Dodawanie, Odejmowanie, Mnożenie i Dzielenie Wielomianów - Zadania PDF i Przykłady

Oliwia Mikulska

9.09.2025

Matematyka

Wielomiany, działania na wielomianach

Matematyka

Działania i Metody Dzielenia

Dzielenie wielomianów

2461

•

9 wrz 2025

•

2 strony

Dodawanie, Odejmowanie, Mnożenie i Dzielenie Wielomianów - Zadania PDF i Przykłady

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Oliwia Mikulska

@oliwia04

Działania na wielomianachto kluczowe zagadnienie w algebrze, obejmujące operacje... Pokaż więcej

wielomiany
DZIAŁANIA NA WIELOMANACH
Ⓒdodawanie wielomianówo
P(x) + Q(x)
np. P(x) = 2x² -5
Q(x)=x²-2x+6
Ⓒodejmowanie wielomiantu
P(x)-Gux) =

Zaawansowane operacje na wielomianach

Dzielenie wielomianów to operacja, która może być wykonywana metodą klasyczną lub z wykorzystaniem schematu Hornera.

Example: Dla wielomianu W $x$ = 2x² - x - 51 dzielonego przez P $x$ = x - 3, wynik dzielenia to 2x + 6 z resztą 17.

Schemat Hornera to efektywna metoda dzielenia wielomianu przez dwumian postaci x - a.

Highlight: Schemat Hornera nie tylko ułatwia dzielenie wielomianów, ale także pozwala na szybkie obliczenie wartości wielomianu dla danego argumentu.

Równość wielomianów to ważne pojęcie w algebrze wielomianów.

Definition: Dwa wielomiany tej samej zmiennej są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej, lub gdy oba są wielomianami zerowymi.

Vocabulary: Wielomian zerowy - wielomian, którego wszystkie współczynniki są równe zero.

Zrozumienie tych operacji i pojęć jest kluczowe dla dalszego studiowania algebry i analizy matematycznej. Mnożenie wielomianów, dzielenie wielomianów, oraz rozkład wielomianu na czynniki stanowią podstawę do rozwiązywania bardziej zaawansowanych problemów matematycznych, takich jak równania wielomianowe.

Działania na wielomianach - podstawy

Dodawanie i odejmowanie wielomianów to fundamentalne operacje w algebrze wielomianów. Proces ten polega na łączeniu wyrazów podobnych, czyli tych o takich samych potęgach zmiennej.

Example: Dla wielomianów P $x$ = 2x² - 5 i Q $x$ = x² - 2x + 6, suma wynosi P $x$ + Q $x$ = 3x² - 2x + 1.

Odejmowanie wielomianów przebiega analogicznie do dodawania, z tą różnicą, że zmieniamy znaki odjemnika.

Example: P $x$ - Q $x$ = 2x² - 5 - $x² - 2x + 6$ = x² + 2x - 11.

Mnożenie wielomianów jest bardziej złożoną operacją, wymagającą zastosowania rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Example: P $x$ · Q $x$ = $2x² - 5$ $x² + 2x + 6$ = 2x⁴ + 4x³ + 12x² - 5x² - 10x - 30 = 2x⁴ + 4x³ + 7x² - 10x - 30.

Highlight: Przy mnożeniu wielomianów kluczowe jest prawidłowe łączenie wyrazów podobnych po wykonaniu wszystkich iloczynów cząstkowych.

Rozkład wielomianu na czynniki to proces przedstawienia wielomianu w postaci iloczynowej. Metoda zależy od liczby i rodzaju miejsc zerowych wielomianu.

Definition: Miejsce zerowe wielomianu to wartość zmiennej x, dla której wielomian przyjmuje wartość zero.

Dla wielomianu kwadratowego ax² + bx + c:

Jeśli Δ < 0, wielomian nie ma miejsc zerowych i nie ma postaci iloczynowej.
Jeśli Δ = 0, wielomian ma jedno miejsce zerowe x₀ i postać W $x$ = a $x - x₀$ ².
Jeśli Δ > 0, wielomian ma dwa miejsca zerowe x₁ i x₂, a jego postać iloczynowa to W $x$ = a $x - x₁$ $x - x₂$ .

Vocabulary: Δ $delta$ - wyróżnik trójmianu kwadratowego, obliczany ze wzoru Δ = b² - 4ac.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Potęgi o wykładniku wymiernym Własności potęg o tym samym wykładniku

1757

Wielomiany

4846

wielomiany

530

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Działania i Metody Dzielenia

Dzielenie wielomianów

Matematyka

•

2461

•

9 wrz 2025

•

2 strony

Dodawanie, Odejmowanie, Mnożenie i Dzielenie Wielomianów - Zadania PDF i Przykłady

Oliwia Mikulska

@oliwia04

Działania na wielomianach to kluczowe zagadnienie w algebrze, obejmujące operacje takie jak dodawanie wielomianów, odejmowanie wielomianów, mnożenie wielomianów oraz dzielenie wielomianów. Dokument omawia również rozkład wielomianów na czynniki i metodę Hornera.

Dodawanie i odejmowanie wielomianówpolega na łączeniu... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Zaawansowane operacje na wielomianach

Dzielenie wielomianów to operacja, która może być wykonywana metodą klasyczną lub z wykorzystaniem schematu Hornera.

Example: Dla wielomianu W $x$ = 2x² - x - 51 dzielonego przez P $x$ = x - 3, wynik dzielenia to 2x + 6 z resztą 17.

Schemat Hornera to efektywna metoda dzielenia wielomianu przez dwumian postaci x - a.

Highlight: Schemat Hornera nie tylko ułatwia dzielenie wielomianów, ale także pozwala na szybkie obliczenie wartości wielomianu dla danego argumentu.

Równość wielomianów to ważne pojęcie w algebrze wielomianów.

Definition: Dwa wielomiany tej samej zmiennej są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej, lub gdy oba są wielomianami zerowymi.

Vocabulary: Wielomian zerowy - wielomian, którego wszystkie współczynniki są równe zero.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Działania na wielomianach - podstawy

Dodawanie i odejmowanie wielomianów to fundamentalne operacje w algebrze wielomianów. Proces ten polega na łączeniu wyrazów podobnych, czyli tych o takich samych potęgach zmiennej.

Example: Dla wielomianów P $x$ = 2x² - 5 i Q $x$ = x² - 2x + 6, suma wynosi P $x$ + Q $x$ = 3x² - 2x + 1.

Odejmowanie wielomianów przebiega analogicznie do dodawania, z tą różnicą, że zmieniamy znaki odjemnika.

Example: P $x$ - Q $x$ = 2x² - 5 - $x² - 2x + 6$ = x² + 2x - 11.

Mnożenie wielomianów jest bardziej złożoną operacją, wymagającą zastosowania rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Example: P $x$ · Q $x$ = $2x² - 5$ $x² + 2x + 6$ = 2x⁴ + 4x³ + 12x² - 5x² - 10x - 30 = 2x⁴ + 4x³ + 7x² - 10x - 30.

Highlight: Przy mnożeniu wielomianów kluczowe jest prawidłowe łączenie wyrazów podobnych po wykonaniu wszystkich iloczynów cząstkowych.

Rozkład wielomianu na czynniki to proces przedstawienia wielomianu w postaci iloczynowej. Metoda zależy od liczby i rodzaju miejsc zerowych wielomianu.

Definition: Miejsce zerowe wielomianu to wartość zmiennej x, dla której wielomian przyjmuje wartość zero.

Dla wielomianu kwadratowego ax² + bx + c:

Jeśli Δ < 0, wielomian nie ma miejsc zerowych i nie ma postaci iloczynowej.
Jeśli Δ = 0, wielomian ma jedno miejsce zerowe x₀ i postać W $x$ = a $x - x₀$ ².
Jeśli Δ > 0, wielomian ma dwa miejsca zerowe x₁ i x₂, a jego postać iloczynowa to W $x$ = a $x - x₁$ $x - x₂$ .

Vocabulary: Δ $delta$ - wyróżnik trójmianu kwadratowego, obliczany ze wzoru Δ = b² - 4ac.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Potęgi o wykładniku wymiernym Własności potęg o tym samym wykładniku

1757

Wielomiany

4846

wielomiany

530

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS