Przedmioty

Knowunity AI

Więcej

Dla firm

Kariera

Program dla Twórców

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Wyrażenia wymierne i pierwiastki

funkcja wymierna

MatematykaMatematyka625 wyświetleń·Zaktualizowano 22 cze 2026·6 strony

Funkcja Homograficzna – Wyjaśnienie i Zastosowania

P
Paulina Paulina@paulinapaulina_urhi

Funkcja homograficzna to jeden z najważniejszych typów funkcji matematycznych, który...

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
1 / 6
1
of 6
# Funkcja homograficzna Funkcja homograficosa: f(x)=x;x≠0 funkcja linicea ax+b Lunkcja kwadratowa: ax+bx+c >asymptota pozioma asymptota

Podstawowa funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna w najprostszej postaci to f(x)=axf(x) = \frac{a}{x}, gdzie x≠0x \neq 0. To znacznie prostsze niż funkcje kwadratowe, ale ma swoje charakterystyczne cechy.

Najważniejsze właściwości takiej funkcji to asymptoty - linie, do których wykres się zbliża, ale ich nie przecina. Asymptota pionowa to oś OY x=0x = 0, a asymptota pozioma to oś OX y=0y = 0.

Dla przykładu f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} dziedziną jest R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\} (wszystkie liczby rzeczywiste oprócz zera), a zbiorem wartości też R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}. Funkcja ta nie ma miejsc zerowych i jest malejąca na całej dziedzinie.

Pamiętaj: Funkcja homograficzna nigdy nie przechodzi przez punkt (0,0)!

2
of 6
# Funkcja homograficzna Funkcja homograficosa: f(x)=x;x≠0 funkcja linicea ax+b Lunkcja kwadratowa: ax+bx+c >asymptota pozioma asymptota

Przesuwanie wykresu funkcji

Wykres funkcji można przesuwać używając wzoru g(x)=f(x−p)+qg(x) = f(x-p) + q, gdzie wektor przesunięcia to [p,q][p, q]. Brzmi skomplikowanie, ale to naprawdę proste!

Jeśli masz g(x)=2x−2g(x) = \frac{2}{x-2}, to przesuwasz wykres o wektor [2,0][2, 0] - czyli 2 jednostki w prawo. Asymptota pionowa przesuwa się razem z wykresem na x = 2.

Przesunięcie o wektor [0,−3][0, -3] daje g(x)=2x−3g(x) = \frac{2}{x} - 3. Teraz asymptota pozioma znajduje się na y = -3 zamiast na y = 0.

Wskazówka: Współrzędne asymptot zawsze pokazują, o ile przesunąłeś wykres!

3
of 6
# Funkcja homograficzna Funkcja homograficosa: f(x)=x;x≠0 funkcja linicea ax+b Lunkcja kwadratowa: ax+bx+c >asymptota pozioma asymptota

Postać kanoniczna i ogólna definicja

Postać kanoniczna funkcji homograficznej to g(x)=ax−p+qg(x) = \frac{a}{x-p} + q. Tutaj od razu widzisz asymptoty: pionową x = p i poziomą y = q.

Gdy przesuwasz wykres y=axy = \frac{a}{x} o wektor [p,q][p, q], otrzymujesz funkcję y=ax−p+qy = \frac{a}{x-p} + q. Dziedziną jest R∖{p}\mathbb{R} \setminus \{p\}, a zbiorem wartości R∖{q}\mathbb{R} \setminus \{q\}.

Funkcją homograficzną w pełnej postaci nazywamy y=ax+bcx+dy = \frac{ax+b}{cx+d}, gdzie c≠0c \neq 0 i ad−bc≠0ad-bc \neq 0. Te warunki zapewniają, że funkcja rzeczywiście jest homograficzna.

Ważne: Zawsze sprawdzaj warunki dla współczynników - bez nich funkcja może nie istnieć!

4
of 6
# Funkcja homograficzna Funkcja homograficosa: f(x)=x;x≠0 funkcja linicea ax+b Lunkcja kwadratowa: ax+bx+c >asymptota pozioma asymptota

Rozwiązywanie zadań praktycznych

Zobaczmy typowe zadanie: wykres y=3xy = \frac{3}{x} przesunięto o 2 jednostki w górę. Otrzymujesz f(x)=3x+2f(x) = \frac{3}{x} + 2.

Zbiór wartości to R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\}, bo asymptota pozioma znajduje się na y = 2. Żeby znaleźć miejsce zerowe, rozwiązujesz równanie 0=3x+20 = \frac{3}{x} + 2.

Przekształcasz: −2=3x-2 = \frac{3}{x}, więc x=−32x = -\frac{3}{2}. Dla wartości funkcji równej 5 masz 5=3x+25 = \frac{3}{x} + 2, skąd x=1x = 1.

Trick: Miejsca zerowe funkcji homograficznej zawsze znajdziesz, przyrównując licznik do zera!

5
of 6
# Funkcja homograficzna Funkcja homograficosa: f(x)=x;x≠0 funkcja linicea ax+b Lunkcja kwadratowa: ax+bx+c >asymptota pozioma asymptota

Analiza wykresów i przekształcenia

Jeśli wykres y=4xy = \frac{4}{x} przesuniesz o 3 jednostki w lewo, otrzymasz f(x)=4x+3f(x) = \frac{4}{x+3}. Dziedzina to R∖{−3}\mathbb{R} \setminus \{-3\}, bo asymptota pionowa jest na x = -3.

Funkcja jest malejąca na przedziałach (−∞,−3)(-∞, -3) i (−3,∞)(-3, ∞). Punkt przecięcia z osią OY znajdziesz, podstawiając x = 0: otrzymujesz (0,43)(0, \frac{4}{3}).

Złożone przekształcenia robisz krok po kroku. Przykład: y=4xy = \frac{4}{x} → prawo o 3 → dół o 1 daje g(x)=4x−3−1=7−xx−3g(x) = \frac{4}{x-3} - 1 = \frac{7-x}{x-3}.

Metodyka: Zawsze rysuj asymptoty jako pierwsze - to szkielet twojego wykresu!

6
of 6
# Funkcja homograficzna Funkcja homograficosa: f(x)=x;x≠0 funkcja linicea ax+b Lunkcja kwadratowa: ax+bx+c >asymptota pozioma asymptota

Wyznaczanie parametrów z wzoru

Najtrудniejsze zadania wymagają wyznaczenia współczynnika a i wektora przesunięcia z danego wzoru funkcji. Kluczowe są przekształcenia algebraiczne.

Dla f(x)=3x+5f(x) = \frac{3}{x+5} od razu widzisz: a=3a = 3 i u⃗=[−5,0]\vec{u} = [-5, 0]. Gorzej z f(x)=3x−5x−2f(x) = \frac{3x-5}{x-2} - musisz wydzielić część całkowitą.

Przekształcasz: 3x−5x−2=3(x−2)+1x−2=3+1x−2\frac{3x-5}{x-2} = \frac{3(x-2)+1}{x-2} = 3 + \frac{1}{x-2}. Teraz widzisz: a=1a = 1, u⃗=[2,3]\vec{u} = [2, 3].

Pro tip: Zawsze wydzielaj część całkowitą przez dzielenie wielomianów - to klucz do sukcesu!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Więcej

Najpopularniejsze notatki: funkcja wymierna

4
MatematykaMatematyka

Analiza Funkcji Wymiernej

Zrozumienie funkcji wymiernej: definicja, przykłady oraz analiza dziedziny. Dowiedz się, jak określić, kiedy mianownik nie może być zerem oraz jak rysować wykresy funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

34,11490
MatematykaMatematyka

Funkcje Wymierne i Homograficzne

Zrozumienie funkcji homograficznej i wymiernej, w tym ich dziedziny, wykresów oraz rozwiązywania równań i nierówności. Obejmuje także średnie arytmetyczne, geometryczne i kwadratowe. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

38,207148
MatematykaMatematyka

Funkcje Wymierne: Mnożenie i Dzielenie

Zrozumienie funkcji wymiernych poprzez praktyczne przykłady mnożenia i dzielenia ułamków. Dowiedz się, jak obliczać dziedzinę oraz stosować wzory skróconego mnożenia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

41,32522
MatematykaMatematyka

Właściwości Funkcji Wymiernej

Zgłębiaj właściwości funkcji wymiernej, w tym ich wykresy i charakterystyki. Dowiedz się, jak funkcje wymierne tworzą hiperbolę oraz jakie są ich kluczowe cechy. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: prezentacja.

43,27014

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,8910
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.

53,3800
MatematykaMatematyka

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

860,2875,678
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,7162
O
MatematykaMatematyka

Obliczanie pola wielokątów

Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.

64,3590
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.

63,6460
MatematykaMatematyka

Wzory Matematyczne na Egzamin

Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.

855,3825,840
P
MatematykaMatematyka

Podstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych

Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.

73,6230
MatematykaMatematyka

Operacje na Pierwiastkach

Zrozumienie pierwiastków: definicje, wzory oraz metody obliczania. Dowiedz się, jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić pierwiastki, a także jak wyciągać czynniki przed pierwiastek. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

841,6702,536

Najpopularniejsze notatki

9
Język polskiJęzyk polski

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.

1181,2517,271
W
Język polskiJęzyk polski

Wprowadzenie do lektury Zemsta

Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.

85,9780
B
BiologiaBiologia

biologia- ryby klasa 6

Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️

64,8014
K
TechnikaTechnika

Karta rowerowa

UwU

45,4033
K
BiologiaBiologia

Korzeń- organ podziemny rośliny

prawie wszystko w temacie "korzeń- organ podziemny rośliny "

54,4002
Język polskiJęzyk polski

Polski e8

Egzamin ósmoklasisty

88,591374
Język polskiJęzyk polski

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

4130,4606,097
Język polskiJęzyk polski

Analiza Lalki Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca kompozycję, problematykę, głównych bohaterów oraz kontekst społeczny Warszawy lat 70. i 80. XIX wieku. Zawiera omówienie miłości Wokulskiego do Izabeli Łęckiej, różnorodności narracji oraz otwartości zakończenia. Idealna dla studentów literatury i miłośników polskiej prozy.

4133,9274,302
Język polskiJęzyk polski

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

1183,7027,869

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS

Matematyka

Wyrażenia wymierne i pierwiastki

funkcja wymierna

MatematykaMatematyka625 wyświetleń·Zaktualizowano 22 cze 2026·6 strony

Funkcja Homograficzna – Wyjaśnienie i Zastosowania

P
Paulina Paulina@paulinapaulina_urhi

Funkcja homograficzna to jeden z najważniejszych typów funkcji matematycznych, który możesz spotkać na maturze. Poznasz jej wzór, właściwości oraz sposób rysowania wykresów przez przesuwanie podstawowej funkcji $y = \frac{a}{x}$.

1
of 6
# Funkcja homograficzna Funkcja homograficosa: f(x)=x;x≠0 funkcja linicea ax+b Lunkcja kwadratowa: ax+bx+c >asymptota pozioma asymptota

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowa funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna w najprostszej postaci to f(x)=axf(x) = \frac{a}{x}, gdzie x≠0x \neq 0. To znacznie prostsze niż funkcje kwadratowe, ale ma swoje charakterystyczne cechy.

Najważniejsze właściwości takiej funkcji to asymptoty - linie, do których wykres się zbliża, ale ich nie przecina. Asymptota pionowa to oś OY x=0x = 0, a asymptota pozioma to oś OX y=0y = 0.

Dla przykładu f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} dziedziną jest R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\} (wszystkie liczby rzeczywiste oprócz zera), a zbiorem wartości też R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}. Funkcja ta nie ma miejsc zerowych i jest malejąca na całej dziedzinie.

Pamiętaj: Funkcja homograficzna nigdy nie przechodzi przez punkt (0,0)!

2
of 6
# Funkcja homograficzna Funkcja homograficosa: f(x)=x;x≠0 funkcja linicea ax+b Lunkcja kwadratowa: ax+bx+c >asymptota pozioma asymptota

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Przesuwanie wykresu funkcji

Wykres funkcji można przesuwać używając wzoru g(x)=f(x−p)+qg(x) = f(x-p) + q, gdzie wektor przesunięcia to [p,q][p, q]. Brzmi skomplikowanie, ale to naprawdę proste!

Jeśli masz g(x)=2x−2g(x) = \frac{2}{x-2}, to przesuwasz wykres o wektor [2,0][2, 0] - czyli 2 jednostki w prawo. Asymptota pionowa przesuwa się razem z wykresem na x = 2.

Przesunięcie o wektor [0,−3][0, -3] daje g(x)=2x−3g(x) = \frac{2}{x} - 3. Teraz asymptota pozioma znajduje się na y = -3 zamiast na y = 0.

Wskazówka: Współrzędne asymptot zawsze pokazują, o ile przesunąłeś wykres!

3
of 6
# Funkcja homograficzna Funkcja homograficosa: f(x)=x;x≠0 funkcja linicea ax+b Lunkcja kwadratowa: ax+bx+c >asymptota pozioma asymptota

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Postać kanoniczna i ogólna definicja

Postać kanoniczna funkcji homograficznej to g(x)=ax−p+qg(x) = \frac{a}{x-p} + q. Tutaj od razu widzisz asymptoty: pionową x = p i poziomą y = q.

Gdy przesuwasz wykres y=axy = \frac{a}{x} o wektor [p,q][p, q], otrzymujesz funkcję y=ax−p+qy = \frac{a}{x-p} + q. Dziedziną jest R∖{p}\mathbb{R} \setminus \{p\}, a zbiorem wartości R∖{q}\mathbb{R} \setminus \{q\}.

Funkcją homograficzną w pełnej postaci nazywamy y=ax+bcx+dy = \frac{ax+b}{cx+d}, gdzie c≠0c \neq 0 i ad−bc≠0ad-bc \neq 0. Te warunki zapewniają, że funkcja rzeczywiście jest homograficzna.

Ważne: Zawsze sprawdzaj warunki dla współczynników - bez nich funkcja może nie istnieć!

4
of 6
# Funkcja homograficzna Funkcja homograficosa: f(x)=x;x≠0 funkcja linicea ax+b Lunkcja kwadratowa: ax+bx+c >asymptota pozioma asymptota

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie zadań praktycznych

Zobaczmy typowe zadanie: wykres y=3xy = \frac{3}{x} przesunięto o 2 jednostki w górę. Otrzymujesz f(x)=3x+2f(x) = \frac{3}{x} + 2.

Zbiór wartości to R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\}, bo asymptota pozioma znajduje się na y = 2. Żeby znaleźć miejsce zerowe, rozwiązujesz równanie 0=3x+20 = \frac{3}{x} + 2.

Przekształcasz: −2=3x-2 = \frac{3}{x}, więc x=−32x = -\frac{3}{2}. Dla wartości funkcji równej 5 masz 5=3x+25 = \frac{3}{x} + 2, skąd x=1x = 1.

Trick: Miejsca zerowe funkcji homograficznej zawsze znajdziesz, przyrównując licznik do zera!

5
of 6
# Funkcja homograficzna Funkcja homograficosa: f(x)=x;x≠0 funkcja linicea ax+b Lunkcja kwadratowa: ax+bx+c >asymptota pozioma asymptota

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Analiza wykresów i przekształcenia

Jeśli wykres y=4xy = \frac{4}{x} przesuniesz o 3 jednostki w lewo, otrzymasz f(x)=4x+3f(x) = \frac{4}{x+3}. Dziedzina to R∖{−3}\mathbb{R} \setminus \{-3\}, bo asymptota pionowa jest na x = -3.

Funkcja jest malejąca na przedziałach (−∞,−3)(-∞, -3) i (−3,∞)(-3, ∞). Punkt przecięcia z osią OY znajdziesz, podstawiając x = 0: otrzymujesz (0,43)(0, \frac{4}{3}).

Złożone przekształcenia robisz krok po kroku. Przykład: y=4xy = \frac{4}{x} → prawo o 3 → dół o 1 daje g(x)=4x−3−1=7−xx−3g(x) = \frac{4}{x-3} - 1 = \frac{7-x}{x-3}.

Metodyka: Zawsze rysuj asymptoty jako pierwsze - to szkielet twojego wykresu!

6
of 6
# Funkcja homograficzna Funkcja homograficosa: f(x)=x;x≠0 funkcja linicea ax+b Lunkcja kwadratowa: ax+bx+c >asymptota pozioma asymptota

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wyznaczanie parametrów z wzoru

Najtrудniejsze zadania wymagają wyznaczenia współczynnika a i wektora przesunięcia z danego wzoru funkcji. Kluczowe są przekształcenia algebraiczne.

Dla f(x)=3x+5f(x) = \frac{3}{x+5} od razu widzisz: a=3a = 3 i u⃗=[−5,0]\vec{u} = [-5, 0]. Gorzej z f(x)=3x−5x−2f(x) = \frac{3x-5}{x-2} - musisz wydzielić część całkowitą.

Przekształcasz: 3x−5x−2=3(x−2)+1x−2=3+1x−2\frac{3x-5}{x-2} = \frac{3(x-2)+1}{x-2} = 3 + \frac{1}{x-2}. Teraz widzisz: a=1a = 1, u⃗=[2,3]\vec{u} = [2, 3].

