Matematyka

Wyrażenia wymierne i pierwiastki

funkcja wymierna

Matematyka693Zaktualizowano 2 paź 20266 strony

Funkcja Homograficzna – Wyjaśnienie i Zastosowania

Zgłoś

Paulina Paulina@paulinapaulina_urhi

Dodaj do źródeł Google

Funkcja homograficzna to jeden z najważniejszych typów funkcji matematycznych, który możesz spotkać na maturze. Poznasz jej wzór, właściwości oraz sposób rysowania wykresów przez przesuwanie podstawowej funkcji $y = \frac{a}{x}$.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę.
To nic nie kosztuje!

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowa funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna w najprostszej postaci to $f(x) = \frac{a}{x}$ , gdzie $x \neq 0$ . To znacznie prostsze niż funkcje kwadratowe, ale ma swoje charakterystyczne cechy.

Najważniejsze właściwości takiej funkcji to asymptoty - linie, do których wykres się zbliża, ale ich nie przecina. Asymptota pionowa to oś OY $x = 0$ , a asymptota pozioma to oś OX $y = 0$ .

Dla przykładu $f(x) = \frac{2}{x}$ dziedziną jest $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ (wszystkie liczby rzeczywiste oprócz zera), a zbiorem wartości też $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ . Funkcja ta nie ma miejsc zerowych i jest malejąca na całej dziedzinie.

Pamiętaj: Funkcja homograficzna nigdy nie przechodzi przez punkt (0,0)!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę.
To nic nie kosztuje!

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Przesuwanie wykresu funkcji

Wykres funkcji można przesuwać używając wzoru $g(x) = f(x-p) + q$ , gdzie wektor przesunięcia to $[p, q]$ . Brzmi skomplikowanie, ale to naprawdę proste!

Jeśli masz $g(x) = \frac{2}{x-2}$ , to przesuwasz wykres o wektor $[2, 0]$ - czyli 2 jednostki w prawo. Asymptota pionowa przesuwa się razem z wykresem na x = 2.

Przesunięcie o wektor $[0, -3]$ daje $g(x) = \frac{2}{x} - 3$ . Teraz asymptota pozioma znajduje się na y = -3 zamiast na y = 0.

Wskazówka: Współrzędne asymptot zawsze pokazują, o ile przesunąłeś wykres!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę.
To nic nie kosztuje!

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Postać kanoniczna i ogólna definicja

Postać kanoniczna funkcji homograficznej to $g(x) = \frac{a}{x-p} + q$ . Tutaj od razu widzisz asymptoty: pionową x = p i poziomą y = q.

Gdy przesuwasz wykres $y = \frac{a}{x}$ o wektor $[p, q]$ , otrzymujesz funkcję $y = \frac{a}{x-p} + q$ . Dziedziną jest $\mathbb{R} \setminus \{p\}$ , a zbiorem wartości $\mathbb{R} \setminus \{q\}$ .

Funkcją homograficzną w pełnej postaci nazywamy $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ , gdzie $c \neq 0$ i $ad-bc \neq 0$ . Te warunki zapewniają, że funkcja rzeczywiście jest homograficzna.

Ważne: Zawsze sprawdzaj warunki dla współczynników - bez nich funkcja może nie istnieć!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę.
To nic nie kosztuje!

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rozwiązywanie zadań praktycznych

Zobaczmy typowe zadanie: wykres $y = \frac{3}{x}$ przesunięto o 2 jednostki w górę. Otrzymujesz $f(x) = \frac{3}{x} + 2$ .

Zbiór wartości to $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ , bo asymptota pozioma znajduje się na y = 2. Żeby znaleźć miejsce zerowe, rozwiązujesz równanie $0 = \frac{3}{x} + 2$ .

Przekształcasz: $-2 = \frac{3}{x}$ , więc $x = -\frac{3}{2}$ . Dla wartości funkcji równej 5 masz $5 = \frac{3}{x} + 2$ , skąd $x = 1$ .

Trick: Miejsca zerowe funkcji homograficznej zawsze znajdziesz, przyrównując licznik do zera!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę.
To nic nie kosztuje!

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Analiza wykresów i przekształcenia

Jeśli wykres $y = \frac{4}{x}$ przesuniesz o 3 jednostki w lewo, otrzymasz $f(x) = \frac{4}{x+3}$ . Dziedzina to $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$ , bo asymptota pionowa jest na x = -3.

Funkcja jest malejąca na przedziałach $(-∞, -3)$ i $(-3, ∞)$ . Punkt przecięcia z osią OY znajdziesz, podstawiając x = 0: otrzymujesz $(0, \frac{4}{3})$ .

Złożone przekształcenia robisz krok po kroku. Przykład: $y = \frac{4}{x}$ → prawo o 3 → dół o 1 daje $g(x) = \frac{4}{x-3} - 1 = \frac{7-x}{x-3}$ .

Metodyka: Zawsze rysuj asymptoty jako pierwsze - to szkielet twojego wykresu!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę.
To nic nie kosztuje!

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Wyznaczanie parametrów z wzoru

Najtrудniejsze zadania wymagają wyznaczenia współczynnika a i wektora przesunięcia z danego wzoru funkcji. Kluczowe są przekształcenia algebraiczne.

Dla $f(x) = \frac{3}{x+5}$ od razu widzisz: $a = 3$ i $\vec{u} = [-5, 0]$ . Gorzej z $f(x) = \frac{3x-5}{x-2}$ - musisz wydzielić część całkowitą.

Przekształcasz: $\frac{3x-5}{x-2} = \frac{3(x-2)+1}{x-2} = 3 + \frac{1}{x-2}$ . Teraz widzisz: $a = 1$ , $\vec{u} = [2, 3]$ .

Pro tip: Zawsze wydzielaj część całkowitą przez dzielenie wielomianów - to klucz do sukcesu!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Funkcja Homograficzna – Wyjaśnienie i Zastosowania

Podstawowa funkcja homograficzna

Przesuwanie wykresu funkcji

Postać kanoniczna i ogólna definicja

Rozwiązywanie zadań praktycznych

Analiza wykresów i przekształcenia

Wyznaczanie parametrów z wzoru

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Funkcje Wymierne: Mnożenie i Dzielenie

Analiza Funkcji Wymiernej

Funkcje Wymierne i Homograficzne

Właściwości Funkcji Wymiernej

Rodzaje Przedziałów Liczbowych

Rodzaje Przedziałów Liczbowych

Najpopularniejsze notatki: funkcja wymierna

Analiza Funkcji Wymiernej

Funkcje Wymierne i Homograficzne

Funkcje Wymierne: Mnożenie i Dzielenie

Najpopularniejsze notatki: Matematyka

Analiza Funkcji Kwadratowej

Nwd i nww

Cechy Podzielności Liczb

Funkcja liniowa

Operacje na Pierwiastkach

Nierówności i Równania Kwadratowe

Ułamki Dziesiętne: Operacje

Liczby i działania

Podstawy Pierwiastków

Najpopularniejsze notatki

Mity Greckie: Kluczowe Opowieści

Inny Świat: Wspomnienia z Jercewa

Mity Greckie i Bogowie

Antyk / Starożytność

Dżuma: Tematy i Motywy

Czasy w Języku Angielskim

Antyk - notatka

Czasy w języku angielskim na egzamin ósmoklasisty.

Edelman i Powstanie w Getcie

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas, pokochasz też i Ty.