Przedmioty

Kariera

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Ciągi arytmetyczne i geometryczne: sumy, różnice i monotoniczność

Otwórz

425

2

user profile picture

Laura Dziuba

17.12.2022

Matematyka

Ciągi

Przedmioty

/

Matematyka

/

Ciągi

/

Monotonicznosć ciągu

/

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

Ciągi arytmetyczne i geometryczne: sumy, różnice i monotoniczność

Ciągi arytmetyczne to kluczowy temat w matematyce, obejmujący wzory, właściwości i zastosowania.

  • Omówiono wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego oraz sumę jego wyrazów.
  • Przedstawiono metody badania monotonii ciągów arytmetycznych.
  • Zaprezentowano zadania na wstawianie liczb między elementy ciągu arytmetycznego.
  • Wyjaśniono, jak analizować i rysować wykresy ciągów arytmetycznych.
  • Pokazano praktyczne zastosowania wzorów w rozwiązywaniu różnorodnych zadań.
...

17.12.2022

12307

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zobacz

Rozwiązywanie zadań z ciągów arytmetycznych

Ta strona skupia się na praktycznym zastosowaniu wzorów ciągu arytmetycznego do rozwiązywania konkretnych zadań.

Example: Kontynuacja przykładu z poprzedniej strony - wstawianie 5 liczb między 4 i 22.

Krok po kroku przedstawiono rozwiązanie:

  1. Ustalenie pierwszego a1=4a1 = 4 i ostatniego a7=22a7 = 22 wyrazu ciągu.
  2. Zastosowanie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego: 22 = 4 + 6r
  3. Obliczenie różnicy ciągu: r = 3
  4. Wyznaczenie kolejnych wyrazów ciągu: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22

Highlight: Umiejętność krok po kroku rozwiązywania takich zadań jest kluczowa dla zrozumienia ciągów arytmetycznych.

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zobacz

Badanie monotoniczności ciągów

Ta strona koncentruje się na analizie monotoniczności ciągów, co jest istotnym aspektem ich badania.

Definition: Monotoniczność ciągu określa, czy ciąg jest rosnący, malejący, czy stały.

Przedstawiono dwa przykłady:

  1. Badanie monotoniczności ciągu rosnącego: Ciąg an = √3n+13n + 1 Wykazano, że an+1 - an > 0, co dowodzi, że ciąg jest rosnący
  2. Badanie monotoniczności ciągu malejącego: Ciąg an = 1 - 1/n+1n+1 Wykazano, że an+1 - an < 0, co dowodzi, że ciąg jest malejący

Highlight: Kluczowym krokiem w badaniu monotoniczności jest porównanie kolejnych wyrazów ciągu.

Vocabulary: Monotoniczność ciągu - właściwość ciągu określająca, czy jego kolejne wyrazy rosną, maleją lub pozostają stałe.

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zobacz

Analiza ciągów malejących i wykresy

Ta strona kontynuuje temat badania monotoniczności ciągów, skupiając się na ciągach malejących oraz wprowadza koncepcję wykresów ciągów.

Example: Badanie monotoniczności ciągu bn = 2n/n+1n+1

  • Wykazano, że bn+1 - bn < 0, co potwierdza, że ciąg jest malejący

Wprowadzono również temat wykresów ciągów arytmetycznych:

Highlight: Wykres ciągu arytmetycznego tworzy linię prostą, co wynika z stałej różnicy między kolejnymi wyrazami.

Przedstawiono przykładowy wykres ciągu arytmetycznego, ilustrując jak kolejne wyrazy układają się na płaszczyźnie.

Vocabulary: Wykres ciągu - graficzna reprezentacja ciągu, gdzie na osi poziomej zaznacza się numery wyrazów, a na osi pionowej ich wartości.

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zobacz

Obliczanie wyrazów ciągu arytmetycznego

Ta strona skupia się na praktycznych obliczeniach związanych z ciągami arytmetycznymi.

Example: Obliczanie konkretnego wyrazu ciągu 14,15,13,11,...,a714, 15, 13, 11, ..., a7

  1. Określenie różnicy ciągu: r = -2
  2. Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: an = a1 + n−1n-1r
  3. Obliczenie siódmego wyrazu: a7 = 14 + 7−17-1−2-2 = 14 - 12 = 5

Highlight: Umiejętność obliczania dowolnego wyrazu ciągu jest kluczowa w pracy z ciągami arytmetycznymi.

Strona zawiera również przypomnienie kluczowych wzorów:

  • Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: an = a1 + n−1n-1r
  • Wzór na różnicę ciągu arytmetycznego: r = an+1 - an

Vocabulary: Różnica ciągu arytmetycznego - stała wartość, o którą każdy kolejny wyraz ciągu jest większy lubmniejszylub mniejszy od poprzedniego.

Podobne notatki

Know Ciąg arytmetyczny thumbnail

11

369

4/1

Ciąg arytmetyczny

Notatki z matematyki poziom podstawowy i rozszerzony.

Know Matematyka - wzory ciągi liczbowe thumbnail

23

627

4/2

Matematyka - wzory ciągi liczbowe

Różne wzory związane z działem Ciągi geometryczne i arytmetyczne

Know Granica ciągu thumbnail

100

3960

3

Granica ciągu

Czym jest granica ciągu, jak się ją wyznacza (rozwiązane przykłady!), sztuczki, symbole nieoznaczone, twierdzenie o trzech ciągach

Know ciąg geometryczny thumbnail

17

406

1/2

ciąg geometryczny

zadania maturalne, krok po kroku

Know Ciągi thumbnail

197

7220

3

Ciągi

ciąg geometryczny, ciąg arytmetyczny, szereg geometryczny

Know Silnia thumbnail

7

260

3

Silnia

Symbol Newtona, trójkąt Pascala

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Ciągi

Monotonicznosć ciągu

Wyznaczanie wyrazu an+1 ciągu określonego wzorem ogólnym

 

Matematyka

•

12 307

•

17 gru 2022

•

5 strony

Ciągi arytmetyczne i geometryczne: sumy, różnice i monotoniczność

user profile picture

Laura Dziuba

@lauradziuba_elet

Ciągi arytmetyczne to kluczowy temat w matematyce, obejmujący wzory, właściwości i zastosowania.

  • Omówiono wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego oraz sumę jego wyrazów.
  • Przedstawiono metody badania monotonii ciągów arytmetycznych.
  • Zaprezentowano zadania na wstawianie liczb między elementy ciągu arytmetycznego.
  • Wyjaśniono, jak... Pokaż więcej

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie zadań z ciągów arytmetycznych

Ta strona skupia się na praktycznym zastosowaniu wzorów ciągu arytmetycznego do rozwiązywania konkretnych zadań.

Example: Kontynuacja przykładu z poprzedniej strony - wstawianie 5 liczb między 4 i 22.

Krok po kroku przedstawiono rozwiązanie:

  1. Ustalenie pierwszego a1=4a1 = 4 i ostatniego a7=22a7 = 22 wyrazu ciągu.
  2. Zastosowanie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego: 22 = 4 + 6r
  3. Obliczenie różnicy ciągu: r = 3
  4. Wyznaczenie kolejnych wyrazów ciągu: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22

Highlight: Umiejętność krok po kroku rozwiązywania takich zadań jest kluczowa dla zrozumienia ciągów arytmetycznych.

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Badanie monotoniczności ciągów

Ta strona koncentruje się na analizie monotoniczności ciągów, co jest istotnym aspektem ich badania.

Definition: Monotoniczność ciągu określa, czy ciąg jest rosnący, malejący, czy stały.

Przedstawiono dwa przykłady:

  1. Badanie monotoniczności ciągu rosnącego: Ciąg an = √3n+13n + 1 Wykazano, że an+1 - an > 0, co dowodzi, że ciąg jest rosnący
  2. Badanie monotoniczności ciągu malejącego: Ciąg an = 1 - 1/n+1n+1 Wykazano, że an+1 - an < 0, co dowodzi, że ciąg jest malejący

Highlight: Kluczowym krokiem w badaniu monotoniczności jest porównanie kolejnych wyrazów ciągu.

Vocabulary: Monotoniczność ciągu - właściwość ciągu określająca, czy jego kolejne wyrazy rosną, maleją lub pozostają stałe.

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Analiza ciągów malejących i wykresy

Ta strona kontynuuje temat badania monotoniczności ciągów, skupiając się na ciągach malejących oraz wprowadza koncepcję wykresów ciągów.

Example: Badanie monotoniczności ciągu bn = 2n/n+1n+1

  • Wykazano, że bn+1 - bn < 0, co potwierdza, że ciąg jest malejący

Wprowadzono również temat wykresów ciągów arytmetycznych:

Highlight: Wykres ciągu arytmetycznego tworzy linię prostą, co wynika z stałej różnicy między kolejnymi wyrazami.

Przedstawiono przykładowy wykres ciągu arytmetycznego, ilustrując jak kolejne wyrazy układają się na płaszczyźnie.

Vocabulary: Wykres ciągu - graficzna reprezentacja ciągu, gdzie na osi poziomej zaznacza się numery wyrazów, a na osi pionowej ich wartości.

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Obliczanie wyrazów ciągu arytmetycznego

Ta strona skupia się na praktycznych obliczeniach związanych z ciągami arytmetycznymi.

Example: Obliczanie konkretnego wyrazu ciągu 14,15,13,11,...,a714, 15, 13, 11, ..., a7

  1. Określenie różnicy ciągu: r = -2
  2. Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: an = a1 + n−1n-1r
  3. Obliczenie siódmego wyrazu: a7 = 14 + 7−17-1−2-2 = 14 - 12 = 5

Highlight: Umiejętność obliczania dowolnego wyrazu ciągu jest kluczowa w pracy z ciągami arytmetycznymi.

Strona zawiera również przypomnienie kluczowych wzorów:

  • Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: an = a1 + n−1n-1r
  • Wzór na różnicę ciągu arytmetycznego: r = an+1 - an

Vocabulary: Różnica ciągu arytmetycznego - stała wartość, o którą każdy kolejny wyraz ciągu jest większy lubmniejszylub mniejszy od poprzedniego.

Ciągi Ciąg arytmetyczny V-voznica ✓ = an+ ₁ - an wzor na różnicę a₁ = a₁ + (n=1) ³✓ wzór na n-ty wyroix an-1 +an +1 Svoolkony wyraz an = Sn=

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wprowadzenie do ciągów arytmetycznych

Strona ta przedstawia podstawowe pojęcia i wzory związane z ciągami arytmetycznymi.

Definition: Ciąg arytmetyczny to ciąg liczbowy, w którym różnica między każdymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.

Kluczowe elementy omówione na tej stronie:

  • Wzór na różnicę ciągu arytmetycznego: r = an+1 - an
  • Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: an = a1 + n−1n-1r
  • Wzór na sumę ciągu arytmetycznego: Sn = a1+ana1 + ann/2

Highlight: Znajomość tych wzorów jest kluczowa dla rozwiązywania zadań związanych z ciągami arytmetycznymi.

Strona zawiera również informacje o wstawianiu określonej liczby wyrazów między dwa dane wyrazy, aby utworzyć ciąg arytmetyczny.

Example: Zadanie polegające na wstawieniu 5 liczb między 4 i 22, aby utworzyć rosnący ciąg arytmetyczny.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS