Przedmioty

Przedmioty

Więcej

Dodawanie, Odejmowanie, Mnożenie i Dzielenie Wielomianów - Zadania PDF i Przykłady

Zobacz

Dodawanie, Odejmowanie, Mnożenie i Dzielenie Wielomianów - Zadania PDF i Przykłady

Działania na wielomianach to kluczowe zagadnienie w algebrze, obejmujące operacje takie jak dodawanie wielomianów, odejmowanie wielomianów, mnożenie wielomianów oraz dzielenie wielomianów. Dokument omawia również rozkład wielomianów na czynniki i metodę Hornera.

  • Dodawanie i odejmowanie wielomianów polega na łączeniu wyrazów podobnych.
  • Mnożenie wielomianów wymaga zastosowania rozdzielności mnożenia względem dodawania.
  • Dzielenie wielomianów można wykonać metodą klasyczną lub schematem Hornera.
  • Rozkład wielomianu na czynniki zależy od liczby i rodzaju miejsc zerowych.
  • Równość wielomianów zachodzi, gdy mają ten sam stopień i odpowiadające sobie współczynniki.

20.03.2022

2079

Zaawansowane operacje na wielomianach

Dzielenie wielomianów to operacja, która może być wykonywana metodą klasyczną lub z wykorzystaniem schematu Hornera.

Example: Dla wielomianu W(x) = 2x² - x - 51 dzielonego przez P(x) = x - 3, wynik dzielenia to 2x + 6 z resztą 17.

Schemat Hornera to efektywna metoda dzielenia wielomianu przez dwumian postaci x - a.

Highlight: Schemat Hornera nie tylko ułatwia dzielenie wielomianów, ale także pozwala na szybkie obliczenie wartości wielomianu dla danego argumentu.

Równość wielomianów to ważne pojęcie w algebrze wielomianów.

Definition: Dwa wielomiany tej samej zmiennej są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej, lub gdy oba są wielomianami zerowymi.

Vocabulary: Wielomian zerowy - wielomian, którego wszystkie współczynniki są równe zero.

Zrozumienie tych operacji i pojęć jest kluczowe dla dalszego studiowania algebry i analizy matematycznej. Mnożenie wielomianów, dzielenie wielomianów, oraz rozkład wielomianu na czynniki stanowią podstawę do rozwiązywania bardziej zaawansowanych problemów matematycznych, takich jak równania wielomianowe.

wielomiany
DZIAŁANIA NA WIELOMANACH
Ⓒdodawanie wielomianówo
P(x) + Q(x)
np. P(x) = 2x² -5
Q(x)=x²-2x+6
Ⓒodejmowanie wielomiantu
P(x)-Gux) =

Działania na wielomianach - podstawy

Dodawanie i odejmowanie wielomianów to fundamentalne operacje w algebrze wielomianów. Proces ten polega na łączeniu wyrazów podobnych, czyli tych o takich samych potęgach zmiennej.

Example: Dla wielomianów P(x) = 2x² - 5 i Q(x) = x² - 2x + 6, suma wynosi P(x) + Q(x) = 3x² - 2x + 1.

Odejmowanie wielomianów przebiega analogicznie do dodawania, z tą różnicą, że zmieniamy znaki odjemnika.

Example: P(x) - Q(x) = 2x² - 5 - (x² - 2x + 6) = x² + 2x - 11.

Mnożenie wielomianów jest bardziej złożoną operacją, wymagającą zastosowania rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Example: P(x) · Q(x) = (2x² - 5)(x² + 2x + 6) = 2x⁴ + 4x³ + 12x² - 5x² - 10x - 30 = 2x⁴ + 4x³ + 7x² - 10x - 30.

Highlight: Przy mnożeniu wielomianów kluczowe jest prawidłowe łączenie wyrazów podobnych po wykonaniu wszystkich iloczynów cząstkowych.

Rozkład wielomianu na czynniki to proces przedstawienia wielomianu w postaci iloczynowej. Metoda zależy od liczby i rodzaju miejsc zerowych wielomianu.

Definition: Miejsce zerowe wielomianu to wartość zmiennej x, dla której wielomian przyjmuje wartość zero.

Dla wielomianu kwadratowego ax² + bx + c:

  • Jeśli Δ < 0, wielomian nie ma miejsc zerowych i nie ma postaci iloczynowej.
  • Jeśli Δ = 0, wielomian ma jedno miejsce zerowe x₀ i postać W(x) = a(x - x₀)².
  • Jeśli Δ > 0, wielomian ma dwa miejsca zerowe x₁ i x₂, a jego postać iloczynowa to W(x) = a(x - x₁)(x - x₂).

Vocabulary: Δ (delta) - wyróżnik trójmianu kwadratowego, obliczany ze wzoru Δ = b² - 4ac.

wielomiany
DZIAŁANIA NA WIELOMANACH
Ⓒdodawanie wielomianówo
P(x) + Q(x)
np. P(x) = 2x² -5
Q(x)=x²-2x+6
Ⓒodejmowanie wielomiantu
P(x)-Gux) =

Zobacz

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 11 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 11 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Zobacz

Dodawanie, Odejmowanie, Mnożenie i Dzielenie Wielomianów - Zadania PDF i Przykłady

Dodawanie, Odejmowanie, Mnożenie i Dzielenie Wielomianów - Zadania PDF i Przykłady

Działania na wielomianach to kluczowe zagadnienie w algebrze, obejmujące operacje takie jak dodawanie wielomianów, odejmowanie wielomianów, mnożenie wielomianów oraz dzielenie wielomianów. Dokument omawia również rozkład wielomianów na czynniki i metodę Hornera.

  • Dodawanie i odejmowanie wielomianów polega na łączeniu wyrazów podobnych.
  • Mnożenie wielomianów wymaga zastosowania rozdzielności mnożenia względem dodawania.
  • Dzielenie wielomianów można wykonać metodą klasyczną lub schematem Hornera.
  • Rozkład wielomianu na czynniki zależy od liczby i rodzaju miejsc zerowych.
  • Równość wielomianów zachodzi, gdy mają ten sam stopień i odpowiadające sobie współczynniki.

20.03.2022

2079

Zaawansowane operacje na wielomianach

Dzielenie wielomianów to operacja, która może być wykonywana metodą klasyczną lub z wykorzystaniem schematu Hornera.

Example: Dla wielomianu W(x) = 2x² - x - 51 dzielonego przez P(x) = x - 3, wynik dzielenia to 2x + 6 z resztą 17.

Schemat Hornera to efektywna metoda dzielenia wielomianu przez dwumian postaci x - a.

Highlight: Schemat Hornera nie tylko ułatwia dzielenie wielomianów, ale także pozwala na szybkie obliczenie wartości wielomianu dla danego argumentu.

Równość wielomianów to ważne pojęcie w algebrze wielomianów.

Definition: Dwa wielomiany tej samej zmiennej są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej, lub gdy oba są wielomianami zerowymi.

Vocabulary: Wielomian zerowy - wielomian, którego wszystkie współczynniki są równe zero.

Zrozumienie tych operacji i pojęć jest kluczowe dla dalszego studiowania algebry i analizy matematycznej. Mnożenie wielomianów, dzielenie wielomianów, oraz rozkład wielomianu na czynniki stanowią podstawę do rozwiązywania bardziej zaawansowanych problemów matematycznych, takich jak równania wielomianowe.

wielomiany
DZIAŁANIA NA WIELOMANACH
Ⓒdodawanie wielomianówo
P(x) + Q(x)
np. P(x) = 2x² -5
Q(x)=x²-2x+6
Ⓒodejmowanie wielomiantu
P(x)-Gux) =
register

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Dołącz do milionów studentów

Popraw swoje oceny

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Działania na wielomianach - podstawy

Dodawanie i odejmowanie wielomianów to fundamentalne operacje w algebrze wielomianów. Proces ten polega na łączeniu wyrazów podobnych, czyli tych o takich samych potęgach zmiennej.

Example: Dla wielomianów P(x) = 2x² - 5 i Q(x) = x² - 2x + 6, suma wynosi P(x) + Q(x) = 3x² - 2x + 1.

Odejmowanie wielomianów przebiega analogicznie do dodawania, z tą różnicą, że zmieniamy znaki odjemnika.

Example: P(x) - Q(x) = 2x² - 5 - (x² - 2x + 6) = x² + 2x - 11.

Mnożenie wielomianów jest bardziej złożoną operacją, wymagającą zastosowania rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Example: P(x) · Q(x) = (2x² - 5)(x² + 2x + 6) = 2x⁴ + 4x³ + 12x² - 5x² - 10x - 30 = 2x⁴ + 4x³ + 7x² - 10x - 30.

Highlight: Przy mnożeniu wielomianów kluczowe jest prawidłowe łączenie wyrazów podobnych po wykonaniu wszystkich iloczynów cząstkowych.

Rozkład wielomianu na czynniki to proces przedstawienia wielomianu w postaci iloczynowej. Metoda zależy od liczby i rodzaju miejsc zerowych wielomianu.

Definition: Miejsce zerowe wielomianu to wartość zmiennej x, dla której wielomian przyjmuje wartość zero.

Dla wielomianu kwadratowego ax² + bx + c:

  • Jeśli Δ < 0, wielomian nie ma miejsc zerowych i nie ma postaci iloczynowej.
  • Jeśli Δ = 0, wielomian ma jedno miejsce zerowe x₀ i postać W(x) = a(x - x₀)².
  • Jeśli Δ > 0, wielomian ma dwa miejsca zerowe x₁ i x₂, a jego postać iloczynowa to W(x) = a(x - x₁)(x - x₂).

Vocabulary: Δ (delta) - wyróżnik trójmianu kwadratowego, obliczany ze wzoru Δ = b² - 4ac.

wielomiany
DZIAŁANIA NA WIELOMANACH
Ⓒdodawanie wielomianówo
P(x) + Q(x)
np. P(x) = 2x² -5
Q(x)=x²-2x+6
Ⓒodejmowanie wielomiantu
P(x)-Gux) =
register

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Dołącz do milionów studentów

Popraw swoje oceny

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Ranked #1 Education App

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 11 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.