monotoniczność i Zastosowania

Ta część koncentruje się na praktycznych aspektach analizy ciągów i ich zastosowaniach.

Highlight: Dla ciągu arytmetycznego:

  • r > 0 oznacza ciąg rosnący
  • r < 0 oznacza ciąg malejący
  • r = 0 oznacza ciąg stały

Example: Dla ciągu geometrycznego monotoniczność zależy od wartości a₁ i q:

  • a₁ > 0 i q > 1 → ciąg rosnący
  • a₁ > 0 i q ∈ (0,1) → ciąg malejący
  • a₁ < 0 i q > 1 → ciąg malejący
  • a₁ < 0 i q ∈ (0,1) → ciąg rosnący
# ciągi CIĄG SKOŃCZONY - funkcja, której dziedziną jest skończony palabiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich Dziedzina {1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe pojęcia ciągów

Dokument rozpoczyna się od wprowadzenia podstawowych pojęć związanych z ciągami. Wyjaśniono różnicę między ciągiem skończonym a nieskończonym oraz zdefiniowano ciąg liczbowy.

Definicja: Ciąg skończony to funkcja, której dziedziną jest skończony podzbiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich.

Definicja: Ciąg nieskończony to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.

Wprowadzono pojęcie wyrazu ogólnego ciągu, który pełni rolę analogiczną do wzoru funkcji, umożliwiając wyznaczenie dowolnego wyrazu ciągu.

Highlight: Wyraz ogólny ciągu może być przedstawiony w formie rekurencyjnej lub ogólnej.

Omówiono również monotoniczność ciągów, definiując ciągi rosnące, malejące, stałe, niemalejące i nierosnące.

Example: Dla ciągu rosnącego, każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego: an+1 > an dla każdego n ∈ N+.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

200

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny
Quiz
Fiszki
Esej

Podobne notatki

Monotoniczność Ciągów Matematycznych

Zrozumienie monotoniczności ciągów matematycznych, w tym definicje ciągów rosnących, malejących oraz ich właściwości. Obejmuje wzory rekurencyjne i przykłady. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

MatematykaMatematyka
1

Tablice Maturalne Matematyki

Kompleksowe tablice maturalne z kluczowymi wzorami i definicjami z matematyki, obejmujące trygonometrię, geometrię, funkcje oraz statystykę. Idealne do nauki i przygotowania do matury.

MatematykaMatematyka
4

Matura Matematyka 2023

Zbiór zadań maturalnych z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2023 roku. Obejmuje zagadnienia takie jak funkcje, geometria, obliczanie objętości i pól powierzchni, a także działania na potęgach i rozwiązywanie nierówności. Idealne materiały do nauki i powtórki przed maturą.

MatematykaMatematyka
4

Ciągi Geometryczne: Rozwiązywanie Zadań

Praktyczny przewodnik po zadaniach dotyczących ciągów geometrycznych. Dowiedz się, jak obliczać iloraz, wyrazy oraz rozwiązywać problemy maturalne krok po kroku. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów. Tematy obejmują operacje na potęgach, ciągi oraz granice ciągów.

MatematykaMatematyka
1

Ciągi Rekurencyjne: Definicje i Przykłady

Zrozumienie ciągów rekurencyjnych określonych. Ta notatka zawiera kluczowe definicje, przykłady obliczeń oraz metody wyznaczania kolejnych wyrazów. Idealna dla uczniów klasy 3, z praktycznymi zadaniami do samodzielnego rozwiązania.

MatematykaMatematyka
1

Ciągi Liczb: Matura

Analiza zadań maturalnych dotyczących ciągów liczbowych. Dowiedz się, które liczby nie są wyrazami ciągu o wzorze ogólnym an = 4n + 2. Obejmuje przykłady, rozwiązania oraz kluczowe pojęcia z zakresu podstaw precalculus. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury.

MatematykaMatematyka
1

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS