Matematyka

Wyrażenia wymierne i pierwiastki

funkcja wymierna

372

•

28 lis 2025

•

6 strony

Funkcja Homograficzna – Wyjaśnienie i Zastosowania

Paulina Paulina

@paulinapaulina_urhi

Funkcja homograficzna to jeden z najważniejszych typów funkcji matematycznych, który... Pokaż więcej

1 / 6

$# Funkcja homograficzna Funkcja homograficzna: $f(x) = \frac{a}{x}, x \neq 0$ Funkcja liniowa: $ax + b$ Funkcja kwadratowa: $ax^2 + bx + c$$

Podstawowa funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna w najprostszej postaci to $f(x) = \frac{a}{x}$ , gdzie $x \neq 0$ . To znacznie prostsze niż funkcje kwadratowe, ale ma swoje charakterystyczne cechy.

Najważniejsze właściwości takiej funkcji to asymptoty - linie, do których wykres się zbliża, ale ich nie przecina. Asymptota pionowa to oś OY $x = 0$ , a asymptota pozioma to oś OX $y = 0$ .

Dla przykładu $f(x) = \frac{2}{x}$ dziedziną jest $\mathbb{R} \setminus {0}$ (wszystkie liczby rzeczywiste oprócz zera), a zbiorem wartości też $\mathbb{R} \setminus {0}$ . Funkcja ta nie ma miejsc zerowych i jest malejąca na całej dziedzinie.

Pamiętaj: Funkcja homograficzna nigdy nie przechodzi przez punkt (0,0)!

$# Funkcja homograficzna Funkcja homograficzna: $f(x) = \frac{a}{x}, x \neq 0$ Funkcja liniowa: $ax + b$ Funkcja kwadratowa: $ax^2 + bx + c$$

Przesuwanie wykresu funkcji

Wykres funkcji można przesuwać używając wzoru $g(x) = f(x-p) + q$ , gdzie wektor przesunięcia to $[p, q]$ . Brzmi skomplikowanie, ale to naprawdę proste!

Jeśli masz $g(x) = \frac{2}{x-2}$ , to przesuwasz wykres o wektor $[2, 0]$ - czyli 2 jednostki w prawo. Asymptota pionowa przesuwa się razem z wykresem na x = 2.

Przesunięcie o wektor $[0, -3]$ daje $g(x) = \frac{2}{x} - 3$ . Teraz asymptota pozioma znajduje się na y = -3 zamiast na y = 0.

Wskazówka: Współrzędne asymptot zawsze pokazują, o ile przesunąłeś wykres!

$# Funkcja homograficzna Funkcja homograficzna: $f(x) = \frac{a}{x}, x \neq 0$ Funkcja liniowa: $ax + b$ Funkcja kwadratowa: $ax^2 + bx + c$$

Postać kanoniczna i ogólna definicja

Postać kanoniczna funkcji homograficznej to $g(x) = \frac{a}{x-p} + q$ . Tutaj od razu widzisz asymptoty: pionową x = p i poziomą y = q.

Gdy przesuwasz wykres $y = \frac{a}{x}$ o wektor $[p, q]$ , otrzymujesz funkcję $y = \frac{a}{x-p} + q$ . Dziedziną jest $\mathbb{R} \setminus {p}$ , a zbiorem wartości $\mathbb{R} \setminus {q}$ .

Funkcją homograficzną w pełnej postaci nazywamy $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ , gdzie $c \neq 0$ i $ad-bc \neq 0$ . Te warunki zapewniają, że funkcja rzeczywiście jest homograficzna.

Ważne: Zawsze sprawdzaj warunki dla współczynników - bez nich funkcja może nie istnieć!

$# Funkcja homograficzna Funkcja homograficzna: $f(x) = \frac{a}{x}, x \neq 0$ Funkcja liniowa: $ax + b$ Funkcja kwadratowa: $ax^2 + bx + c$$

Rozwiązywanie zadań praktycznych

Zobaczmy typowe zadanie: wykres $y = \frac{3}{x}$ przesunięto o 2 jednostki w górę. Otrzymujesz $f(x) = \frac{3}{x} + 2$ .

Zbiór wartości to $\mathbb{R} \setminus {2}$ , bo asymptota pozioma znajduje się na y = 2. Żeby znaleźć miejsce zerowe, rozwiązujesz równanie $0 = \frac{3}{x} + 2$ .

Przekształcasz: $-2 = \frac{3}{x}$ , więc $x = -\frac{3}{2}$ . Dla wartości funkcji równej 5 masz $5 = \frac{3}{x} + 2$ , skąd $x = 1$ .

Trick: Miejsca zerowe funkcji homograficznej zawsze znajdziesz, przyrównując licznik do zera!

$# Funkcja homograficzna Funkcja homograficzna: $f(x) = \frac{a}{x}, x \neq 0$ Funkcja liniowa: $ax + b$ Funkcja kwadratowa: $ax^2 + bx + c$$

Analiza wykresów i przekształcenia

Jeśli wykres $y = \frac{4}{x}$ przesuniesz o 3 jednostki w lewo, otrzymasz $f(x) = \frac{4}{x+3}$ . Dziedzina to $\mathbb{R} \setminus {-3}$ , bo asymptota pionowa jest na x = -3.

Funkcja jest malejąca na przedziałach $(-∞, -3)$ i $(-3, ∞)$ . Punkt przecięcia z osią OY znajdziesz, podstawiając x = 0: otrzymujesz $(0, \frac{4}{3})$ .

Złożone przekształcenia robisz krok po kroku. Przykład: $y = \frac{4}{x}$ → prawo o 3 → dół o 1 daje $g(x) = \frac{4}{x-3} - 1 = \frac{7-x}{x-3}$ .

Metodyka: Zawsze rysuj asymptoty jako pierwsze - to szkielet twojego wykresu!

$# Funkcja homograficzna Funkcja homograficzna: $f(x) = \frac{a}{x}, x \neq 0$ Funkcja liniowa: $ax + b$ Funkcja kwadratowa: $ax^2 + bx + c$$

Wyznaczanie parametrów z wzoru

Najtrудniejsze zadania wymagają wyznaczenia współczynnika a i wektora przesunięcia z danego wzoru funkcji. Kluczowe są przekształcenia algebraiczne.

Dla $f(x) = \frac{3}{x+5}$ od razu widzisz: $a = 3$ i $\vec{u} = [-5, 0]$ . Gorzej z $f(x) = \frac{3x-5}{x-2}$ - musisz wydzielić część całkowitą.

Przekształcasz: $\frac{3x-5}{x-2} = \frac{3(x-2)+1}{x-2} = 3 + \frac{1}{x-2}$ . Teraz widzisz: $a = 1$ , $\vec{u} = [2, 3]$ .

Pro tip: Zawsze wydzielaj część całkowitą przez dzielenie wielomianów - to klucz do sukcesu!

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Notatki do matury z matematyki cz.1

2009

przesunięcie wykresu funkcji oś OX OY

405

Notatki do matury z matematyki cz. 2

1142

Więcej

Najpopularniejsze notatki: funkcja wymierna

Funkcja wymierna

Notatki z funkcji wymiernej

Funkcja Homograficzna – Wyjaśnienie i Zastosowania

Podstawowa funkcja homograficzna

Przesuwanie wykresu funkcji

Postać kanoniczna i ogólna definicja

Rozwiązywanie zadań praktycznych

Analiza wykresów i przekształcenia

Wyznaczanie parametrów z wzoru

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Notatki do matury z matematyki cz.1

przesunięcie wykresu funkcji oś OX OY

Notatki do matury z matematyki cz. 2

Najpopularniejsze notatki: funkcja wymierna

Funkcja wymierna

Funkcje Wymierne i Homograficzne

Funkcje Wymierne: Mnożenie i Dzielenie

Analiza Funkcji Wymiernej

Właściwości Funkcji Wymiernej

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

Podstawy Logarytmów

Podstawy Logarytmów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Operacje na Pierwiastkach

Procenty

Wzory Graniastosłupów

Analiza Funkcji Kwadratowej

Nierówności i Równania Kwadratowe

Geometria Figur Płaszczyzny

Najpopularniejsze notatki

Wesele Wyspiańskiego

Wesele: Analiza Społeczeństwa

Konflikty w Antygonie

Bohaterowie Zbrodni i Kary

Analiza Ksiąg Biblijnych

Postawy wobec zła w Dżumie

Analiza 'Lalki' Prusa

Wesele: Analiza Symboli

Antyk: Filozofia i Mitologia

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

4.8/5

Funkcja Homograficzna – Wyjaśnienie i Zastosowania

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Podstawowa funkcja homograficzna

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Przesuwanie wykresu funkcji

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Postać kanoniczna i ogólna definicja

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Rozwiązywanie zadań praktycznych

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Analiza wykresów i przekształcenia

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Wyznaczanie parametrów z wzoru

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

Matematyka Maturalna: Kluczowe Pojęcia

przesunięcie wykresu funkcji oś OX OY

Matematyka Maturalna: Kluczowe Tematy

Przekształcenia funkcji i wektorów

Przekształcenia Wykresów Funkcji

Transformacje funkcji logarytmicznej

Podobne notatki

Notatki do matury z matematyki cz.1

przesunięcie wykresu funkcji oś OX OY

Notatki do matury z matematyki cz. 2

Najpopularniejsze notatki: funkcja wymierna

Funkcja wymierna

Funkcje Wymierne i Homograficzne

Funkcje Wymierne: Mnożenie i Dzielenie

Analiza Funkcji Wymiernej

Właściwości Funkcji Wymiernej

Najpopularniejsze notatki z Matematyka