Działania na wielomianach - podstawy
Dodawanie i odejmowanie wielomianów to fundamentalne operacje w algebrze wielomianów. Proces ten polega na łączeniu wyrazów podobnych, czyli tych o takich samych potęgach zmiennej.
Example: Dla wielomianów P(x) = 2x² - 5 i Q(x) = x² - 2x + 6, suma wynosi P(x) + Q(x) = 3x² - 2x + 1.
Odejmowanie wielomianów przebiega analogicznie do dodawania, z tą różnicą, że zmieniamy znaki odjemnika.
Example: P(x) - Q(x) = 2x² - 5 - (x² - 2x + 6) = x² + 2x - 11.
Mnożenie wielomianów jest bardziej złożoną operacją, wymagającą zastosowania rozdzielności mnożenia względem dodawania.
Example: P(x) · Q(x) = (2x² - 5)(x² + 2x + 6) = 2x⁴ + 4x³ + 12x² - 5x² - 10x - 30 = 2x⁴ + 4x³ + 7x² - 10x - 30.
Highlight: Przy mnożeniu wielomianów kluczowe jest prawidłowe łączenie wyrazów podobnych po wykonaniu wszystkich iloczynów cząstkowych.
Rozkład wielomianu na czynniki to proces przedstawienia wielomianu w postaci iloczynowej. Metoda zależy od liczby i rodzaju miejsc zerowych wielomianu.
Definition: Miejsce zerowe wielomianu to wartość zmiennej x, dla której wielomian przyjmuje wartość zero.
Dla wielomianu kwadratowego ax² + bx + c:
- Jeśli Δ < 0, wielomian nie ma miejsc zerowych i nie ma postaci iloczynowej.
- Jeśli Δ = 0, wielomian ma jedno miejsce zerowe x₀ i postać W(x) = a(x - x₀)².
- Jeśli Δ > 0, wielomian ma dwa miejsca zerowe x₁ i x₂, a jego postać iloczynowa to W(x) = a(x - x₁)(x - x₂).
Vocabulary: Δ (delta) - wyróżnik trójmianu kwadratowego, obliczany ze wzoru Δ = b² - 4ac.
