Równania Kwadratowe i Metody ich Rozwiązywania
Na tej stronie omówiono różne metody rozwiązywania równań kwadratowych oraz wprowadzono pojęcie nierówności kwadratowych. Przedstawiono również specjalne przypadki równań, które można sprowadzić do postaci kwadratowej.
Równania kwadratowe można rozwiązywać trzema głównymi metodami:
- Metoda wyłączania przed nawias
- Metoda wzorów z użyciem delty
- Metoda wzorów skróconego mnożenia
Example: Rozwiązanie równania 3x² + 6x = 0 metodą wyłączania przed nawias:
3x(x + 2) = 0
x₁ = 0 lub x + 2 = 0, x₂ = -2
Wzór na deltę i x1 x2 jest kluczowy w metodzie drugiej:
x₁ = (-b + √Δ) / (2a)
x₂ = (-b - √Δ) / (2a)
Highlight: Gdy delta = 0, równanie ma jedno podwójne rozwiązanie: x₀ = -b / (2a)
Równania sprowadzalne do kwadratowych, takie jak równania dwukwadratowe, wymagają specjalnego podejścia:
Example: Dla równania x⁴ - 5x² + 6 = 0, wprowadzamy zmienną pomocniczą t = x², otrzymując równanie kwadratowe t² - 5t + 6 = 0.
Nierówności kwadratowe to kolejny ważny temat. Przy ich rozwiązywaniu kluczowe jest określenie:
- Znaku współczynnika a (określa "kierunek" paraboli)
- Miejsc zerowych funkcji (jeśli istnieją)
- Przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne
Vocabulary: Nierówność kwadratowa - nierówność zawierająca wyrażenie kwadratowe, np. ax² + bx + c > 0 lub ax² + bx + c < 0.
Rozwiązywanie nierówności kwadratowych wymaga analizy wykresu funkcji kwadratowej i określenia, dla jakich wartości x funkcja spełnia warunek nierówności.
Highlight: Przy rozwiązywaniu nierówności typu "> 0" lub "≥ 0", rozważamy przedziały, gdzie parabola znajduje się nad osią OX, a dla "< 0" lub "≤ 0" - pod osią OX.
Nierówności kwadratowe - zadania często wymagają połączenia wiedzy o funkcjach kwadratowych, równaniach i właściwościach nierówności, co czyni je doskonałym narzędziem do utrwalenia i zastosowania zdobytej wiedzy.