Pro tip: Zawsze wydzielaj część całkowitą przez dzielenie wielomianów - to klucz do sukcesu!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Więcej

Najpopularniejsze notatki: funkcja wymierna

4
MatematykaMatematyka

Analiza Funkcji Wymiernej

Zrozumienie funkcji wymiernej: definicja, przykłady oraz analiza dziedziny. Dowiedz się, jak określić, kiedy mianownik nie może być zerem oraz jak rysować wykresy funkcji. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

34,11490
MatematykaMatematyka

Funkcje Wymierne i Homograficzne

Zrozumienie funkcji homograficznej i wymiernej, w tym ich dziedziny, wykresów oraz rozwiązywania równań i nierówności. Obejmuje także średnie arytmetyczne, geometryczne i kwadratowe. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

38,207148
MatematykaMatematyka

Funkcje Wymierne: Mnożenie i Dzielenie

Zrozumienie funkcji wymiernych poprzez praktyczne przykłady mnożenia i dzielenia ułamków. Dowiedz się, jak obliczać dziedzinę oraz stosować wzory skróconego mnożenia. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

41,32522
MatematykaMatematyka

Właściwości Funkcji Wymiernej

Zgłębiaj właściwości funkcji wymiernej, w tym ich wykresy i charakterystyki. Dowiedz się, jak funkcje wymierne tworzą hiperbolę oraz jakie są ich kluczowe cechy. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Typ: prezentacja.

43,27014

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,8910
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.

53,3800
MatematykaMatematyka

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

860,2875,678
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,7162
O
MatematykaMatematyka

Obliczanie pola wielokątów

Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.

64,3590
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.

63,6460
MatematykaMatematyka

Wzory Matematyczne na Egzamin

Kompleksowe wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty, obejmujące objętości brył, pola powierzchni, kąty, działania na potęgach oraz równania. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Zawiera wzory dla ostrosłupów, graniastosłupów, trójkątów i więcej.

855,3825,840
P
MatematykaMatematyka

Podstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych

Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.

73,6230
MatematykaMatematyka

Operacje na Pierwiastkach

Zrozumienie pierwiastków: definicje, wzory oraz metody obliczania. Dowiedz się, jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić pierwiastki, a także jak wyciągać czynniki przed pierwiastek. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

841,6702,536

Najpopularniejsze notatki

9
Język polskiJęzyk polski

Przedwiośnie: Analiza Tematów

Zanurz się w analizę powieści 'Przedwiośnie' Stefana Żeromskiego. Odkryj kluczowe motywy, takie jak dojrzewanie, rewolucja i podróż, oraz ich znaczenie w kontekście niepodległej Polski. Notatka zawiera szczegółowe omówienie bohaterów, narracji oraz symboliki, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowania do egzaminów.

1181,2517,271
W
Język polskiJęzyk polski

Wprowadzenie do lektury Zemsta

Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.

85,9780
B
BiologiaBiologia

biologia- ryby klasa 6

Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️

64,8014
K
TechnikaTechnika

Karta rowerowa

UwU

45,4033
K
BiologiaBiologia

Korzeń- organ podziemny rośliny

prawie wszystko w temacie "korzeń- organ podziemny rośliny "

54,4002
Język polskiJęzyk polski

Polski e8

Egzamin ósmoklasisty

88,591374
Język polskiJęzyk polski

Analiza 'Lalki' Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca gatunek, czas i miejsce akcji, kluczowych bohaterów, oraz motywy literackie. Zawiera omówienie postaci Stanisława Wokulskiego jako romantyka i pozytywisty oraz realistyczny obraz Warszawy i Paryża. Idealne dla studentów literatury polskiej.

4130,4606,097
Język polskiJęzyk polski

Analiza Lalki Prusa

Szczegółowa analiza powieści 'Lalka' Bolesława Prusa, obejmująca kompozycję, problematykę, głównych bohaterów oraz kontekst społeczny Warszawy lat 70. i 80. XIX wieku. Zawiera omówienie miłości Wokulskiego do Izabeli Łęckiej, różnorodności narracji oraz otwartości zakończenia. Idealna dla studentów literatury i miłośników polskiej prozy.

4133,9274,302
Język polskiJęzyk polski

Wesele: Analiza Symboli

Zanurz się w głęboką analizę dramatu 'Wesele' Stanisława Wyspiańskiego. Odkryj kluczowe symbole, takie jak chochoł i złoty róg, oraz ich znaczenie w kontekście polskiego społeczeństwa przełomu XIX i XX wieku. Notatka zawiera omówienie genezy, kompozycji, tematów oraz portretu społecznego, co czyni ją idealnym materiałem do nauki i przygotowań do egzaminów.

1183,7027,869

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS