Przedmioty

Kariera

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Ciągi arytmetyczne i geometryczne: sumy, różnice i monotoniczność

Otwórz

425

2

user profile picture

Laura Dziuba

17.12.2022

Matematyka

Ciągi

Przedmioty

/

Matematyka

/

Ciągi

/

Monotonicznosć ciągu

/

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Ciągi arytmetyczne i geometryczne: sumy, różnice i monotoniczność

Ciągi arytmetyczne to kluczowy temat w matematyce, obejmujący wzory, właściwości i zastosowania.

  • Omówiono wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego oraz sumę jego wyrazów.
  • Przedstawiono metody badania monotonii ciągów arytmetycznych.
  • Zaprezentowano zadania na wstawianie liczb między elementy ciągu arytmetycznego.
  • Wyjaśniono, jak analizować i rysować wykresy ciągów arytmetycznych.
  • Pokazano praktyczne zastosowania wzorów w rozwiązywaniu różnorodnych zadań.
...

17.12.2022

12264

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zobacz

Rozwiązywanie zadań z ciągów arytmetycznych

Ta strona skupia się na praktycznym zastosowaniu wzorów ciągu arytmetycznego do rozwiązywania konkretnych zadań.

Example: Kontynuacja przykładu z poprzedniej strony - wstawianie 5 liczb między 4 i 22.

Krok po kroku przedstawiono rozwiązanie:

  1. Ustalenie pierwszego (a1 = 4) i ostatniego (a7 = 22) wyrazu ciągu.
  2. Zastosowanie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego: 22 = 4 + 6r
  3. Obliczenie różnicy ciągu: r = 3
  4. Wyznaczenie kolejnych wyrazów ciągu: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22

Highlight: Umiejętność krok po kroku rozwiązywania takich zadań jest kluczowa dla zrozumienia ciągów arytmetycznych.

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zobacz

Badanie monotoniczności ciągów

Ta strona koncentruje się na analizie monotoniczności ciągów, co jest istotnym aspektem ich badania.

Definition: Monotoniczność ciągu określa, czy ciąg jest rosnący, malejący, czy stały.

Przedstawiono dwa przykłady:

  1. Badanie monotoniczności ciągu rosnącego:

    • Ciąg an = √(3n + 1)
    • Wykazano, że an+1 - an > 0, co dowodzi, że ciąg jest rosnący

  2. Badanie monotoniczności ciągu malejącego:

    • Ciąg an = 1 - 1/(n+1)
    • Wykazano, że an+1 - an < 0, co dowodzi, że ciąg jest malejący

Highlight: Kluczowym krokiem w badaniu monotoniczności jest porównanie kolejnych wyrazów ciągu.

Vocabulary: Monotoniczność ciągu - właściwość ciągu określająca, czy jego kolejne wyrazy rosną, maleją lub pozostają stałe.

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zobacz

Analiza ciągów malejących i wykresy

Ta strona kontynuuje temat badania monotoniczności ciągów, skupiając się na ciągach malejących oraz wprowadza koncepcję wykresów ciągów.

Example: Badanie monotoniczności ciągu bn = 2n/(n+1)

  • Wykazano, że bn+1 - bn < 0, co potwierdza, że ciąg jest malejący

Wprowadzono również temat wykresów ciągów arytmetycznych:

Highlight: Wykres ciągu arytmetycznego tworzy linię prostą, co wynika z stałej różnicy między kolejnymi wyrazami.

Przedstawiono przykładowy wykres ciągu arytmetycznego, ilustrując jak kolejne wyrazy układają się na płaszczyźnie.

Vocabulary: Wykres ciągu - graficzna reprezentacja ciągu, gdzie na osi poziomej zaznacza się numery wyrazów, a na osi pionowej ich wartości.

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zobacz

Obliczanie wyrazów ciągu arytmetycznego

Ta strona skupia się na praktycznych obliczeniach związanych z ciągami arytmetycznymi.

Example: Obliczanie konkretnego wyrazu ciągu (14, 15, 13, 11, ..., a7)

  1. Określenie różnicy ciągu: r = -2
  2. Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: an = a1 + (n-1)r
  3. Obliczenie siódmego wyrazu: a7 = 14 + (7-1)(-2) = 14 - 12 = 5

Highlight: Umiejętność obliczania dowolnego wyrazu ciągu jest kluczowa w pracy z ciągami arytmetycznymi.

Strona zawiera również przypomnienie kluczowych wzorów:

  • Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: an = a1 + (n-1)r
  • Wzór na różnicę ciągu arytmetycznego: r = an+1 - an

Vocabulary: Różnica ciągu arytmetycznego - stała wartość, o którą każdy kolejny wyraz ciągu jest większy (lub mniejszy) od poprzedniego.

Podobne notatki

Know Prawdopodobieństwo i kombinatoryka thumbnail

82

2870

4/1

Prawdopodobieństwo i kombinatoryka

Maturalne notatki z matematyki z prawdopodobieństwa i kombinatoryki. Aksjomaty, własności, rodzaje prawdopodobieństwa, działania kombinatoryki.

Know ciągi rekurencyjne określone thumbnail

40

1564

1/2

ciągi rekurencyjne określone

notatka zawiera podastawowe infomacje o ciągu rekurencyjnym określonym wraz z przykładami z wytłumaczeniem na przykładzie zbioru zadań do klasy 3 nowa era

Know Ciągi - zadania thumbnail

22

2103

1/2

Ciągi - zadania

Zadania do tematu ciągi

Know Ciąg arytmetyczny thumbnail

11

369

4/1

Ciąg arytmetyczny

Notatki z matematyki poziom podstawowy i rozszerzony.

Know Ciągi monotoniczne thumbnail

23

1067

1/2

Ciągi monotoniczne

Monotoniczność ciągów

Know Silnia thumbnail

7

260

3

Silnia

Symbol Newtona, trójkąt Pascala

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

20 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

/

Matematyka

/

Ciągi

/

Monotonicznosć ciągu

/

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Ciągi arytmetyczne i geometryczne: sumy, różnice i monotoniczność

user profile picture

Laura Dziuba

@lauradziuba_elet

·

30 Obserwujących

Obserwuj

Ciągi arytmetyczne to kluczowy temat w matematyce, obejmujący wzory, właściwości i zastosowania.

  • Omówiono wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego oraz sumę jego wyrazów.
  • Przedstawiono metody badania monotonii ciągów arytmetycznych.
  • Zaprezentowano zadania na wstawianie liczb między elementy ciągu arytmetycznego.
  • Wyjaśniono, jak analizować i rysować wykresy ciągów arytmetycznych.
  • Pokazano praktyczne zastosowania wzorów w rozwiązywaniu różnorodnych zadań.
...

17.12.2022

12264

 

3

 

Matematyka

425

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie zadań z ciągów arytmetycznych

Ta strona skupia się na praktycznym zastosowaniu wzorów ciągu arytmetycznego do rozwiązywania konkretnych zadań.

Example: Kontynuacja przykładu z poprzedniej strony - wstawianie 5 liczb między 4 i 22.

Krok po kroku przedstawiono rozwiązanie:

  1. Ustalenie pierwszego (a1 = 4) i ostatniego (a7 = 22) wyrazu ciągu.
  2. Zastosowanie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego: 22 = 4 + 6r
  3. Obliczenie różnicy ciągu: r = 3
  4. Wyznaczenie kolejnych wyrazów ciągu: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22

Highlight: Umiejętność krok po kroku rozwiązywania takich zadań jest kluczowa dla zrozumienia ciągów arytmetycznych.

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Badanie monotoniczności ciągów

Ta strona koncentruje się na analizie monotoniczności ciągów, co jest istotnym aspektem ich badania.

Definition: Monotoniczność ciągu określa, czy ciąg jest rosnący, malejący, czy stały.

Przedstawiono dwa przykłady:

  1. Badanie monotoniczności ciągu rosnącego:

    • Ciąg an = √(3n + 1)
    • Wykazano, że an+1 - an > 0, co dowodzi, że ciąg jest rosnący

  2. Badanie monotoniczności ciągu malejącego:

    • Ciąg an = 1 - 1/(n+1)
    • Wykazano, że an+1 - an < 0, co dowodzi, że ciąg jest malejący

Highlight: Kluczowym krokiem w badaniu monotoniczności jest porównanie kolejnych wyrazów ciągu.

Vocabulary: Monotoniczność ciągu - właściwość ciągu określająca, czy jego kolejne wyrazy rosną, maleją lub pozostają stałe.

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Analiza ciągów malejących i wykresy

Ta strona kontynuuje temat badania monotoniczności ciągów, skupiając się na ciągach malejących oraz wprowadza koncepcję wykresów ciągów.

Example: Badanie monotoniczności ciągu bn = 2n/(n+1)

  • Wykazano, że bn+1 - bn < 0, co potwierdza, że ciąg jest malejący

Wprowadzono również temat wykresów ciągów arytmetycznych:

Highlight: Wykres ciągu arytmetycznego tworzy linię prostą, co wynika z stałej różnicy między kolejnymi wyrazami.

Przedstawiono przykładowy wykres ciągu arytmetycznego, ilustrując jak kolejne wyrazy układają się na płaszczyźnie.

Vocabulary: Wykres ciągu - graficzna reprezentacja ciągu, gdzie na osi poziomej zaznacza się numery wyrazów, a na osi pionowej ich wartości.

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Obliczanie wyrazów ciągu arytmetycznego

Ta strona skupia się na praktycznych obliczeniach związanych z ciągami arytmetycznymi.

Example: Obliczanie konkretnego wyrazu ciągu (14, 15, 13, 11, ..., a7)

  1. Określenie różnicy ciągu: r = -2
  2. Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: an = a1 + (n-1)r
  3. Obliczenie siódmego wyrazu: a7 = 14 + (7-1)(-2) = 14 - 12 = 5

Highlight: Umiejętność obliczania dowolnego wyrazu ciągu jest kluczowa w pracy z ciągami arytmetycznymi.

Strona zawiera również przypomnienie kluczowych wzorów:

  • Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: an = a1 + (n-1)r
  • Wzór na różnicę ciągu arytmetycznego: r = an+1 - an

Vocabulary: Różnica ciągu arytmetycznego - stała wartość, o którą każdy kolejny wyraz ciągu jest większy (lub mniejszy) od poprzedniego.

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wprowadzenie do ciągów arytmetycznych

Strona ta przedstawia podstawowe pojęcia i wzory związane z ciągami arytmetycznymi.

Definition: Ciąg arytmetyczny to ciąg liczbowy, w którym różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.

Kluczowe elementy omówione na tej stronie:

  • Wzór na różnicę ciągu arytmetycznego: r = an+1 - an
  • Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: an = a1 + (n-1)r
  • Wzór na sumę ciągu arytmetycznego: Sn = (a1 + an)n/2

Highlight: Znajomość tych wzorów jest kluczowa dla rozwiązywania zadań związanych z ciągami arytmetycznymi.

Strona zawiera również informacje o wstawianiu określonej liczby wyrazów między dwa dane wyrazy, aby utworzyć ciąg arytmetyczny.

Example: Zadanie polegające na wstawieniu 5 liczb między 4 i 22, aby utworzyć rosnący ciąg arytmetyczny.

Podobne notatki

Matematyka - Prawdopodobieństwo i kombinatoryka

Maturalne notatki z matematyki z prawdopodobieństwa i kombinatoryki. Aksjomaty, własności, rodzaje prawdopodobieństwa, działania kombinatoryki.

82

2870

1

Know Prawdopodobieństwo i kombinatoryka thumbnail

Matematyka - ciągi rekurencyjne określone

notatka zawiera podastawowe infomacje o ciągu rekurencyjnym określonym wraz z przykładami z wytłumaczeniem na przykładzie zbioru zadań do klasy 3 nowa era

40

1564

1

Know ciągi rekurencyjne określone thumbnail

Matematyka - Ciągi - zadania

Zadania do tematu ciągi

22

2103

0

Know Ciągi - zadania thumbnail

Matematyka - Ciąg arytmetyczny

Notatki z matematyki poziom podstawowy i rozszerzony.

11

369

0

Know Ciąg arytmetyczny thumbnail

Matematyka - Ciągi monotoniczne

Monotoniczność ciągów

23

1067

0

Know Ciągi monotoniczne thumbnail

Matematyka - Silnia

Symbol Newtona, trójkąt Pascala

7

260

0

Know Silnia thumbnail

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

20 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.