Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Proste Wzory na Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Zobacz

Proste Wzory na Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

oliwka;)

@oliwkapra

177 Obserwujących

Obserwuj

Ciągi arytmetyczne i geometryczne są kluczowymi koncepcjami w matematyce, szczególnie ważnymi dla uczniów przygotowujących się do matury. Dokument omawia definicje, właściwości i wzory dla obu typów ciągów.

• Ciąg arytmetyczny charakteryzuje się stałą różnicą między kolejnymi wyrazami.
• Ciąg geometryczny ma stały iloraz między sąsiednimi wyrazami.
• Przedstawiono wzory na sumę wyrazów ciągu oraz ogólne wyrazy ciągów.
• Omówiono monotoniczność ciągów i warunki jej występowania.
• Wprowadzono pojęcie szeregu geometrycznego i jego sumy.

12.12.2022

5019

ciągi
CIĄG SKOŃCZONY- funkcja, której dziedziną jest skończony podabiór
kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich
Dziedaina {1,2,3

Zobacz

Podstawowe pojęcia ciągów

Dokument rozpoczyna się od wprowadzenia podstawowych pojęć związanych z ciągami. Wyjaśniono różnicę między ciągiem skończonym a nieskończonym oraz zdefiniowano ciąg liczbowy.

Definicja: Ciąg skończony to funkcja, której dziedziną jest skończony podzbiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich.

Definicja: Ciąg nieskończony to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.

Wprowadzono pojęcie wyrazu ogólnego ciągu, który pełni rolę analogiczną do wzoru funkcji, umożliwiając wyznaczenie dowolnego wyrazu ciągu.

Highlight: Wyraz ogólny ciągu może być przedstawiony w formie rekurencyjnej lub ogólnej.

Omówiono również monotoniczność ciągów, definiując ciągi rosnące, malejące, stałe, niemalejące i nierosnące.

Example: Dla ciągu rosnącego, każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego: an+1 > an dla każdego n ∈ N+.

Zobacz

Ciąg arytmetyczny

Ta strona skupia się na ciągu arytmetycznym, jednym z najważniejszych typów ciągów w matematyce.

Definicja: Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby, zwanej różnicą ciągu arytmetycznego.

Omówiono monotoniczność ciągu arytmetycznego:

Dla r > 0, ciąg jest rosnący
Dla r < 0, ciąg jest malejący
Dla r = 0, ciąg jest stały

Highlight: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego to: an = a1 + (n-1)r, gdzie a1 to pierwszy wyraz, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.

Vocabulary: Różnica ciągu arytmetycznego (r) to stała wartość, o którą zwiększa się każdy kolejny wyraz ciągu.

Przedstawiono również wzór na sumę ciągu arytmetycznego: Sn = (a1 + an) · n/2

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, należy odjąć od siebie dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli różnica jest stała, ciąg jest arytmetyczny.

Na tej stronie wprowadzono także pojęcie ciągu geometrycznego i jego monotoniczności.

Definicja: Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q (iloraz ciągu geometrycznego).

Zobacz

Wzory dla ciągu geometrycznego

Ta strona koncentruje się na wzorach i właściwościach ciągu geometrycznego.

Highlight: Wzór ogólny ciągu geometrycznego: an = a1 · q^(n-1), gdzie a1 to pierwszy wyraz, q to iloraz, a n to numer wyrazu.

Omówiono monotoniczność ciągu geometrycznego:

Dla a1 > 0 i q > 1, ciąg jest rosnący
Dla a1 > 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest malejący
Dla a1 < 0 i q > 1, ciąg jest malejący
Dla a1 < 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest rosnący
Dla q = 1, ciąg jest stały
Dla q < 0, ciąg jest niemonotoniczny

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, należy podzielić dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli iloraz jest stały, ciąg jest geometryczny.

Przedstawiono wzór na sumę ciągu geometrycznego:

Dla q ≠ 1: Sn = a1 · (1 - q^n) / (1 - q)
Dla q = 1: Sn = n · a1

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego (q) to stała wartość, przez którą mnoży się każdy kolejny wyraz ciągu.

Wprowadzono pojęcie szeregu geometrycznego, który jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

Definition: Szereg geometryczny to szereg utworzony ze wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.

Highlight: Suma szeregu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy |q| < 1 i wynosi: S∞ = a1 / (1 - q)

Te informacje są kluczowe dla zrozumienia ciągów arytmetycznych i geometrycznych, co jest istotne przy rozwiązywaniu zadań maturalnych z tego zakresu.

Zobacz

Podobne notatki

Know MATEMATYKA Rachunek Prawdopodobieństwa PODSTAWA thumbnail

2459

1/2

MATEMATYKA Rachunek Prawdopodobieństwa PODSTAWA

442

1/2

Granica ciągu liczbowego

matematyka

769

4/5

matematyka matura podstawa 2020

arkusz maturalny z matematyki poziom podstawowy 2020

403

9889

Ciągi

Ciągi arytmetyczne Obliczanie wyrazów Badanie monotoniczności Rysownie wykresów

1278

1/2

ciągi rekurencyjne określone

notatka zawiera podastawowe infomacje o ciągu rekurencyjnym określonym wraz z przykładami z wytłumaczeniem na przykładzie zbioru zadań do klasy 3 nowa era

2040

4/5

Matura matematyka

Maj 2023, poziom podstawowy (źródło: arkusze.pl)

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Proste Wzory na Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

oliwka;)

@oliwkapra

177 Obserwujących

Obserwuj

12.12.2022

5019

Matematyka

177

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe pojęcia ciągów

Dokument rozpoczyna się od wprowadzenia podstawowych pojęć związanych z ciągami. Wyjaśniono różnicę między ciągiem skończonym a nieskończonym oraz zdefiniowano ciąg liczbowy.

Definicja: Ciąg skończony to funkcja, której dziedziną jest skończony podzbiór kolejnych, początkowych liczb naturalnych dodatnich.

Definicja: Ciąg nieskończony to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.

Wprowadzono pojęcie wyrazu ogólnego ciągu, który pełni rolę analogiczną do wzoru funkcji, umożliwiając wyznaczenie dowolnego wyrazu ciągu.

Highlight: Wyraz ogólny ciągu może być przedstawiony w formie rekurencyjnej lub ogólnej.

Omówiono również monotoniczność ciągów, definiując ciągi rosnące, malejące, stałe, niemalejące i nierosnące.

Example: Dla ciągu rosnącego, każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego: an+1 > an dla każdego n ∈ N+.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Ciąg arytmetyczny

Ta strona skupia się na ciągu arytmetycznym, jednym z najważniejszych typów ciągów w matematyce.

Definicja: Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby, zwanej różnicą ciągu arytmetycznego.

Omówiono monotoniczność ciągu arytmetycznego:

Dla r > 0, ciąg jest rosnący
Dla r < 0, ciąg jest malejący
Dla r = 0, ciąg jest stały

Highlight: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego to: an = a1 + (n-1)r, gdzie a1 to pierwszy wyraz, n to numer wyrazu, a r to różnica ciągu.

Vocabulary: Różnica ciągu arytmetycznego (r) to stała wartość, o którą zwiększa się każdy kolejny wyraz ciągu.

Przedstawiono również wzór na sumę ciągu arytmetycznego: Sn = (a1 + an) · n/2

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, należy odjąć od siebie dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli różnica jest stała, ciąg jest arytmetyczny.

Na tej stronie wprowadzono także pojęcie ciągu geometrycznego i jego monotoniczności.

Definicja: Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q (iloraz ciągu geometrycznego).

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wzory dla ciągu geometrycznego

Ta strona koncentruje się na wzorach i właściwościach ciągu geometrycznego.

Highlight: Wzór ogólny ciągu geometrycznego: an = a1 · q^(n-1), gdzie a1 to pierwszy wyraz, q to iloraz, a n to numer wyrazu.

Omówiono monotoniczność ciągu geometrycznego:

Dla a1 > 0 i q > 1, ciąg jest rosnący
Dla a1 > 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest malejący
Dla a1 < 0 i q > 1, ciąg jest malejący
Dla a1 < 0 i q ∈ (0, 1), ciąg jest rosnący
Dla q = 1, ciąg jest stały
Dla q < 0, ciąg jest niemonotoniczny

Example: Aby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, należy podzielić dowolne dwa sąsiednie wyrazy. Jeśli iloraz jest stały, ciąg jest geometryczny.

Przedstawiono wzór na sumę ciągu geometrycznego:

Dla q ≠ 1: Sn = a1 · (1 - q^n) / (1 - q)
Dla q = 1: Sn = n · a1

Vocabulary: Iloraz ciągu geometrycznego (q) to stała wartość, przez którą mnoży się każdy kolejny wyraz ciągu.

Wprowadzono pojęcie szeregu geometrycznego, który jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

Definition: Szereg geometryczny to szereg utworzony ze wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.

Highlight: Suma szeregu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy |q| < 1 i wynosi: S∞ = a1 / (1 - q)

Te informacje są kluczowe dla zrozumienia ciągów arytmetycznych i geometrycznych, co jest istotne przy rozwiązywaniu zadań maturalnych z tego zakresu.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podobne notatki

Matematyka - MATEMATYKA Rachunek Prawdopodobieństwa PODSTAWA

2459

Matematyka - Granica ciągu liczbowego

matematyka

442

Matematyka - matematyka matura podstawa 2020

arkusz maturalny z matematyki poziom podstawowy 2020

769

Matematyka - Ciągi

Ciągi arytmetyczne Obliczanie wyrazów Badanie monotoniczności Rysownie wykresów

403

9889

Matematyka - ciągi rekurencyjne określone

notatka zawiera podastawowe infomacje o ciągu rekurencyjnym określonym wraz z przykładami z wytłumaczeniem na przykładzie zbioru zadań do klasy 3 nowa era

1278

Matematyka - Matura matematyka

Maj 2023, poziom podstawowy (źródło: arkusze.pl)

2040

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS