Alternatywny zapis:

tylko wtedy, gdy x € (-∞, -2) u (3, +∞0), a do jej wykresu należy punkt A(1, 12). 6=1/2 √1=-C (o=n P= -2 f(x)=3x² +6x + C najm -4 3(x+2)² - 4= 3√x² + 4x +4)-4=3x² +12x +12-4=3x²+12x+8 6=12-c=8. N (3₁-2) R(1)=0 0 = a (1-3)²-2 1 R (3) 20 12 = 30 -2 12 = -60 a = -2. 3.64. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że dla ar- gumentu 3 funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość, równą -2, a jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 1. x1=1 nojm 2 olla x=3 OY w punkcie o rzędnej 30 01: (0,30) 3.57. Wyznacz współczynniki b i c we wzorze funkcji kwadratowej f(x)=x²+ 1/3 ( x − ³ ) ( x + 6) = √ √ √ ( x² + 6 x −8x −54) = (x² −3x-59) = 1x²-x-18. 6==1 (=-18 3.59. Funkcja kwadratowa f(x)=- x²+bx+c ma jedno miejsce zerowe, a jej wykres przecina oś OY w punkcie P(0, -8). Wyznacz wartości współczynników bic. A=0 04: (01-8) c= -8 +bx+c wiedząc, że miejscami zerowymi funkcji f są liczby 9 oraz -6. 6²-4.(-1).(-8)=0 6² +2·(-8)=0 y= −2(x+2)(x-3) = -2[x²-3x+2x-1)= -2x² + 2x +12 6²-16=0 62-42=0 3.61. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że przyjmuje ona wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy x = (-8, -2), a największa wartość tej funkcji jest równa 2- 2². f(x) >0 (6-4) (6+4)=0 ·6=4 62-4 3.63. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt P(-1, 1), zbiorem wartości funkcji f jest przedział (-∞0, 4), a maksymalny przedział, w którym funkcja f jest malejąca, to (-2, +00). f(x) <0 x€ (-0-2) U(3, +∞0) A(1,12) P(-1,1) zwę (-00,47 ft <-2, +00) f(-2)=0 d'a xE(-8₁-²) X₁=8x₂=-2 RGx)= a (x + 5)² +2₂ 0=0(8+5)² +2 1²/ - 2 = 90 a = - 4/1 1=0 (1+2)² +4 1= a +4 -0-=-3 Г62-ча-сто -b 20 =S najw p=-8-2²-5 %0(-8,0) 3 = 4(x + 5)² +24+4 (+²+x+6 24 =-4x² - 4x - 25 +3= -12- x-h= =-4x²-21-4 y = 1/2 (x-3) ² - 2 = ² ( x² - 6x + 5)2 = ²40c бо-час = 1x²-3x +-2= 1x²-3x+2/1/2 1-6=100 (-¾/3 = 4₁ +26+c 3.65. Funkcja kwadratowa f ma tylko jedno miejsce zerowe. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że prosta o równaniu x - 5 = 0 jest osią symetrii wykresu tej funkcji, a punkt A(2, -13) należy do tego wykresu. A=10 A (²₁-13) x-5=0 p=5 x=S= 9 = 27 2=4 p=-2 y=-3(x+2) ²44 = -3[x² + 4x +4€4]= 2-3x²-12x-8 -14 = 0·2² +6·2+6 [(-100) ² = 40c 16=-100 погонас 250=c 16 = -100 b= ~100 ( - ²/2 = 4₁₁ + 2 (-100) + (-1/2 = -160+250 -=4a-20a+c $100 a²=40c. 16=-100 1--16+ +c [c=25a 6 = -10a -=Sa (1=25.604 (-1) ・(C=-5. 6=2 (2²-1) f(x)=-3x²+2x-5 Test sprawdzający do rozdziału 3. 1. Wykresem funkcji kwadratowej y = 2x² - 3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych: A. (2, -3) B. (-3,0) C. (1, -3) (0, -3) 2. Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej y=- o równaniu: Ax 1 x²+3x-8 jest prosta 4 y = - 4x² + 3x -8 = -√√(x² - 12x +24)= x=p D. y = 6 B. y = -6 C. X = 1,5 -3 2--1 = -1 (x²-12x 136-36 +24) = ² 3. Funkcja kwadratowa y = -2x(x - 8) jest rosnąca w przedziale: =((x-6)²-42]= A. (4, +∞0) B. (-00, 8) =-7(+6)² +12 x = 6 f(1) f(2) A. -2x=0 x=0 x-8=0 x = 8 P = ! 4. Wykres funkcji y = 9-2(x + 1)² przecina oś OY w punkcie o rzędnej: A. 11 0(0,4) B. 10 D. 2 8-20+129-2-1² = 5-2=7 5. Wskaż zbiór rozwiązań nierówności (3-x)(x + 2) ≥ x + 2. A. (-∞0, 2) (-2,2) C. (-2, +∞0) 6. Suma miejsc zerowych funkcji y = (x - 1)² - 16 jest równa: B. 8 C.-2 D. -8 0=(x-12-16 16=(x-1)² POWTÓRZENIE jest równy: 1-3√2 2 A. f(x)=x²-x + 6 c. f(x)=x²-9x - 14 B. 1 2 x-1=4 x-s x-10-4 x2-3 5+(-3)=5-332 4= |x-11 7. Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej y = 3(x − 2)(x + 6) jest równa: 748 P=26=2B.-36 C.-30 D.-12 x = 2 (-6,2) x=-6 2 = f(-2) = 3·(-2-1) (-260) = -48 8. Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe: √2 oraz-2 √2. Wówczas iloraz x₁= √₂² X=-2√₂² f(x) = a (1-√3)(1+2√2²) f (25 = a (2-√2)(2+2√₂) =16 W(-1,4) Ⓒ(-∞0, 4) √₂ 4 B. -0+8 ==9 y=Qx²+bx+c y = a (x − p)² +₂ D. (8, +∞0) 11-3 C. 4= -16 no 3√2 4 D. (-2,3) 9. Średnia arytmetyczna miejsc zerowych funkcji kwadratowej y = 2x² + bx + c jest równa 1, a zbiorem wartości tej funkcji jest przedział (10, +∞). Zatem: zwf (17+00) +C = 8 B. b + c = -8 C. b + c = 16 D. b + c = -16 y= 2(x-1)² +10=2(x² - 2x+1)+10= 2x² - 4x +2+10= 2x² - 4x +12 10. Wykres funkcji y = -x²5x przesunięto równolegle wzdłuż osi OX o 2 jed- nostki w prawo i otrzymano wykres funkcji f. Zatem funkcję f opisuje wzór: B. f(x) = -x² - x - 14 D. f(x) = -x² - x - 4. y = -(x-212-5(x-²) = -x²-x+6 11. Wyróżnik funkcji kwadratowej jest równy 16, a współrzędne wierzchołka wy- kresu tej funkcji wynoszą (-1, 4). Wskaż miejsca zerowe tej funkcji. 0=16 A.-114 C. -1 13 a=-1 1 24 8=-3 2(x-0)² p=0 D. 1 i-4 f(₁) = -(x+1)+4 =6 D. (3-x) (x+²) - (x+₂)). 20 (x+²) (3-x-1)70 (2+x) (2x)70 X=-2 x=2 12. Jedynym miejscem zerowym funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c jest liczba 2, a do wykresu tej funkcji należy punkt P(-1, 18). Zatem współczynnik a we wzorze funkcji f jest równy: x₁=2 020 P(-1,18) 18= a (-1-2)² 18-0-9 C.-2 a=2 1 2 [₂] 4=10 w(110) pat 0= -(x + 1)² + 4 (x+1)²=4 1x+1)=2 *+1=2 X-1 xel-2,2) x+12-2 + x-3 RÓWNANIA PROWADZĄCE DO RÓWNAŃ KWADRATOWYCH 3.125. Rozwiąż równanie: a) x¹ = 16x² d) x² + 12x² + 35 = 0 of x 4-16x2²0 / 4x²4 -37x² +8=0 4x² -36x²-x² +3=0 x²(x²-16)=0 4x²(x²-3)-(x²-9)=0 3.126. Rozwiąż równanie: a) x¹ = 5x² - 4 d) x² - 25x² = 0 A) 4x4 +9 + 9x² -3 +2x² = 0. 14x4 +14x²-3 =0 (2x²)² + b) x4 - 10x² + 25 = 0 e) 4x² + 9 = 37x² b) x² + 5x² = 14 e) x²(x² + 8) + 15 = 0 3.127. Rozwiąż równanie: a) 4x²(x² - 2) - 2 = 5(x - 1)(x + 1) c) x²(2x - 1)(2x + 1) = 2 - x²(x² +10) e) (x² - 3)² - 24 = 2x² - 14x² () x² (4x²-1) = 2 - x4 -10x². 4x4x² =2. - x² - 10x² 5x² +9x² -2=0 V +²=t 5² + 9t-2=0 A = 81 -4 (-2)(s)=81+40=121 √5 = 11 t₁ = =-11=-2 <0 t₂ = -3+1=13570 x² = 1 X₁= -√5² V²² 3.128. Rozwiąż równanie: a) x² 18x² = (x²-9) (2x² + 3) + 23 c) (2x² - 1)²-(2x² + 3)² = x² + 56 e) (2x² + 3) (2x² − 3) + 10 = 5x4 c) 4x² - 4x² +1 -4x4-12 x ² - 8 = x² + 56 -x4-16x² - 64 =0 x4 + 16x² +64=0 = 256-4(1)(64) = 256-256=0 to=1=-8 <0 greens c) x² = 3-2x² f) x² + 2x² = 24. c) x² 25x² + 144 = 0 f) 4x² + 3(3x² - 1) = -2x². c) x 9-25x² +144=0. b) (x + 1) = 3 + x −5x4 d) (x² − x + 3)(x² + 2x) = x(6 +x²) f) 3(x² + 3) = (x² - 1)² + + 12x². b) (x² + 6) (7-x²) - 36 = x²+ 12x² d) (x² − 1)² - 4(x² − 1) + 4 = 0 f) (x² − 1)² – (9x² - 4) = 5 - 7x². 3.129. Rozwiąż równanie: a) (x² - 4)² = 9(x² - 4) c) (x² + 2x)² + 9 = 6x² + 12x e) (x²-x)² = 20x² - 20x e) (x²-x)² = 20x² -201 (x²-x)² = 20. (x²-x) (x²-x)²-20(x²-x)=0. (x²-x)(x²-x-20)-0 x²-x=0 x (x-1)=0 v x=1 x=0 x²-x-20-0 ·A= 1+80=81 Vo=9 ·x₁ = 1/² = -4 x2 = 1+3 = S *€ {-4, 0, 1,5}. XE b) (x² + 3)² - 5(x² + 3) + 4 = 0 d) (x² - 8x)² + 5 = 2(x² - 8x) f) (x² + 3x − 1)² + 7(x² + 3x − 1) = f) (x² + 3x − 1)² + 7(x²+3x − 1) = − 12 t = x² + 3x-1. +²+7+ +12=0. A = 72 -4 (12) = 45-48-1 t₁ = -7-1-4 +₂= = 7+ = -3 -4 = x² + 3x - 1 x² + 3x +3=0 4=3-12 <0 V - 3 = x² + 3x -1. x² +3x+2=0 = -12. A=8-8=1 √==1. X₁1 = 3+1 = -1 X₂ = ~3-4 = -2 xét 13. Rozwiąż równania: a) -2(x + 10)² = 0 c) (2x² − 3)(2x² + 3) = 5x² a) x+10=0 d) x=-10 (x2-3-4x2-3x)=0 (2x) [(x²-1)-11-0 x(x-7)(x²-3-4)30 x=0x=3x²-3-4-0 6) 5 (x(x-1)) = 2(x+³) 4 4x²-8=5x² -5(x²-x) = 2x+6 x²-4x+x-400 x(x-4)+(x-6)=0 (x+4)(x-4)=0 15. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej y = 2x² - 4x +5 w przedziale (-2, 3). p=44=1 € <-2,₁37 · f(₁) = 2 −4+5= 3. ((-2)=21 Xmin = 3 de x= 1 f(1) = 11 xnx = 21 dx = -2 a) -1 = 17. Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = ax² - 6x + c jest parabola, której wierz- chołek ma współrzędne (-1,0). a) Oblicz a ic. b) Podaj zbiór wartości funkcji, opisanej wzorem y = 8-f(x). 9 £Gy > ९G) c) Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości większe, niż funkcja g(x) = -2x - 2. w (~1,0). ·6 20 -2=6 0=-3 5x²5x-2x-60 5x²7x-6 A = 48 -106 <0 бриете x·(x−1)_x+3 b) 2 d) (x²-3x)² = 4(x²-3x) 4x4-5x²-9-0 4x4 +4x²-3x²2²-8=0 4x2² (x²+1)-9 (x² + 1) = 0 (x² +1) (4x²-3)=0 x ²+1=0 4₁x²-8=8 x KR 상호를 vs를 flx=x²-6x tc p=-10 -3x²-6x-3-2x-2 -2x²-4-170 8=4 √6=2 4-2 x₁ = x/² - 1/3 × (-1;-1) X2=-1 0 = =3 = (-1)² = 6·44) + c 6) y = 8 -f(x) 10=-3 +6+C -3=C. a) x-p=-6-²2-4 xmax=1 q=1 f(x) = -√√²-2x-3 9(x+3) +4= 19. Funkcja kwadratowa f(x) = ax² + bx + c, gdzie a 0, przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x = (-∞, -6) (-2, +∞o). Największa wartość funkcji f jest równa 1. y=8-(-3x²-6x-3) y=8x3x2+6x+3 y=3x²x6x +11 4=36-32-36 4 = 36=8 2w<8, +∞0) a) Podaj równanie osi symetrii wykresu funkcji f. b) Oblicz a, b, c. c) Napisz w postaci ogólnej wzór funkcji g, której wykres otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji f o 3 jednostki w lewo i 4 jednostki do góry. KG)<0 <> XÉC-00) VG2, tạo). Xà-6 x −-2 W(-4,1) 6) 1 = a (-4+6) (-4+2) 1= -42 a= f(x)= − 4 (x+6) (x+2) = - 4(x² +₁ 14. Rozwiąż nierówność: a) 7-2(x - 2)² ≥ 5x c) 3x (3x-4) < 4(4-3x) a) 7-2 (x² - 4x +4)75× 7-2x² +8-8-5x=0 -2x²+3x-170 2x²-3x+1 ≤0. 2x²2x-x+1 30 2x (x-1)-(x-1) ≤0 (2x-1)(x-1)0 X=1 x=1 6) XE <t < 1, 1) (x²+2x +6x+2) = -√(√x+²+²x-3 6)-1(x-1) ² + 1 = 0 1/(x-1)² = 1/2 9 = (x-1)² Ix-1)=3 x1=3 x=4 16. Dany jest wzór funkcji kwadratowej f(x) = -0,5x² + x + 4. a) Napisz wzór funkcji fw postaci kanonicznej. b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f. c) Rozwiąż graficznie równanie f(x) = x + 2. b) 2x² +9≤6√2x x²+2x 3 2 6 2x²-6√²²x + 3 ≤0 ·(√₂x)² -2·3·√²²x +3² 20 (x-3)²20 82x=3 c) 3x (3x-4) < 4(4-3x) dx = x²+²x < 2x+4 3x (3x-4) ²-4 (3x-4) 3x (3x-4)+(3x-4) <0 (3x-4) (3x-WX0 3x-x²_2x < 6x +12° xả +5x+1230 8=-4720 Spezie α) f(x) = -0,5x² +x+4 = -1/(x² −2x −8)-- 1 (x²–2x+1 -18)= = -4/ ((x - 1) ²-9) = -1/4-1/²+ 3/2 x-1=-3 x=2 c) Jakie miejsca zerowe ma funkcja y=f(-x)+1²? ~) X₁ = -3 x ₂ = 1 04: (0₁-1²) f(x) = a (x+3)(x-1) d) c) t+c=100 t=100-c a) Wyznacz wzór funkcji f w postaci iloczynowej. b) Podaj maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f. X A x= -2 x=2 18. Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe: -3 i 1. Wykres funkcji f prze- cina oś OY w punkcie o rzędnej -1 <x+2 1. p² -3³+1 = -1. ·+^ (-1, +00). D) 0 = { (-x+³) (-x-1) + 1/ ·f√ (-D₁-1) x(x-25 20x²0 VX-₂ 20. Ojciec i córka mają razem 100 lat. 15 lat temu iloczyn liczby lat córki i ojca był równy 1029. Ile lat ma obecnie ojciec, a ile córka? 4₂=100-28 12864 C₂ = -100 +28 -2 8--7/2² = 36 f&t==1/(x-1)² + 2 acon W(1,44) g(x)=x+2 - 1/2 = 0 (0 + 3) (0-1) R(x) = {/ (x+3)(x-1) -12 = -32 = 1/2 (C-15) (100-c-15) = 1029 (C-15) (85-c) = 1029 85cc²-2304 +15=0 -c² + 100c-2304 =0 A= 10000-9216=784 √57=28 0= x² +x -3x+3 0=x²-²x 100-64-36 100-12 200-36=64 100-1₁=100-64=46 100-1₂=100-36=64 (=36 +=64 NAJMNIEJSZA ORAZ NAJWIĘKSZA WARTOŚĆ FUNKCJI KWADRATOWEJ W PRZEDZIALE DOMKNIĘTYM Wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej f(x)=ax² + bx + c, w przedziale domkniętym<m, nznajdujemy w następujący sposób: 1) Wyznaczamy: f(m) i f(n). 2) Obliczamy Xw -> jeśli x, należy do przedziału (m, n), to obliczamy yw i wybieramy wartość największą i wartość najmniejszą spośród liczb f(m), f(n), yw. Są to szukane wielkości. -> jeśli x nie należy do przedziału (m, n), to wybieramy wartość największą i wartość najmniejszą spośród liczb f(m), f(n). 3.76. Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f. Od- czytaj z wykresu najmniejszą oraz największą wartość funkcji fw podanym przedziale. a) (1,4) mm= -6 Ww= -2 b) (3,4) c) (-4,-2) AY -2-1 0 1 2 3 4 5 6 X 12² | nm = 1 hw=5 y=f(x) y = f(x) nm = -2 nw= 0 -8-7-6-5-4-3-2-1 0 X • AY F2 f(0) = 2 f(³) = -1/₁²/²³ +2=4 num=1 do x = 3 ne = 2 do x=0 1<2<3 d) (0,3) mw=5 -3-2-1 y=f(x) -4-3 Now = -3 M²-5 3.78. Nie szkicując wykresu funkcji kwadratowej, oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji fw podanym przedziale, jeśli: a) ƒ(x)=-=¹x²+2, x ≤ (0, 3) f(3)=2 R(1)=5V f(₂)=5 b) f(x)=- 10 5 6X () = -³/(x−1)² +5, x = (1, 2) y=f(x) d) p= 2-8-3 (39) +(-2)=√(-2-2)(-2+8)=√3 (4-46 +4-8)= -2415² wm = -24 de x +(1)=√5 (1-2)(1+8)= -9√3² = 3√5 de xen (p=4<=^> him = 105 do x= 1 (²) = ²8-11² f(1) = 10²3 ww = 11²0²² x ²2. w (3,2) d) f(x)=√3(x-2)(x+8), x € (-2, 1) c) f(x)= x² + 4x+5, x € (-2, −1) e) ƒ(x)=1/(x−5)(x+5), x=(-1, √2) †) ƒ(x)=(x-4)³ +9, x=(1,1). a) f(x) = -√3x²+2 x6<0,3) 6) p= 1 + ( 4 ) = -²2 (²-1)²³+5=-2 +4 +5=-28 45=447235 9=5 f(2)=-2 +5=4& P² 2 ² = 1 = 0 6 (91) , :2 www = 44 dax=2 NN = 5 x=1 4) p²= =+ = -3 4-²-3) = 3 + 4 + 4 +60) + 5 = 3-885= - 4 +(-1)=3-4 +5=13 now =-1α x=-1 Ww=13 do x=-1 3.81. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że w prze- dziale (1, 2) funkcja f przyjmuje największą wartość równą 5, a jej wykresem jest parabola o wierzchołku W(3,2). (1,2). &=5 f(1)74(3)(2) 25 3.77. Naszkicuj wykres funkcji f. Odczytaj z wykresu najmniejszą oraz największą wartość funkcji f w podanym przedziale, jeśli: a) f(x) = -x² + 2x + 5, x = (0, 3) -[x²-2x +1-1-5]=-[(x-1)²-63= aco =(x-²+6W(1,6) c) f(x)=x²-2x+2, x = (2, 4) £[x² - 4x +4] = $(x-2)² = (2.0) new = 2 6) Us e) p= -5/+²₂=0 6 <-1₁√₁²) e=f(0) = 22-25=-6²1 ((~) = 4-24-6 Ww=67de K₂O Fumast 1.R(₁25 5=a(1-3)² +2 S = 4242 ча=3 Q = 2/1 b) f(x) = 1² + (x+1), x=(-1,0) (x+17) ² + 1 ² d) f(x)=-=x(x+2), x=(-4,-2). WC-₁ -² [²+2 = +1-13 = -1 [6₂₁ +₁1) ²-1) = {(x+²) d) c) f(-4) = 86. f(-3) = 105 Nw=2 c) Ww=4 3.79. Funkcja kwadratowa f opisana jest wzorem f(x) = -3x² - 12x + 96. a) Czy funkcja f ma wartość najmniejszą, czy największą? lle ta wartość wynosi i dla jakiego argumentu jest przyjmowana? b) Bez obliczania wartości funkcji uzasadnij, że ƒ(√3)<f(-√3). c) Oblicz największą oraz najmniejszą wartość tej funkcji w przedziale (-4,-3). +) a = -3 <0. A najw. p... -2. k(-2) = −3 • (-25² - 12 (-2) +36 = - 12+24486= 108 6). 11 >-2 V-√3>2. WW TO mw= 2 6) <5,7782 R(5)=3 12 -6 fx da Vš R(√5³) <f(-√5²) new = 36 = 4. ww = 105 da x = -3 3.80. Funkcja kwadratowa f ma następujące własności: f(-3) = 0 oraz f(-1) = f(5) = 3. www = -4 nw=0 a) Czy funkcja kwadratowa ma wartość najmniejszą, czy największą? Dla jakiego argumentu ta wartość jest przyjmowana? b) Podaj najmniejszą i największą wartość funkcji fw przedziale (5,7). R(-3)=0 : R(-1)=f(s) = 3 -32-1 f(-3) < f(-1) f(-2) = 4(4) = 0 U najwR(-1)=f(²) x=-1+5=2 f(x) = f(-3)=0 72 uw 3 3.82. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że funkcja f przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x € (-2, 4), a największa war- tość funkcji f w przedziale (3, 6) jest równa 4. f(x) <0 <=> x (-2,4) ww=4 p=2 x=7 x=5 (-2,4) 2=4 p=-2 f. (6)=4 · 4 = 0₂ (6+2) (6-4) 4= 0·8·2 4 = 160 4x) = ²√(x+2)(x-4) = 4(x-4²2-4)= 14 x² - 4x - NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE Rysunek przedstawia wykres funkcji kwadratowej f(x) = x² - 2x - 3. Na podstawie wykresu tej funkcji umiesz już stwierdzić, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość zero, dla jakich argumentów wartości danej funkcji są dodatnie, a dla jakich ujemne. 0 2 3.130. Rozwiąż nierówność: a) 2x² +1>0 d) x² - 250 Umiejętność odczytywania z wykresu funkcji argumentów, dla których funkcja przyj- muje wartości dodatnie lub ujemne, lub równe zeru, jest bardzo przydatna w roz- wiązywaniu nierówności kwadratowych. 3.131. Rozwiąż nierówność: a)-3-(x-2)(x + 4) >0 d) (2x - 1)(2x - 1) ≥0 -x≥1 3.132. Rozwiąż nierówność: a) (x-3)²-4>0 d) x(x +6) ≥ 6x - 8 d) (5x + 1)² + y=x²-2x-3 3.133. Rozwiąż nierówność: a)-4x² < 1 d) x² <2-x + 4 <0 Nierównością kwadratową z niewiadomą x nazywamy każdą nierówność przyjmującą postać ax² + bx + c > 0 lub ax² + bx + c > 0 lub ax² + bx + c < 0 lub ax² + bx + c < 0, przy czym a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i a#0. Ramiona skierowane w górę wtedy, gdy a>0, zaś w dół wtedy, gdy a<0 3.134. Rozwiąż nierówność: Przypomnijmy: miejsca zerowe funkcji to pierw- sze współrzędne punktów przecięcia wykresu z osią OX, zaznaczonych kolorem czerwonym. Są to liczby -1 i 3. f(x)=0 x² (x=-1vx=3) Powyżej osi OX znajdują się punkty wykresu funk- cji, zaznaczone kolorem zielonym, których druga współrzędna jest dodatnia. f(x) > 0 ⇒ x = (-∞, -1) (3, +∞0) ≤0 e) -x²-4>0 Poniżej osi OX znajdują się punkty wykresu funk- cji, zaznaczone kolorem niebieskim, których dru- ga współrzędna jest ujemna. f(x)<0 <xe(–1,3) b) 9x² + 1 > 6x e) x² +4>x b) 4x² - 2x ≥ 5x² e) x² - 3(x-3) < 9-3x f) 4x(x-1) ≤-1 b)-2x(5-x) ≤0 e) 3x² + 1 > 2,5x c) -3x² + 2x ≥ 0 f) x² > x b) (2x - 1)² > > 16 e) 9x² + 4(3x + 1) >0 c) x < 6x² f) (5-x)(x + 2) ≥ 0 c) (1+x)(3-2x) ≤ 0 c) 28x > 4x² + 49 f) x-7≥ 5x² X²>:-1 XER c) 9 + 25x² 30x f) 9- (2x - 1)² ≥ 0 x² <0 x=0. x² < =4 XED. 2² -8. > XER wywoźnik 3.90. Tor lotu piłki przedstawiony na rysun- ku obok, opisuje wzór: h(x) = -0,25x² + 2x, gdzie x = (0,8). Na jaką maksymalną wyso- kość wzniosła się piłka? pa-6. BADANIE FUNKCJI KWADRATOWEJ - f(4)=-4+8 = 4 - 2/0,15=4 = (0,8) x= P = ZADANIA OPTYMALIZACYJNE -x² +6x+21 2 Em s(u) = 16 +20 +8 = 44m 200 3.92. Pewne ciało w czasie t [s] przebyło drogę S [m], którą opisuje wzór s(t)=t² + 5t+8, gdzie t = (1,5). Oblicz: a) długość drogi przebytej przez to ciało w ciągu czterech sekund b) średnią prędkość ciała. - 11 m/s 6) 44.m 45 3.94. Liczbę 100 przedstaw w postaci sumy takich dwóch liczb, których suma kwadratów jest najmniejsza. x + (100-x) f(x)= x² + (100-x)² = x² +10000 - 100x +x² = =2x²200x+10000 Ay [m] = 50. 100-x= 100-50=50 so iso W y = g(x) 3.96. Liczbę 18 przedstaw w postaci sumy dwóch takich składników, aby suma ich sześcianów była najmniejsza. 8 x [m] 3.98. Krótszy bok prostokąta o wymiarach 5 cm x 8 cm zwiększamy o x cm, a dłuższy bok zmniejszamy o x cm. Sum +x. a) p= 0.6 a) Wyznacz wzór funkcji opisującej pole nowego prostokąta w zależności od x; podaj dziedzinę tej funkcji. b) Dla jakiej długości x pole otrzymanego prostokąta jest największe? Oblicz to pole. 8am-x 6) / x>0 | Xxx = p ² = 2 ² 2 = 1 ½ € (08) (x >0. Pmax= P( ² ) = 42 4 -100 x max = p = = = 2 ² 18 = 64 P ( 23 ) = 312 2 S x>-5 (8-xx0 x 48 x 6 (0,8) : 3.91. Funkcja f(x)=- opisuje wydajność pracy robotnika w zależno- ści od czasu pracy x, w ciągu 8-godzinnego dnia pracy. Robotnik rozpoczyna pracę o godzinie 700. O której godzinie jego wydajność jest największa? x → czas pracy na 8h duios 700 xw=p= f(x) = -1/2 x² + 3x + = 10 m/s tw= V₁.= 700 +371000 3.93. Rzucono kamień z prędkością początkową 10 m/s pionowo do góry. Wyso- kość S [m], jaką osiągnie kamień po t sekundach, określona jest w przybliżeniu funkcją S(t) = 10t - 5t². Jaką maksymalną wysokość osiągnie ten kamień? Sl)=106-54² 10 -2. (~5) Slti) = S(1) 12/² 1 10-5= Sin 3.95. Liczbę 30 przedstaw w postaci różnicy takich dwóch liczb, aby suma ich kwadratów była najmniejsza. 30 x-9 x = 30 ty y min = p = 60 = 15 31 я исположе *+chony 31-X → zorom x= 30 +y = 30-15-15 • g² + (30+9)² = g² + $00+60g+f= = 2y² + 50g + 800 15: - 15 -3 2-4-1) 3.97. Większa część uczniów klasy liczącej 31 osób zachorowała na grypę. Zdrowi uczniowie postanowili wysłać chorym kolegom kartki z pozdrowieniami. Wiedząc, że każdy zdrowy uczeń wysłał do każdego chorego kolegi kartkę, oraz że liczba wysłanych kartek była największa z możliwych, oblicz ilu uczniów zachorowało na grypę. x>31-x f(x) = x (31-x) = x² +31x => { * 3.99. Z prostokątnego arkusza tektury o wymiarach 20 cm x 30 cm odcięto w ro- gach kwadraty, których boki mają długość x cm. Następnie po zagięciu powstałych PG) = (5+x) (8-x) = 40-5x+87-* brzegów zbudowano prostopadłościenne (otwarte) pudełko, jak na rysunku poniżej. -x²+3x+40 a) Wyznacz wzór funkcji opisującej pole powierzchni bocznej tego pu- dełka w zależności od długości boku wyciętego kwadratu; podaj dziedzi- nę tej funkcji. b) Dla jakiej długości x pole powierzch- ni bocznej pudełka jest największe z możliwych? Oblicz to pole. a) 86 = 2x (30-2x) + 2x (20-1x)= −8x²+100 × (x>0 30-2x70 (20-2x >0 x>0 3 20-l xw = 22/12 = 15₁ S ·x=16 31-x-=-15 x<15 x210 X 30-2x € (0,10) PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI O FUNKCJI KWADRATOWEJ Z KLASY 1 Funkcją kwadratową nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem y=ax² + bx + c, gdzie a‡0. Liczby rzeczywiste a, b, c nazywamy współczynnikami funkcji kwadratowej. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych. y = ax ² Wykres funkcji kwadratowej y-ax² + bx + c, gdzie a‡0, przecina oś OY w punkcie (0,c). Po przesunięciu równoległym wykresu funkcji kwadratowej y=ax², a‡0, o wektor [p,q], otrzymujemy wykres funkcji y=a(x-p)²+q (postać kanoniczna) y = ax², a>0 Wykresem funkcji y=a(x-p)²+q, gdzie a#0, jest parabola o wierzchołku W(p,q), ramionami skierowana w górę wtedy, gdy a>0, zaś w dół wtedy, gdy a<0. Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu x=p. W(pia) os symetrio X=P of summeretriciona +bx+c y = a (x − p) ² postać kanoniczna ramiona w gove a>o. ramiono w dot a co 1 :y= a (x-p)² +q 1 W(p, q) 1 +q y=ax², a<o W(P₁8) | y = a (x+p)² + q IP of some othe Zw jeżeli aso A XW₁ = (-∞0, y₁) = (-∞0, 9) Zw jeżeli aso. U zwf = <yw, too) = <q₂, +=0) Jeżeli azon to f1 (-00, xw) =(-0,p> fd [xw, +_o) = [p₁ +00) Jeżeli azo u to f1 <xw, too) -Tp, too) if$ (-∞0, xw) = (-∞0;p> ZWIĄZEK MIĘDZY WZOREM FUNKCJI KWADRATOWEJ W POSTACI OGÓLNEJ, A WZOREM FUNKCJI KWADRATOWEJ W POSTACI KANONICZNEJ Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej y=ax2 + bx + c, gdzie a‡0, można przekształcić do postaci kanonicznej y=a(x-p)² + q, gdzie p=-b -(b² - 4ac) 2a q= 4a -b P = 2a Liczba b2 - 4ac jest szczególna dla danej funkcji kwadratowej y=ax² + bx + c, a‡0. Nazywamy ją wyróżnikiem i oznaczamy grecką literą ▲ (delta). A = 6² - 4ac 1) Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej y-ax² + bx + c można przedstawić w postaci kanonicznej y=a(x-p)² +q, przy czym p=;q=, gdzie A =b² - 4ac. 2) Wykres funkcji kwadratowej y=ax² + bx + c można otrzymać po przesunięciu równoległym wykresu funkcji y=ax² o wektor [] 3) Wierzchołek W paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y=ax² + bx + c ma współrzędne (X, Yw), gdzie xw== Yw== 3.16. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Sprowadź ten wzór do postaci ogólnej. a) ƒ(x) = 4(x − 3)² - 20__ b) ƒ(x)=¹/(x+4)²-6___ c) ƒ(x) = -5(x − 1)² + 1 a)16) = 4(x-3)²-20= 4(x² - 6x +9)-20= 4x² - 24x+36-20-4x²-24x+16 6) f(x) = {(x² +8x+16) - 6 = 4√3 x² + 4x + 8-6= £ x² + 4x +2 c) f(x) = -5(x-1)² + 1 = −5 (x² = 2x + 1) + 1 = -5x² +10 x-S+₁ = -5x² + 10x-4 3.18. Oblicz wyróżnik funkcji kwadratowej f, jeśli: a) f(x) = -3x² + 6x - 3 b) f(x)=-; =-³x²-7x d) f(x) = 3(x − 1)x + 1 q= e) f(x) = (3x - 2)² - (b²-4ac) 4a. a) 8=6²-40c=-36-4-(-3) - (-3)=-36-36=0 6) D = 43 - 4 · ( - 2 ) · 0 = 49. c) f(x) = (1-x)(1+4x)= (1 - 16 x)² = 1-16x² = ~16x² +1. ·A= -4.(-16)+1=64 d) f(x)= 3(x-1)x+1=3x²-3x+1 A= 3-4·(3). (1) = 8 - 12 = -3 e) f(x) = (3x-2)² = 3x² = 12x +4 4 = 444 - 4.(९). (५). = 144 144 0 R) RCK) = x² - 6(y-4)= x² - 6x + 24 = x²-3x+12 A= 3-4 (4) (42) = 9-24=-15 -A 4a 3.17. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej. Sprowadź ten wzór do postaci kanonicznej, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy lub kwadrat różnicy. a) f(x) = x² - 2x d) f(x) = 3x²-24x + 50 c) f(x) = (1 - 4x)(1+4x) x²-6(x-4) f) f(x)= 2 b) f(x) = -2x² + 6x + 1 1 e) f(x)=²x² + 3x + ² e). c) f(x) = -x² + 2x + 8 f) f(x) ===x²+2x+2 a) f(x)=x²-2x = (x² - 2x + 1)-1 = (x - 1)³² -1 6) f(x) = − 2x²+6x +1 = -2 (x² − 3x) + 1 = c)f(x)=x²+2x+8 = -(x²-2x) +8= -2x +1-1) +8=-[-1)²-1]+8=(x-1)² + 5 d)f(x)=3x²-24x+50=3(x² - 8x) +50= 3(x²8x +46-16)+50=3[(x-4)²-16] +50= = 3(x-4)²-48 +50=3(x-4)² +2 =-2(x²-3x + ²) + 1 = -2 [(x - 2)²-1] M = -2(x - ²)² +2+1 = -2(x - ²)² + 11/1 e) f(x)=x²+3x+1=1 (x² + 6x + 1) = = 1/(x² + 6x +3 -3 +1) = { [(x+3) ²-8)= = 4x+3)²-4 A) R(x)=x²+2x+2=-4 (x² - 8x -8)= -4 (²-8× +16-16-8)= -4 [(x-4)²-24): 4(x-4)³ +6 3.19. Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwa- dratowej f, stosując poznane wzory. Napisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. a) f(x) = 2x² + 3x b) f(x)=x²-4 c) f(x) = x² + 10x - 25 d) f(x)=x² - 6x + 5 e) f(x) = 4x² - x + 1 a) R(x) = 2x² +³ x W (p₁9) p== q = = ² p===== -1 6) f(²)=x²-4 p=-2²=0 A=0-4 (164=468 = = 1/²=-4 W (0₁-4) c) f(x) = -x²+10x-25 p=-=-101 = 5 4 = 100-4 (-1)(-15)= 100-100=0 ==0 W (5,0) f) f(x)=x²+2x-3 A=3-4(2)(0=3 2----²-1) d) f(x)=x² - 6x +5 = = = 3 = 36-4(₁)(5)=36-20=16 9 = -16 = -4 W (3, 4) 3=1-4 (4) (4)=1-16=-150=45 WC 3, 4) e) f(x) = (x²-x +₁² p= e) R²x)=x²+2x-3 p====²==-2 2=4-4(3) (-3) = 4 + 6 = 10 + ======= -5 W (-2₁-5) a) f(x) = 2(x + 2)² = 3·6) R(x) = (x-0)² -4 = x²-4 c) f(x) = -(x - 5)² d)f(x) = (x-3)²_42) fcxt = 6₂(x - 2)² + 15 ²) (CX) = {( x +21²-5 3.135. Rozwiąż nierówność: a) 8x - 1 > 16x² d) (2x - 5)² ≤0 c) 3.136. Rozwiąż nierówność: a) (x-3) (2x + 5) ≤ (2x-6) (2x - 1) c) (3-5x) (2x + 1) < (2x + 1)(3x + 2) e) (x + 5)² ≥ (2x + 10)² 3.137. Rozwiąż nierówność: a) x(x + 6) ≤ 3(4x - 3) c) 2x(x-2)-7> -4(x + 3) e) 9(1-x) x² - 10x + 3 3.138. Rozwiąż nierówność: a) (3-2x) (2x + 3) > 1-2x(x+3) c) x² + 6x +9≥ (2x − 1)² e) (-x-5) (5 + x) + 9x ≤2(x-1)² 3.139. Rozwiąż nierówność: (x-1)²-2_x+3_(x+2)²-43 a) 2 5 (x+3)(2x-1)-(x+2)² 3 X- x²-4 2 5 2 3 3 (x+2)² 4 b) 2x² + 4 ≥ 3x e) -1 <-(1-x)² x²-2x+3x²+4 2 24 < 10 1 8 (x-1)²- <X-1_3x+2 3 2 3 X-4 2 3.140. Rozwiąż graficznie nierówność: a) x² - 6x + 9≤-x+ 5 d) x-8 < x²+x-6 b) (2-8x) (x + 1)>(1-4x)(x + 2) d) (2-6x) (3x + 9) ≥x²-9 f) (2x - 3)² < (x-1,5)² c) (2-x)(x + 3) ≤0 f) 25x² > 4(5x - 1) b)-2x² + 5(x + 1) < 2(x + 2) - 3x(x − 1) d) 8(x-2)-x(x - 2) ≥-16 f) 1-2x(x-3)<x(5-4x) b) (2x - 3)²(x + 2)² d) (2x - 1)(5x + 3) + 13 ≤ (3x − 1)² + x f) 2(x-4) (x + 4) > 3x(2x + 3) b) -x²-1 <-x-3 e) x² + 2x−3≤ (x−1)² c) x² + 2 f)x(6. 3.141. Podaj przykład nierówności kwadratowej: a) sprzecznej b) której zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów (-∞, -1) (4, +00) c) której zbiorem rozwiązań jest zbiór R d) której zbiór rozwiązań jest jednoelementowy e) której zbiorem rozwiązań jest przedział liczbowy (2,7) f) której zbiorem rozwiązań jest zbiór R-{-5). 3.142. Dana jest nierówność kwadratowa (3x - 4)(2x + a) < 0 z niewiado mą x. Wyznacz liczbę a, dla której zbiorem rozwiązań tej nierówności jest prze dział 3.143. Dana jest nierówność kwadratowa (5a-4x)(x-1) ≥ 0 z niewiadomą x. Wyznacz liczbę a, dla której zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział (-3,1). 3.144. Dana jest nierówność kwadratowa (2x - 3)(6x + 5a) ≤0 z niewiadomą x. Wyznacz liczbę a, dla której jedynym rozwiązaniem nierówności jest liczba 3.145. Wyznacz zbiory A, B, AB, AUB oraz B - A, jeśli: A- zbiór tych argumentów, dla których funkcja kwadratowa f(x) = x² - 6x + 5 przyjmuje wartości nieujemne B- zbiór tych argumentów, dla których funkcja kwadratowa g(x) = x² + 3x przyj- muje wartości większe od 4. 3.146. Dane są zbiory: A = {x: x € RAx² < 4x}; B = {x: x E ZAX²-7x + 4 ≥ 3x²-5x). Wyznacz zbiory: A, B, AUB, An B. 3.147. Wyznacz dziedzinę funkcji f określonej wzorem: a) f(x)=√2x²+x+8 b) f(x)=√4x-2x² c) f(x)=√√3x² +9x-12 d) f(x)=√4x²+4x-1 e) f(x)=- f) f(x)= 5x+7 √√4-(x+1)² 3.148. Wyznacz wszystkie wartości m, m = R, dla których liczba x należy do p danego przedziału liczbowego, jeśli: a) x = m² - 4m, x € (5, +00) c) x = m² - 3m, x € (-2, 4) c) f(x)=- 2x²-3 √25x²-40x+16 x-3 √√x² +(m-1)x+4 3.149. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, me R, dla których dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych, jeśli: a) f(x)=√√2x²-mx+2 b) x = 5 + 2m-2m², x = (-∞, -7) d) x = m² + 5m + 1, x € (-5,-3) b) f(x)=√√3x² +mx-m-3 x² +1 d) f(x)=- √√x² + (m+2)x+m² MIEJSCE ZEROWE FUNKCJI KWADRATOWEJ. WZÓR FUNKCJI KWADRATOWEJ W POSTACI ILOCZYNOWEJ. a<0 a> o 1) funkcja nie ma miejsc zerowych 1) funkcja nie ma miejsc zerowych Vinians 97070, zatem a.q >0 ako i 920, zatem o.q>0 2) funkcja ma jedno miejsce zerowe 2) funkcja ma jedno miejsce zerowe X n (PIP) (P₁2) x a>0 q = 0, zatem aq=0 a<0. i. q=0, zatem &.q=0. 3) funkcja ma dwa miejsca zerowe 3) funkcja ma dwa miejsca zerowe (P18) (P₁9) a>0 i950, zatem a 950 (P₁8) X -b-√5 a<0iq >0, zatem. a. 950 Funkcja kwadratowa y=ax2 + bx + c, gdzie a‡0 oraz A=b²-4ac: -> nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy A<0 -> ma tylko jedno miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy A=0 -> ma dwa miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy A>0 x Funkcja kwadratowa y=ax 2 + bx + c, gdzie a#0 i A=b²-4ac: 20 -> ma tylko jedno miejsce zerowe, wtedy i tylko wtedy, gdy=0 -> ma dwa miejsca zerowe, oraz wtedy i tylko wtedy, gdy ▲ >0 -> nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy A<0 2a 20 Xw = p = x₁+x₂ 2 yw = f(xw) Jeśli funkcja kwadratowa y-ax2 + bx + c, gdzie a#0, ma miejsce zerowe, to jej wzór można przedstawić w postaci iloczynowej: -> y=a(x-x₂)² - jeśli funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe -> y=a(x-x₁)(x-x₂) - jeśli funkcja ma dwa miejsca zerowe funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, to wzoru tej funkcji nie można przedstawić w postaci iloczynowej. SZKICOWANIE WYKRESÓW FUNKCJI KWADRATOWYCH. ODCZYTYWANIE WŁASNOŚCI FUNKCJI KWADRATOWEJ NA PODSTAWIE WYKRESU. 3.46. Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej fi omów własności tej funkcji poprzez odpowiedzi na następujące pytania: 1) Jaka jest dziedzina funkcji? 2) Jaki jest zbiór wartości funkcji ? 3) Czy funkcja f ma miejsce zerowe? Jeśli tak, to jakie? 4) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne? 5) W jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca? 6) Czy funkcja przyjmuje wartość największą, czy najmniejszą? Jeśli tak, to dla ja- kiego argumentu? a) f(x) = x² + 1 c) f(x) = 3x² - 6x f) f(x) = -x² - 6x-9 () 3x²-6x= =36²-2x+1)= =3[(x-1)-1)= = 3(x-1)³-3 d) ƒ(x) = ²x²-3x+2²¹_e) ƒ(x) = -x² + 2x − 2 ఎ) ఎం 30 (fiol b) f(x)= x) = -1/2 x ²2 +2 R(x) = g(x) x=-3√x=1 1)D=R 2) 2014 (1,000) 4) +(x) <0 <=>x68 f>o <=> x6R 5) (<0,0). € (-∞0,07 6) największej nie wość 1 najmniejsza well X-0 +√(-20₁1) 6) największy mie e) fal=-(x²²²1 <0 w(s) 1)D=R (2x11-12). (+)²0 604 1)D=R 2) Zw=(-3, +00) 3) 0,2 4) +(₂) <0 <=>(9₂2). f(x) >0 <=> (~0,0) U(1, 3) 5) +² <1+00) 6) najprejsza la x-1 2) 2w₁ => 3) mie 4) f(x) <0 <=>1 f(x>0<=> (-0, 1) 5) + f (1, too) dav معه أنا hajn me A d) f(x)= $(x²-6²5) +6²-6x +3-3+5)= =4[6-1²-4)= 4122² f(x) = g(x) x=-1 x=3 3(x) + f(x) (-0,211,100) Ñ =-{[(-²²-4]=-1(x²+1 b) f(x)=x²-x(x) = x² + 4x + 3 F(x) < g(x) [2²-[²44] c) f(x)=x²-3x - 2¹x² + (-2²) ¹4, 7(x) g(x) **¹/² 1/160) = -(² +6x43) <0 W (-3,0) AJD=R² 1/2-(√²+6y +3-3+5) =-(x+3)² x= -2 x=1 f(x) 486) R-{2} 3.48. Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykresy funkcji fig. Na- stępnie rozwiąż graficznie równanie f(x) = g(x). a) f(x) = (x+2)², g(x) = 1 CON(1) b) f(x) = -(x-1)²-1, g(x) = -5 c) f(x)=(x-4)(x+2), g(x) = -x-2 d) f(x)=-=x²+x, g(x) = x - 1 *Ow(21) p===1=(-3)(3) +-3 NOW (1,-3) K²²) = 46~-1) ²=3 c) 3.47. Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej fi omów jej własności, jeśli: a) f(x) = 2(x − 1)(x + 1) b) f(x)= -(x - 1)(x - 5) c) f(x)=²x²+x+1 d) f(x)=-(x+1)² +4,5 e) f(x)=1/(x+1)²-2___ _____ f) ƒ(x) = -2×(x − 2). 6)p=135=3 401)=-2 +4 £6)=(x-3)² +4 5) + (-0,0). £x (0₁+0) 6 wicks war 2 danxe =0 a) R=2(x-1)(x+1) P=1=1=0 *=26-1X4=-2 f(x)=2x²³-2 1)D=R 2) 2w₁=(-0,2) 3) -2,2 4) + (x) < 0 <=> +0,2²) V (²60) () 1 (²) = 2 ( x + 2)² ↑ WE2,0) D=R f(x>0<=>(-2,2) 1)D=R 2) 2w²= (-20) 3) 1,5 3.50. Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykresy funkcji kwadrato- wych fig. Następnie rozwiąż graficznie nierówność, podaną obok wzorów tych funkcji. 2(x+1² +3 Now (-42) + 2x + 4, g(x) ≤ f(x) +20W) a) f(x) = -x 4x9(x) = x² 4) +(x) <0 <=> (45). REN>0 <=>16-₂0, 1)U(S) of 050 W(1²) ↑ 5)+7 (320) 760,32 6) w we dance 3 x=0 2) 2w₁ = (200) 3. 4). + (x) <0 <=> α-{0} f(0)>0<=> p 5) +²60, -17 fx <-3 +00) 6) maj 0 dlaxo-s me x= -2 a>0 ~(9-4) D=R x=2 20=2-2,60) m₂: -1,1 f(x) >0<-> (41) R(x) < 0<-> (44) જો LA(0, too) tv (0,0) megw mee wej M-2 dax2²0 VE tam)>g(x) (-0,07 20=20,60) m₂:0 £6)>0<>R-(0) R(x) <02-10 LA 4~2,400) tv (0-²) најм о Мактів P=R 20=(-21+0 f(x)/(x) <-5,-2) R(x) <0<=> LA tv mag w mej M R20 3020 4) (4) y=-2/1/2 0 1 2 c) f(x)=²x²¹-2x+3¹, g(x)=²x+1², f(x) < 0 (x) e) p= 0+² 21 140 W(3,4) P=12 x 3.49. Naszkicuj we wspólnym układzie współrzędnych wykres funkcji kwadrato- wej f i wykres funkcji liniowej g. Następnie rozwiąż graficznie nierówność, podaną obok wzorów funkcji i 19C-710) aco a) f(x)=x²-6x-9, g(x)= x + 1, f(x) ≥ 9(x) f(x)= − (× +3)² b) f(x) = ²x² a>0 w(+2₁2) +2x+3, g(x)=2x-3, f(x) > 9 (x) £x = [x² + 4x +6] = {(x+21² +2 20=(0,4). my: 1;5 26₂) >0<> (1,5) Rex) <0<-> LA(0, 3) tv <3, too падни махаў wej Mnie a<0 ¹6-2₁-1+=+70 ८८० P=R 20=(-20; 4,5) my: -5,564,5 26)7047 R(x) <0<=> LA P= W(112) 20= (2) 27 ma! +6)>g(x) (-∞0,-6)√(-2,0) mag w 44-776 <-> (97) R(x) < 0 LA(917 V(1) tu<₁,60) nagwi dad wej wie 3.51. Ustal znaki współczynników a, b, c we wzorze funkcji kwadrato- wej f(x) = ax² + bx + c, na podstawie szkicu wykresu tej funkcji w układzie współrzędnych. 04. 19.) y=a(xp)² +8 of -20px tap2 to [x²-2xp+p²]+# 1-2 ap=²-2-a-xw c) b) tr d) U X ²²2(x-35²1 ~70 (3,1) c) ako 6-2-20 CLO f(x)<s() (1,8) azo 270 Równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0, gdzie a‡0 °¡ A = b² - 4ac: - nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy A<0 -b - ma jedno rozwiązanie, wtedy i tylko wtedy, gdy A=0 - ma dwa rozwiązania, --i-b+wtedy i tylko wtedy, gdy A>0 2a RÓWNANIA KWADRATOWE Równaniem kwadratowym z niewiadomą x nazywamy równanie przyjmujące postać ax² + bx + c = 0, przy czym a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi oraz a#0 ax². + bx + c = 0 3.111. Rozwiąż równanie: a) (x + 2)² = 0 d) 4x² - 12x + 9 = 0 b) 4x²7x = 0 e) 3x² - 6 = 0 a) (x+²) ==0 b) 4x² -7x=0 x² + 4x +4-0 x (4x-7)=0 4²b²-4ac (4)²-4-1-4 = 16-16=0 x = 0 V 4x²7 ** x= it e) 3x² 6=0. (17)²-(√5)² =0 (55-56) (156+16)=0 15x-1540 15x+√d=0 1.117 x=ff x=-E 3.113. Rozwiąż równanie: a) 2x² + 5x - 12 = 0 d) 2(x² + 4) = -3x =25 +96=121 *₁=-5-41 -4 3.115. Rozwiąż równanie: a) (2x + 6) (5-x) = 0 c) x(x-1) + 3(x-1)=0 e) 4-(x+3)²=0 A) (x+3)(x-7)=0 *4330 x-7=0 x2-3 x=7 X=-3 d) (x + 1)²100=0 x²+2x+1-100=0 x²+2x-g9=0 2=4+396= 400 √=20 b) 3x² - 7x = 20 e) 49x² = 4x x₁ = -24209 x₂ = -2-10-11 X₂=4 3²-7x-20=0 a) 2x² + 5x-12=0 ) 3x² - 7x=20- c) 9x² =12x-4)2(x²+4)=-3x €) 45 x² = 4x A=25-4-2 (-12)= 3=43-4-3-(-20) = 45 4=144-1-8510 9x²-12x2x² + 8 + 3x=0 43x² - 4x = 0 4= 3-64 <0 x(49x-4)=0 sprevene x=0 48x=4 16x² +25=40x *== 16x² - 40 x 42500 (4x-5) ³ 30 b) 5x(x + 2)-3x = 0 d) (x + 1)²-100-0 f) x(x + 2) = x + 2 2a 4) 3x² +80 3x²=-8 **-1 sprieveme 5x²7x0 x(5x+7)=0 c) 3x² + 8 = 0 f) (x + 3)(x-7)= 0 d) 4x² 12x +9=0 (2x-3) ²=0. (-x-1) (5+x)=0 x= -1 xz-s a) 2x+6=0 √ S-x=0.6) 5x² + 10x -3x = 0 c) x²-x+3x-3=0 2x=-6 -*=-5 x²+2x-3=0 X=S 2x-3=0 2x=3 c) 9x² = 12x - 4 f) 16x² + 25 = 40x x=+ x=1² 4x-550 kxs x=1 6=4+12=16 ✓ Sx=-7 xy₂ = -2+1=1 X=D e) 4-(x+3) ²-0 *=-x₂= 2 (2-x-3) (2+x+3)³0f) x (x+2)=x+2 ·x (x+2)-(x+²) =0 (x+2)(x-1)=0 X=-2 x=1 = b² - 4ac 3.112. Rozwiąż równanie: a) 81x² = 25 d) (x - 3)² = 25 a) 81x² =25 81x²-25=0 (3x)²-5²-0 (3x-5) (9x+5)=0 9x=5 x=-5 x= x=- e)2(x + 1)² = 18 (x+1)² = 9 x²+2x+1=9 x²+2x-8 A=4-4-4-8)=4+32=36 x₁=-=-4 x₂ = -2+6=2 +) 1-4x²=0 c) (x²+2)=7 d) (x-3) ²= 25 (1-2x)(1+2x)=0 2x = -1 x=-11/1 2x=1 b) 1 - 4x² = 0 e) 2(x + 1)² = 18 f)(x-13)²+1=0 (x-13) ²7-1 2x²-x=1-4x² 6x²x-1=0 A=1+24=25 √VA-S xy = 11:4 2015-12-1 3.114. Rozwiąż równanie: a) 3x² + 5x = 2 d) 6(x² + 2) = 4(3-x) sprzeczne 3.116. Rozwiąż równanie: a) x(x + 5) = x + 5 c) x² = (4-x)(x + 4) e) 81-(3x + 7)² = 0 X₂3-1 b) 5x = 2x² + 3 e) 5x²=2-9x c)²(x²+2)=7 f) (x-13)² + 1 = 0 X²+2=14 x² = 12 x=√₁2²xx=-√4²2 X= 2√3vx=-2√3 A=36-4-1-161=36+ x₁ = 6-10 = -2 *2 == 8 ·a) 3x² +5x2=0 6) -2x² +5x-3=0 c) x² +4x-700 $)6x² +12= √2-4x e) ³x² + 3x-2³0. f) 4x² + 12x13=8mB *-=-2 = 25-4-3-6-2)=25+24+45 4=25+-+-(-2)-(-3) = 25 16-4 (-1)(-7)= 6x² + 4x = 0 = 81 +10=41 42² +4x+1=0 =16-4550 2x(3x+2)=0=2=2 (2x)² =0 Gresie 2x=0 3x+2=0 x ₂ = -3+² = 1² x=0v x= (3-3x-7) (9 +3x+7)=0 (-3x+2) (3x+16) >0 -3x3-2 x² = 3x2-16 x=-4 x=-5 x² - 6x +9=25 x² - 6x-16=0 a) x(x+5)=x+5 6) (x+15² - (x + 1) = 0˚ ²) × ² = (1-x)(x+4) x(x+5)-(x+5)=0 (x+₁)(x+₁-1)=0 x²=-(4-x)(4+x) (x+5)(x-1)=0 X=-S xbx+1)=0 X=0x=-1 x² = 16-x² 0=16-2x² x=1 0=4²-(67)² 0=(4-√²)(4+√72₂) d) x (2x-1) = (1-2x)(1+2 x) e) 81-(3x + 7 )²=0 f) (2x + 1)² - 450 x(2x-1)= 1-4x² 9²-(3x+7) ²0 (2x+1)²-2²=0 c) 4x - x² = 7 f) (2x + 3)² = 8x + 8 b) (x + 1)² = (x + 1) d) x(2x - 1) = (1-2x)(1+ 2x) f) (2x + 1)(2x + 1) = 4 074-15 4+√2, 20 64 =400 (2x²1-2) (2x+1+1)=0 +34 +1 2x-1=0 v 2x43²0 VIT 2x=4 x = 1 x= x= x=-1 र: 212 x= -2√₂ 2x+1=0 -24²-1 x=-1 21. Suma cyfr liczby trzycyfrowej wynosi 8, zaś suma kwadratów jej cyfr jest równa 30. Jeśli w liczbie zamienimy cyfry skrajne, to otrzymana liczba będzie o 396 większa od początkowej. Wyznacz tę liczbę trzycyfrową. (a+b+c=8 ·a²+6² +₁² = 30 100a+10b + C +396=100 c+106 to (a+b+c=8 2a2+2+c2=30 ९९-९९ 32c+b=12 7=2463 +C² = 30 ·la ==4+c 23. Długości przekątnych rombu wyrażają się liczbami =-396 (b=12-20 16-8c +c² +144-48 +4² +²30 fe=f+2 leit (172 dagte (Gene 26+2c=2-x 2.35+2=2-x 432=24 322-181665=0 az-4+6 się o 2. Wiedząc, że pole tego rombu jest mniejsze od 17- 1 A 3c²-28 +65=0 8=4 √8=2 (₁= 1/3 =e ge=0 <=> [£ +2² ° <=> >0<=>1(0₁6-0) f+2>0 Se=f+2 {(8x2) 12²5 Ce-RA (R²+21-3560 25. Drut długości 2 m trzeba podzielić na dwa kawałki: z jednego powstanie ram- ka kwadratowa, a z drugiego ramka prostokątna, której długości boków pozostają w stosunku 2: 3. Jaką długość powinien mieć każdy z tych kawałków drutu, aby suma pól kwadratu i prostokąta była najmniejsza? Gxzxoxoxo Sx >0 2-X 406 3x=c {x<2 x (92) 2x = 6 4 = 3-4x P=3x²-x x=p= CE & Petr = ca o sa atin 2-*-=-23 f2 +2f-3Sco D=144 √5=12. f₁=7&D f₁=5 ED ·f=2 Vf=3 e-s ९-५. a=-4+5=1 6=12-25=2 =1 c2=5 pierwszymi, różniącymi oblicz jego obwód. 24+4.50. k=-2 470 (~(^^+^))? -4+2270 (+1)²716 [125 p=1/6 x2. £=3 6 = ²/3 c D 27. Wykaż, że jeśli zbiór wartości funkcji kwadratowej y = -x² + 2kx-3 jest prze- działem (-∞, 1), to k = -2 lub k = 2. 9=x²+2kx3 zWf. (-∞DY q=1 -6²-40c 40 -(24)²-4(~^)(-3) 4(~) 4.4²-12=4 21-4-0 ·K=2 1+1 7/14 K713 VK-S D 29. Wykaż, że równanie 2x² - (k+1)x+ 2 = 0 ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy ke (-∞0,-5) u (3, +∞0). X₁=-5x2=3 22. Na spotkaniu towarzyskim każdy uczestnik spotkania przywitał się z każdym z pozostałych uczestników uściskiem dłoni. Ile co najmniej osób brało udział w tym spotkaniu, jeżeli wymieniono więcej niż 45 uścisków dłoni? X-wczestnicy x (x-1) >45 x(x-1)>80 x2-x>50 x2-x-8070 D=361 √=18 ₁=-9 *2=10 24. W małym zakładzie krawieckim są szyte koszulki, które sprzedaje się do hur- towni po 86 zł za sztukę. Związek między kosztem produkcji K(x), a liczbą x uszytych koszulek w ciągu dnia wyraża wzór K(x) = 4x² - 2x + 84. Zakład może uszyć dziennie maksymalnie 18 koszulek. a) Oblicz, ile co najmniej koszulek dziennie powinien szyć ten zakład, aby osiągnął zysk z ich sprzedaży. b) Oblicz, ile koszulek dziennie powinien szyć ten zakład, aby jego dzienny zysk był największy. Jaka jest wartość największego dziennego zysku? +)2(x)=86x -(4x²-2x +84) = -4x² +88x-8470 >=6400 √5 = 80. Х1=. 21 X2=1 XEC-A-BUCA min 11.05.20 D 26. Wykaż, że jeśli wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji y=- znajduje się w układzie współrzędnych pod osią OX, to b = (-2, 2). - 1x² +2bx-8 y=- 12 -4x2 +88x-84 bw= 40 f(6₂) = 3 x (1₁, 2₁) b) p= = 88 = 11 • 2 = f(11) = 600 1,2 -4.(-4) <0 (26) -4.(-1₂) (8) D 28. Wykaż, że jeśli a-2b-3, to a² + b² > 9 5 -2 462-1600 a=3+2b a² +6² = (3 +26)² +6²-9 +126 +46²=56² +126 +9 R(b)=56² +126 +9 +2bx-8 4(62-4) <0 (6-2)(6+2) 20 D 30. Wykaż, że nierówność 2x² + (k+3)x+8>0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x tylko wtedy, gdy k = (-11, 5). Q=2 ACO (1+32 -4.2.850 h2 +64 +8-6420 g=256 √²=16 илч -11 h2=S 4²461-5540 ZADANIA PROWADZĄCE DO RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI KWADRATOWYCH 3.150. Suma kwadratów dwóch liczb różniących się o 4 jest równa 400. Wyznacz te liczby. x2 + (x+4)² = 400 3.151. Suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych jest równa 308. Wy- znacz te liczby. (2x)2 + (2x+2√² + (²x+4)² = 308 3.152. Suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzystych wynosi 155. Wy- znacz te liczby. (2x +1)2 + (2x+3)2 + (2x + 5)² =^SS 3.153. W liczbie trzycyfrowej cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry setek, zaś cyfra jedności o 1 mniejsza od cyfry dziesiątek. Kwadrat cyfry dziesiątek jest równy sumie kwadratów pozostałych cyfr. Wyznacz tę liczbę.x+2x (2+2)² = x² + + 1)2 3.154. Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej jest równa 5. Jeśli tę liczbę pomno- żymy przez liczbę dwucyfrową o takich samych cyfrach, ale zapisanych w odwrotnej kolejności, to otrzymamy 736. Wyznacz tę liczbę. 3.155. W trzycyfrowej liczbie naturalnej cyfra setek jest taka sama jak cyfra jed- ności, zaś cyfra dziesiątek jest o 3 większa od cyfry jedności. Jeżeli tę liczbę zmniej- szymy o kwadrat sumy jej cyfr, to otrzymamy 105. Wyznacz tę liczbę trzycyfrową. 3.156. lle boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest o 117 większa od liczby jego boków? 3.157. Na płaszczyźnie zaznaczono n punktów, z których dowolne trzy nie są współliniowe. Następnie połączono te punkty odcinkami. Ile jest tych punktów, jeśli wyznaczyły one 15 odcinków? 3.158. Do turnieju siatkówki zgłosiły się reprezentacje klas pierwszych pewnego liceum. Klasy rozegrały każda z każdą po jednym meczu. Wszystkich meczów roze- grano 10. Ile klas brało udział w tym turnieju? 3.159. Na jednym z osiedli mieszkaniowych znajduje się rabata kwiatowa w kształ- cie trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne różnią się o 7 m. Powierzchnia rabaty wynosi 30 m². lle metrów płotka potrzeba na ogrodzenie tej rabaty? 3.160. Robotnik przeciął blachę w kształcie trójkąta prostokątnego wzdłuż wyso- kości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną, dzieląc ją na dwa trójkąty prostokątne. Wspólna przyprostokątna powstałych trójkątów ma długość 1,2 m, zaś drugie przyprostokątne różnią się o 70 cm. Oblicz powierzch- nię kawałków blach po rozcięciu. 3.161. Prostokątny obraz bez ramy ma wymiary 82 cm x 36 cm, a wraz z ramą zajmuje powierzchnię 3567 cm². Oblicz, jaką szerokość ma rama tego obrazu. 3.162. Park miejski ma kształt rombu, którego obwód wynosi 2 km. Dwie główne alejki spacerowe wyznaczone są przez przekątne rombu, a jedna z nich jest o 200 m dłuższa od drugiej. Oblicz długość tych alejek. 3.163. W pewnym prostokącie jeden z boków skrócono, a drugi wydłużono o p% tak, że pole prostokąta zmniejszyło się o 9 %. Oblicz p. 3.164. Drut długości 64 cm podzielono na dwa kawałki. Z jednego kawałka wy- konano kwadratową ramkę, a z drugiego ramkę prostokątną, której stosunek dłu- gości boków jest równy 3: 1. Oblicz długości kawałków drutu, wiedząc, że suma powierzchni wyznaczonych przez obie ramki wynosi 112 cm². 3.165. Kupiec ma dwie beczki wina dwóch różnych szczepów. Stosunek liczby li- trów wina z pierwszej beczki do liczby litrów wina z drugiej beczki jest równy 3 : 2. Litr wina z pierwszej beczki kosztuje tyle złotych, ile jest równe 25% liczby litrów wina, znajdującego się w drugiej beczce. Litr wina z drugiej beczki jest o 10 zł droż- szy od litra wina z pierwszej beczki. Wiedząc, że łączna wartość win w obu beczkach jest równa 4800 zł, oblicz: a) ile litrów wina jest w każdej beczce b) cenę jednego litra każdego z tych win. 3.166. Pewna osoba zapytana, ile ma lat, odpowiedziała: ,,Jeżeli całkowitą liczbę moich lat pomnożymy przez liczbę o 50 mniejszą i do otrzymanego iloczynu doda- my 624, to otrzymamy liczbę ujemną". Czy na tej podstawie można ustalić, ile lat ma ta osoba? 3.167. Jak dobrać wymiary prostokąta, aby jego pole było nie mniejsze niż 5 nie większe niż 12, a długości boków były liczbami naturalnymi, różniącymi się o 4? Podaj wszystkie możliwości. 3.168. Proste o równaniach y=-x+a+1 oraz x = a, gdzie a jest liczbą rzeczywistą dodatnią, przecinają się w punkcie M i wraz z osiami układu współrzędnych ograniczają trapez pro- stokątny (zobacz rysunek obok). a) Napisz wzór funkcji P- określającej pole tego trapezu w zależności od a, gdzie a € (0, +∞0). b) Wyznacz liczbę a, dla której pole tra- pezu jest równe 3. x = a c) Wyznacz wszystkie wartości a, dla których pole trapezu jest większe od 24 i jednocześnie nie większe od 51. a 3.169. Wyznacz wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne o sumie cyfr równej 9, które spełniają warunek: iloczyn liczby i jej cyfry jedności jest większy od 144. 3.171. Przez działkę w kształcie prostoką- ta o wymiarach 20 m x 40 m ma przebiegać ścieżka w sposób pokazany na rysunku. Po- wierzchnia ścieżki może stanowić co najwyżej 9,75% całej powierzchni działki. Jaką najwięk- szą wartość może przyjąć x? 3.170. Ile jest wielokątów wypukłych, w których liczba przekątnych jest mniejsza od potrojonej liczby jego boków? 2x 3.172. W kwadrat ABCD o boku 7 cm wpi- sano kwadrat MNPR tak, że punkty M, N, P, R należą odpowiednio do boków AB, BC, DC oraz AD. Wiedząc, że pole kwadratu MNPR jest równe 25 cm², oblicz długości odcinków, na jakie punkty M, N, P, R podzieliły boki kwadratu ABCD. 3.173. Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 30, a suma kwadratów dłu- gości wszystkich boków trójkąta wynosi 338. Wyznacz wysokość poprowadzoną na przeciwprostokątną.