Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa: Notatki, Wzory i Zadania dla Dzieci

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Zobacz

Funkcja kwadratowa: Notatki, Wzory i Zadania dla Dzieci

Natalia Buć

@nbuc

671 Obserwujących

Obserwuj

Funkcja kwadratowa to kluczowe zagadnienie w matematyce, opisujące zależność między zmiennymi x i y w postaci y=ax²+bx+c. Własności funkcji kwadratowej kanoniczna forma jest szczególnie istotna dla zrozumienia jej charakterystyki.

Funkcja kwadratowa może być przedstawiona w postaci ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej y=a(x-p)²+q pozwala łatwo określić wierzchołek i oś symetrii
Znajomość własności funkcji kwadratowej umożliwia analizę jej przebiegu i ekstremów
Przekształcanie między różnymi postaciami funkcji kwadratowej jest kluczową umiejętnością

30.03.2022

835

05.09.19
Junkeja kwadratowa
Lekcia
Temat: Własności funkgi kwadratowej y=ax ². Postać kanoniczna
funkgi kwadratowej.
4
Def.
Funkija kwadrato

Zobacz

Forms and Properties of Quadratic Functions

This page focuses on the different forms of funkcja kwadratowa and their properties.

Quadratic functions can be expressed in three forms:

General form: f(x) = ax² + bx + c
Canonical form: f(x) = a(x-p)² + q
Factored form (if it exists)

Example: Converting between forms y = -3(x+1)² - 2 = -3(x² + 2x + 1) - 2 = -3x² - 6x - 3 - 2 = -3x² - 6x - 5

The page outlines key properties of quadratic functions based on the sign of the coefficient 'a':

For a > 0:

Domain is ℝ
Range is [q, +∞)
f(x) decreases in the interval (-∞, p) and increases in (p, +∞)
Axis of symmetry: x = p
Vertex: W(p, q)
Minimum: f_min(p) = q

For a < 0, similar properties are listed with appropriate changes.

Highlight: The vertex of a quadratic function can be found using the formula p = -b / (2a).

Zobacz

Transformations and Forms of Quadratic Functions

This final page covers transformations between different forms of funkcja kwadratowa and introduces the concept of trójmian kwadratowy (quadratic trinomial).

The page demonstrates how to convert from general form to canonical form using the completing the square method:

y = ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x) + c = a(x² + (b/a)x + (b/(2a))² - (b/(2a))²) + c = a(x + b/(2a))² - (b²/(4a)) + c

Definition: The quadratic trinomial has the form ax² + bx + c, which is equivalent to a quadratic function.

The page provides examples of converting quadratic functions to canonical form:

Example: f(x) = 2x² - 12x + 19 can be transformed to 2(x-3)² + 1

The concept of discriminant (Δ = b² - 4ac) is introduced, which is useful in determining the nature of the roots of a quadratic equation.

Highlight: The canonical form of a quadratic function provides valuable information about its graph, including the vertex and axis of symmetry.

The page concludes with exercises to practice converting quadratic functions to canonical form and identifying key properties.

Zobacz

Properties of Quadratic Functions in Canonical Form

This page delves deeper into the postać kanoniczna funkcji kwadratowej and its properties.

The canonical form of a quadratic function is given by y = a(x-p)² + q. The page provides exercises to practice converting quadratic functions to canonical form.

Example: a) y = -3x² + [-1, 3] becomes y = -3(x+1)² + 3 b) y = 2x² + [-0, -5] becomes y = 2x² - 5 c) y = -x² + [5, 0] becomes y = -(x-5)²

An important theorem states that the graph of y = a(x-p)² + q is obtained from the graph of f = ax² by a parallel translation by the vector [p, q].

Vocabulary: The vertex of a quadratic function in canonical form is located at the point W(p, q). The axis of symmetry has the equation x = p.

The page concludes with exercises to identify the vertex and axis of symmetry for given quadratic functions in canonical form.

Example: For g(x) = x² - 8x, the vertex is W(4, -16) and the axis of symmetry is x = 4.

Zobacz

Introduction to Quadratic Functions

This page introduces the concept of funkcja kwadratowa (quadratic function) and its various forms.

A quadratic function is defined as a function that assigns to each real number x a value determined by the formula y = ax² + bx + c, where a ≠ 0 and a, b, c are real numbers. The page outlines different cases of quadratic functions based on the values of coefficients.

Definition: A quadratic function is described by the formula f(x) = ax² + bx + c, where a ≠ 0 and a, b, c ∈ ℝ.

Example:

f(x) = ax² (when b = 0 and c = 0)
f(x) = ax² + bx (when c = 0)
f(x) = ax² + c (when b = 0)
f(x) = ax² + bx + c (full quadratic function)

The page also introduces the concept of postać kanoniczna funkcji kwadratowej (canonical form of a quadratic function), which is expressed as y = a(x-p)² + q.

Highlight: The canonical form provides valuable insights into the properties of the quadratic function, including its vertex and axis of symmetry.

Podobne notatki

Know Funkcja kwadratowa i jej postacie thumbnail

1694

1/2

Funkcja kwadratowa i jej postacie

Zagadnienia poruszone w notatce to rodzaje postaci funkcji kwadratowej i zamiana postaci funkcji.

562

1/2

Zamiana postaci ogólnej

metoda zamiany postaci ogólnej i przykład z wyjaśnieniem

164

4965

4/2

Funkcja kwadratowa

✅własności ✅o czym mowi współczynnik a ✅postać ogólna,kanoniczna i iloczynowa ✅zmienianie postaci wzoru ✅nierówności kwadratowe ✅równania kwadratowe ✅zadania tekstowe przyklad

139

5491

1/2

Funkcja kwadratowa

Krótkie podsumowanie najważniejszych informacji na temat funkcji kwadratowej

Know Równania kwadratowe i prowadzące do równań kwadratowych-rozwiazywanie zadań thumbnail

278

4/2

Równania kwadratowe i prowadzące do równań kwadratowych-rozwiazywanie zadań

Przykładowe zadania z rozwiązywania równań kwadratowych i równań czwartego, trzeciego stopnia prowadzących również do drugiego stopnia

734

12318

funkcja kwadratowa

zakres podstawowy, pazdro

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa: Notatki, Wzory i Zadania dla Dzieci

Natalia Buć

@nbuc

671 Obserwujących

Obserwuj

Funkcja kwadratowa może być przedstawiona w postaci ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej y=a(x-p)²+q pozwala łatwo określić wierzchołek i oś symetrii
Znajomość własności funkcji kwadratowej umożliwia analizę jej przebiegu i ekstremów
Przekształcanie między różnymi postaciami funkcji kwadratowej jest kluczową umiejętnością

30.03.2022

835

4/1

Matematyka

Forms and Properties of Quadratic Functions

This page focuses on the different forms of funkcja kwadratowa and their properties.

Quadratic functions can be expressed in three forms:

General form: f(x) = ax² + bx + c
Canonical form: f(x) = a(x-p)² + q
Factored form (if it exists)

Example: Converting between forms y = -3(x+1)² - 2 = -3(x² + 2x + 1) - 2 = -3x² - 6x - 3 - 2 = -3x² - 6x - 5

The page outlines key properties of quadratic functions based on the sign of the coefficient 'a':

For a > 0:

Domain is ℝ
Range is [q, +∞)
f(x) decreases in the interval (-∞, p) and increases in (p, +∞)
Axis of symmetry: x = p
Vertex: W(p, q)
Minimum: f_min(p) = q

For a < 0, similar properties are listed with appropriate changes.

Highlight: The vertex of a quadratic function can be found using the formula p = -b / (2a).

Transformations and Forms of Quadratic Functions

This final page covers transformations between different forms of funkcja kwadratowa and introduces the concept of trójmian kwadratowy (quadratic trinomial).

The page demonstrates how to convert from general form to canonical form using the completing the square method:

y = ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x) + c = a(x² + (b/a)x + (b/(2a))² - (b/(2a))²) + c = a(x + b/(2a))² - (b²/(4a)) + c

Definition: The quadratic trinomial has the form ax² + bx + c, which is equivalent to a quadratic function.

The page provides examples of converting quadratic functions to canonical form:

Example: f(x) = 2x² - 12x + 19 can be transformed to 2(x-3)² + 1

The concept of discriminant (Δ = b² - 4ac) is introduced, which is useful in determining the nature of the roots of a quadratic equation.

Highlight: The canonical form of a quadratic function provides valuable information about its graph, including the vertex and axis of symmetry.

The page concludes with exercises to practice converting quadratic functions to canonical form and identifying key properties.

Properties of Quadratic Functions in Canonical Form

This page delves deeper into the postać kanoniczna funkcji kwadratowej and its properties.

The canonical form of a quadratic function is given by y = a(x-p)² + q. The page provides exercises to practice converting quadratic functions to canonical form.

Example: a) y = -3x² + [-1, 3] becomes y = -3(x+1)² + 3 b) y = 2x² + [-0, -5] becomes y = 2x² - 5 c) y = -x² + [5, 0] becomes y = -(x-5)²

An important theorem states that the graph of y = a(x-p)² + q is obtained from the graph of f = ax² by a parallel translation by the vector [p, q].

Vocabulary: The vertex of a quadratic function in canonical form is located at the point W(p, q). The axis of symmetry has the equation x = p.

The page concludes with exercises to identify the vertex and axis of symmetry for given quadratic functions in canonical form.

Example: For g(x) = x² - 8x, the vertex is W(4, -16) and the axis of symmetry is x = 4.

Introduction to Quadratic Functions

This page introduces the concept of funkcja kwadratowa (quadratic function) and its various forms.

Definition: A quadratic function is described by the formula f(x) = ax² + bx + c, where a ≠ 0 and a, b, c ∈ ℝ.

Example:

f(x) = ax² (when b = 0 and c = 0)
f(x) = ax² + bx (when c = 0)
f(x) = ax² + c (when b = 0)
f(x) = ax² + bx + c (full quadratic function)

The page also introduces the concept of postać kanoniczna funkcji kwadratowej (canonical form of a quadratic function), which is expressed as y = a(x-p)² + q.

Highlight: The canonical form provides valuable insights into the properties of the quadratic function, including its vertex and axis of symmetry.

Podobne notatki

Matematyka - Funkcja kwadratowa i jej postacie

Zagadnienia poruszone w notatce to rodzaje postaci funkcji kwadratowej i zamiana postaci funkcji.

1694

Matematyka - Zamiana postaci ogólnej

metoda zamiany postaci ogólnej i przykład z wyjaśnieniem

562

Matematyka - Funkcja kwadratowa

✅własności ✅o czym mowi współczynnik a ✅postać ogólna,kanoniczna i iloczynowa ✅zmienianie postaci wzoru ✅nierówności kwadratowe ✅równania kwadratowe ✅zadania tekstowe przyklad

164

4965

Matematyka - Funkcja kwadratowa

Krótkie podsumowanie najważniejszych informacji na temat funkcji kwadratowej

139

5491

Matematyka - Równania kwadratowe i prowadzące do równań kwadratowych-rozwiazywanie zadań

Przykładowe zadania z rozwiązywania równań kwadratowych i równań czwartego, trzeciego stopnia prowadzących również do drugiego stopnia

278

Matematyka - funkcja kwadratowa

zakres podstawowy, pazdro

734

12318

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 12 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS