Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Proste Wzory na Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Zobacz

Proste Wzory na Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

oliwka;)

@oliwkapra

200 Obserwujących

Obserwuj

Kompleksowy przewodnik po ciągach matematycznych, skupiający się na ciągach arytmetycznych i geometrycznych. Materiał zawiera szczegółowe omówienie podstawowych pojęć, wzorów i zastosowań w zadaniach matematycznych.

• Przedstawia fundamentalne definicje ciągów skończonych i nieskończonych
• Szczegółowo omawia wzory na sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego
• Zawiera analizę monotoniczności ciągów
• Prezentuje praktyczne zastosowania wzorów ciągu arytmetycznego i geometrycznego
• Wyjaśnia koncepcję szeregu geometrycznego i jego sumy

12.12.2022

5621

ciągi
CIĄG SKOŃCZONY- funkcja, której dziedziną jest skończony podabiór
kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich
Dziedaina {1,2,3

Zobacz

Ciąg arytmetyczny

Ta strona skupia się na ciągu arytmetycznym, jednym z najważniejszych typów ciągów w matematyce.

Definicja: Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby, zwanej różnicą ciągu arytmetycznego.

Omówiono monotoniczność ciągu arytmetycznego:

Dla r > 0, ciąg jest rosnący
Dla r < 0, ciąg jest malejący
Dla r = 0, ciąg jest stały

Highlight: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego to: an = a1 + (n-1)r, gdzie a1 to pierwszy wyraz, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.

Vocabulary: Różnica ciągu arytmetycznego (r) to stała wartość, o którą zwiększa się każdy kolejny wyraz ciągu.

Przedstawiono również wzór na sumę ciągu arytmetycznego: Sn = (a1 + an) · n/2

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, należy odjąć od siebie dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli różnica jest stała, ciąg jest arytmetyczny.

Na tej stronie wprowadzono także pojęcie ciągu geometrycznego i jego monotoniczności.

Definicja: Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q (iloraz ciągu geometrycznego).

Zobacz

Wzory dla ciągu geometrycznego

Ta strona koncentruje się na wzorach i właściwościach ciągu geometrycznego.

Highlight: Wzór ogólny ciągu geometrycznego: an = a1 · q^(n-1), gdzie a1 to pierwszy wyraz, q to iloraz, a n to numer wyrazu.

Omówiono monotoniczność ciągu geometrycznego:

Dla a1 > 0 i q > 1, ciąg jest rosnący
Dla a1 > 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest malejący
Dla a1 < 0 i q > 1, ciąg jest malejący
Dla a1 < 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest rosnący
Dla q = 1, ciąg jest stały
Dla q < 0, ciąg jest niemonotoniczny

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, należy podzielić dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli iloraz jest stały, ciąg jest geometryczny.

Przedstawiono wzór na sumę ciągu geometrycznego:

Dla q ≠ 1: Sn = a1 · (1 - q^n) / (1 - q)
Dla q = 1: Sn = n · a1

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego (q) to stała wartość, przez którą mnoży się każdy kolejny wyraz ciągu.

Wprowadzono pojęcie szeregu geometrycznego, który jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

Definition: Szereg geometryczny to szereg utworzony ze wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.

Highlight: Suma szeregu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy |q| < 1 i wynosi: S∞ = a1 / (1 - q)

Te informacje są kluczowe dla zrozumienia ciągów arytmetycznych i geometrycznych, co jest istotne przy rozwiązywaniu zadań maturalnych z tego zakresu.

Zobacz

Monotoniczność i Zastosowania

Ta część koncentruje się na praktycznych aspektach analizy ciągów i ich zastosowaniach.

Highlight: Dla ciągu arytmetycznego:

r > 0 oznacza ciąg rosnący
r < 0 oznacza ciąg malejący
r = 0 oznacza ciąg stały

Example: Dla ciągu geometrycznego monotoniczność zależy od wartości a₁ i q:

a₁ > 0 i q > 1 → ciąg rosnący
a₁ > 0 i q ∈ (0,1) → ciąg malejący
a₁ < 0 i q > 1 → ciąg malejący
a₁ < 0 i q ∈ (0,1) → ciąg rosnący

Zobacz

Podstawowe pojęcia ciągów

Dokument rozpoczyna się od wprowadzenia podstawowych pojęć związanych z ciągami. Wyjaśniono różnicę między ciągiem skończonym a nieskończonym oraz zdefiniowano ciąg liczbowy.

Definicja: Ciąg skończony to funkcja, której dziedziną jest skończony podzbiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich.

Definicja: Ciąg nieskończony to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.

Wprowadzono pojęcie wyrazu ogólnego ciągu, który pełni rolę analogiczną do wzoru funkcji, umożliwiając wyznaczenie dowolnego wyrazu ciągu.

Highlight: Wyraz ogólny ciągu może być przedstawiony w formie rekurencyjnej lub ogólnej.

Omówiono również monotoniczność ciągów, definiując ciągi rosnące, malejące, stałe, niemalejące i nierosnące.

Example: Dla ciągu rosnącego, każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego: an+1 > an dla każdego n ∈ N+.

Podobne notatki

Know ciągi rekurencyjne określone thumbnail

1368

1/2

ciągi rekurencyjne określone

notatka zawiera podastawowe infomacje o ciągu rekurencyjnym określonym wraz z przykładami z wytłumaczeniem na przykładzie zbioru zadań do klasy 3 nowa era

212

Silnia

Symbol Newtona, trójkąt Pascala

1372

1/2

Ciąg arytmetyczny

Wzory, własności i przykładowe zadania

Know Matematyka - wzory ciągi liczbowe thumbnail

600

4/2

Matematyka - wzory ciągi liczbowe

Różne wzory związane z działem Ciągi geometryczne i arytmetyczne

334

1/2

ciąg geometryczny

zadania maturalne, krok po kroku

Know matematyka podstawa matura 2021 thumbnail

661

4/5

matematyka podstawa matura 2021

arkusz maturalny z matematyki 2021 poziom podstawowy

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

15 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Proste Wzory na Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

oliwka;)

@oliwkapra

200 Obserwujących

Obserwuj

12.12.2022

5621

Matematyka

186

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciąg arytmetyczny

Ta strona skupia się na ciągu arytmetycznym, jednym z najważniejszych typów ciągów w matematyce.

Definicja: Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby, zwanej różnicą ciągu arytmetycznego.

Omówiono monotoniczność ciągu arytmetycznego:

Dla r > 0, ciąg jest rosnący
Dla r < 0, ciąg jest malejący
Dla r = 0, ciąg jest stały

Highlight: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego to: an = a1 + (n-1)r, gdzie a1 to pierwszy wyraz, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.

Vocabulary: Różnica ciągu arytmetycznego (r) to stała wartość, o którą zwiększa się każdy kolejny wyraz ciągu.

Przedstawiono również wzór na sumę ciągu arytmetycznego: Sn = (a1 + an) · n/2

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, należy odjąć od siebie dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli różnica jest stała, ciąg jest arytmetyczny.

Na tej stronie wprowadzono także pojęcie ciągu geometrycznego i jego monotoniczności.

Definicja: Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q (iloraz ciągu geometrycznego).

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzory dla ciągu geometrycznego

Ta strona koncentruje się na wzorach i właściwościach ciągu geometrycznego.

Highlight: Wzór ogólny ciągu geometrycznego: an = a1 · q^(n-1), gdzie a1 to pierwszy wyraz, q to iloraz, a n to numer wyrazu.

Omówiono monotoniczność ciągu geometrycznego:

Dla a1 > 0 i q > 1, ciąg jest rosnący
Dla a1 > 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest malejący
Dla a1 < 0 i q > 1, ciąg jest malejący
Dla a1 < 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest rosnący
Dla q = 1, ciąg jest stały
Dla q < 0, ciąg jest niemonotoniczny

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, należy podzielić dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli iloraz jest stały, ciąg jest geometryczny.

Przedstawiono wzór na sumę ciągu geometrycznego:

Dla q ≠ 1: Sn = a1 · (1 - q^n) / (1 - q)
Dla q = 1: Sn = n · a1

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego (q) to stała wartość, przez którą mnoży się każdy kolejny wyraz ciągu.

Wprowadzono pojęcie szeregu geometrycznego, który jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

Definition: Szereg geometryczny to szereg utworzony ze wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.

Highlight: Suma szeregu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy |q| < 1 i wynosi: S∞ = a1 / (1 - q)

Te informacje są kluczowe dla zrozumienia ciągów arytmetycznych i geometrycznych, co jest istotne przy rozwiązywaniu zadań maturalnych z tego zakresu.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Monotoniczność i Zastosowania

Ta część koncentruje się na praktycznych aspektach analizy ciągów i ich zastosowaniach.

Highlight: Dla ciągu arytmetycznego:

r > 0 oznacza ciąg rosnący
r < 0 oznacza ciąg malejący
r = 0 oznacza ciąg stały

Example: Dla ciągu geometrycznego monotoniczność zależy od wartości a₁ i q:

a₁ > 0 i q > 1 → ciąg rosnący
a₁ > 0 i q ∈ (0,1) → ciąg malejący
a₁ < 0 i q > 1 → ciąg malejący
a₁ < 0 i q ∈ (0,1) → ciąg rosnący

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe pojęcia ciągów

Dokument rozpoczyna się od wprowadzenia podstawowych pojęć związanych z ciągami. Wyjaśniono różnicę między ciągiem skończonym a nieskończonym oraz zdefiniowano ciąg liczbowy.

Definicja: Ciąg skończony to funkcja, której dziedziną jest skończony podzbiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich.

Definicja: Ciąg nieskończony to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.

Wprowadzono pojęcie wyrazu ogólnego ciągu, który pełni rolę analogiczną do wzoru funkcji, umożliwiając wyznaczenie dowolnego wyrazu ciągu.

Highlight: Wyraz ogólny ciągu może być przedstawiony w formie rekurencyjnej lub ogólnej.

Omówiono również monotoniczność ciągów, definiując ciągi rosnące, malejące, stałe, niemalejące i nierosnące.

Example: Dla ciągu rosnącego, każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego: an+1 > an dla każdego n ∈ N+.

Podobne notatki

Matematyka - ciągi rekurencyjne określone

notatka zawiera podastawowe infomacje o ciągu rekurencyjnym określonym wraz z przykładami z wytłumaczeniem na przykładzie zbioru zadań do klasy 3 nowa era

1368

Matematyka - Silnia

Symbol Newtona, trójkąt Pascala

212

Matematyka - Ciąg arytmetyczny

Wzory, własności i przykładowe zadania

1372

Matematyka - Matematyka - wzory ciągi liczbowe

Różne wzory związane z działem Ciągi geometryczne i arytmetyczne

600

Matematyka - ciąg geometryczny

zadania maturalne, krok po kroku

334

Matematyka - matematyka podstawa matura 2021

arkusz maturalny z matematyki 2021 poziom podstawowy

661

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

4.9+

Średnia ocena aplikacji

15 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS