Funkcja kwadratowa i jej postacie

Strona ta przedstawia kluczowe informacje na temat funkcji kwadratowej i jej różnych postaci. Postać ogólna funkcji kwadratowej jest definiowana jako f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c są współczynnikami, a a ≠ 0. Jeśli a = 0, funkcja staje się liniowa.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej jest wyrażona jako f(x) = a(x+p)² - q, gdzie (p;q) reprezentuje współrzędne wierzchołka paraboli.

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej ma formę f(x) = a(x-x₁)(x-x₂), gdzie x₁ i x₂ to miejsca zerowe funkcji, czyli rozwiązania równania f(x) = 0. W przypadku gdy funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe, postać iloczynowa upraszcza się do f(x) = a(x-x₀)², gdzie x₀ jest tym pojedynczym miejscem zerowym.

Highlight: Funkcję kwadratową można zawsze zapisać w postaci ogólnej i kanonicznej, natomiast postać iloczynowa jest możliwa tylko wtedy, gdy funkcja ma miejsca zerowe.

Example: Dla funkcji f(x) = x² + 4x + 3 (postać ogólna), jej postać kanoniczna to f(x) = (x+2)² - 1, a postać iloczynowa to f(x) = (x+3)(x+1).

Vocabulary: Miejsca zerowe - punkty, w których funkcja przecina oś X, czyli f(x) = 0.

Metody zamiany postaci funkcji kwadratowej

Ta strona skupia się na metodach przekształcania funkcji kwadratowej między różnymi postaciami. Zamiana postaci ogólnej na kanoniczną może być wykonana na dwa sposoby. Pierwsza metoda polega na obliczeniu współrzędnych wierzchołka przy użyciu wzorów: p = -b/(2a) i q = -Δ/(4a), gdzie Δ = b² - 4ac. Druga metoda, szybsza ale wymagająca więcej "myślenia", polega na przekształceniu funkcji do postaci wzoru skróconego mnożenia.

Zamiana postaci ogólnej na iloczynową wymaga obliczenia miejsc zerowych funkcji i podstawienia ich do wzoru f(x) = a(x-x₁)(x-x₂). Zamiana postaci kanonicznej na ogólną polega na wykonaniu potęgowania i odejmowania, podczas gdy zamiana postaci iloczynowej na ogólną wymaga wykonania mnożenia.

Example: Dla funkcji f(x) = x² + 4x + 3, zamiana na postać kanoniczną daje f(x) = (x+2)² - 1, a na postać iloczynową f(x) = (x+3)(x+1).

Highlight: Zamiana postaci kanonicznej na iloczynową i odwrotnie wymaga pośredniego przejścia przez postać ogólną.

Definition: Wzór na postać ogólną funkcji kwadratowej to f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c są stałymi, a a ≠ 0.

Vocabulary: Funkcja iloczynowa to funkcja przedstawiona w postaci iloczynu czynników liniowych.