Dziedzina wyrażeń wymiernych i ich skracanie z zastosowaniem przykładów

Dziedzina i skracanie wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne to po prostu ułamki, gdzie w liczniku i mianowniku masz wielomiany - na przykład $\frac{5x+7}{x-3}$ czy $\frac{2x²-x}{4}$. To nie jest nic skomplikowanego!

Dziedzina to zbiór wszystkich wartości x, dla których wyrażenie ma sens matematyczny. Pamiętaj podstawową zasadę: nigdy nie dzielimy przez zero! Dlatego mianownik zawsze musi być różny od zera.

Żeby wyznaczyć dziedzinę, przyrównujesz mianownik do zera i rozwiązujesz równanie. Na przykład dla $\frac{-5x²+2x}{x+4}$ masz $x+4 \neq 0$, więc $x \neq -4$. Dziedzina to $x \in \mathbb{R} \setminus \{-4\}$.

Wskazówka: Gdy mianownik to iloczyn wyrażeń, jak $(x+5)(2x-3)$, każdy z czynników musi być różny od zera osobno!

Skracanie wyrażeń wymiernych polega na dzieleniu licznika i mianownika przez te same wyrażenia. Kluczowe jest to, że najpierw wyznaczasz dziedzinę, a dopiero potem skracasz. Przykład: $\frac{5(x+2)(x-8)}{3(x+10)(x+2)}$ możesz skrócić przez $(x+2)$ i otrzymać $\frac{5(x-8)}{3(x+10)}$.