Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja kwadratowa

Funkcja Kwadratowa Notatki PDF: Wzory, Zadania, Postać Kanoniczna i Ogólna

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Zobacz

Funkcja Kwadratowa Notatki PDF: Wzory, Zadania, Postać Kanoniczna i Ogólna

Natalia Buć

@nbuc

641 Obserwujących

Obserwuj

Funkcja kwadratowa is a fundamental concept in mathematics, describing a quadratic relationship between variables. This summary covers key aspects including the postać ogólna funkcji kwadratowej, postać kanoniczna funkcji kwadratowej, and properties of quadratic functions. Understanding these concepts is crucial for solving funkcja kwadratowa zadania and analyzing wykres funkcji kwadratowej.

• The general form of a quadratic function is y = ax² + bx + c, where a ≠ 0
• The canonical form y = a(x-p)² + q provides insights into the function's vertex and symmetry
• Key properties include the domain, range, vertex, axis of symmetry, and extremum point
• Transformations between general and canonical forms involve completing the square

30.03.2022

774

Forms and Properties of Quadratic Functions

This page focuses on the different forms of funkcja kwadratowa and their properties.

Quadratic functions can be expressed in three forms:

General form: f(x) = ax² + bx + c
Canonical form: f(x) = a(x-p)² + q
Factored form (if it exists)

Example: Converting between forms y = -3(x+1)² - 2 = -3(x² + 2x + 1) - 2 = -3x² - 6x - 3 - 2 = -3x² - 6x - 5

The page outlines key properties of quadratic functions based on the sign of the coefficient 'a':

For a > 0:

Domain is ℝ
Range is [q, +∞)
f(x) decreases in the interval (-∞, p) and increases in (p, +∞)
Axis of symmetry: x = p
Vertex: W(p, q)
Minimum: f_min(p) = q

For a < 0, similar properties are listed with appropriate changes.

Highlight: The vertex of a quadratic function can be found using the formula p = -b / (2a).

05.09.19
Junkeja kwadratowa
Lekcia
Temat: Własności funkgi kwadratowej y=ax ². Postać kanoniczna
funkgi kwadratowej.
4
Def.
Funkija kwadrato

Transformations and Forms of Quadratic Functions

This final page covers transformations between different forms of funkcja kwadratowa and introduces the concept of trójmian kwadratowy (quadratic trinomial).

The page demonstrates how to convert from general form to canonical form using the completing the square method:

y = ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x) + c = a(x² + (b/a)x + (b/(2a))² - (b/(2a))²) + c = a(x + b/(2a))² - (b²/(4a)) + c

Definition: The quadratic trinomial has the form ax² + bx + c, which is equivalent to a quadratic function.

The page provides examples of converting quadratic functions to canonical form:

Example: f(x) = 2x² - 12x + 19 can be transformed to 2(x-3)² + 1

The concept of discriminant (Δ = b² - 4ac) is introduced, which is useful in determining the nature of the roots of a quadratic equation.

Highlight: The canonical form of a quadratic function provides valuable information about its graph, including the vertex and axis of symmetry.

The page concludes with exercises to practice converting quadratic functions to canonical form and identifying key properties.

Zobacz

Properties of Quadratic Functions in Canonical Form

This page delves deeper into the postać kanoniczna funkcji kwadratowej and its properties.

The canonical form of a quadratic function is given by y = a(x-p)² + q. The page provides exercises to practice converting quadratic functions to canonical form.

Example: a) y = -3x² + [-1, 3] becomes y = -3(x+1)² + 3 b) y = 2x² + [-0, -5] becomes y = 2x² - 5 c) y = -x² + [5, 0] becomes y = -(x-5)²

An important theorem states that the graph of y = a(x-p)² + q is obtained from the graph of f = ax² by a parallel translation by the vector [p, q].

Vocabulary: The vertex of a quadratic function in canonical form is located at the point W(p, q). The axis of symmetry has the equation x = p.

The page concludes with exercises to identify the vertex and axis of symmetry for given quadratic functions in canonical form.

Example: For g(x) = x² - 8x, the vertex is W(4, -16) and the axis of symmetry is x = 4.

Zobacz

Introduction to Quadratic Functions

This page introduces the concept of funkcja kwadratowa (quadratic function) and its various forms.

A quadratic function is defined as a function that assigns to each real number x a value determined by the formula y = ax² + bx + c, where a ≠ 0 and a, b, c are real numbers. The page outlines different cases of quadratic functions based on the values of coefficients.

Definition: A quadratic function is described by the formula f(x) = ax² + bx + c, where a ≠ 0 and a, b, c ∈ ℝ.

Example:

f(x) = ax² (when b = 0 and c = 0)
f(x) = ax² + bx (when c = 0)
f(x) = ax² + c (when b = 0)
f(x) = ax² + bx + c (full quadratic function)

The page also introduces the concept of postać kanoniczna funkcji kwadratowej (canonical form of a quadratic function), which is expressed as y = a(x-p)² + q.

Highlight: The canonical form provides valuable insights into the properties of the quadratic function, including its vertex and axis of symmetry.

Zobacz

Podobne notatki

Know Funkcja kwadratowa i jej postacie thumbnail

891

1/2

Funkcja kwadratowa i jej postacie

Zagadnienia poruszone w notatce to rodzaje postaci funkcji kwadratowej i zamiana postaci funkcji.

494

1/2

Zamiana postaci ogólnej

metoda zamiany postaci ogólnej i przykład z wyjaśnieniem

730

12058

funkcja kwadratowa

zakres podstawowy, pazdro

137

3040

4/2

Funkcja kwadratowa

✅własności ✅o czym mowi współczynnik a ✅postać ogólna,kanoniczna i iloczynowa ✅zmienianie postaci wzoru ✅nierówności kwadratowe ✅równania kwadratowe ✅zadania tekstowe przyklad

650

11620

1/2

Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa matematyka

2215

1/2

Funkcja kwadratowa

Krótkie podsumowanie najważniejszych informacji na temat funkcji kwadratowej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 11 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 11 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja kwadratowa

Funkcja Kwadratowa Notatki PDF: Wzory, Zadania, Postać Kanoniczna i Ogólna

Zobacz

Natalia Buć

@nbuc

641 Obserwujących

Obserwuj

Funkcja Kwadratowa Notatki PDF: Wzory, Zadania, Postać Kanoniczna i Ogólna

30.03.2022

774

Forms and Properties of Quadratic Functions

This page focuses on the different forms of funkcja kwadratowa and their properties.

Quadratic functions can be expressed in three forms:

General form: f(x) = ax² + bx + c
Canonical form: f(x) = a(x-p)² + q
Factored form (if it exists)

Example: Converting between forms y = -3(x+1)² - 2 = -3(x² + 2x + 1) - 2 = -3x² - 6x - 3 - 2 = -3x² - 6x - 5

The page outlines key properties of quadratic functions based on the sign of the coefficient 'a':

For a > 0:

Domain is ℝ
Range is [q, +∞)
f(x) decreases in the interval (-∞, p) and increases in (p, +∞)
Axis of symmetry: x = p
Vertex: W(p, q)
Minimum: f_min(p) = q

For a < 0, similar properties are listed with appropriate changes.

Highlight: The vertex of a quadratic function can be found using the formula p = -b / (2a).

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Dołącz do milionów studentów

Popraw swoje oceny

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Transformations and Forms of Quadratic Functions

This final page covers transformations between different forms of funkcja kwadratowa and introduces the concept of trójmian kwadratowy (quadratic trinomial).

The page demonstrates how to convert from general form to canonical form using the completing the square method:

y = ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x) + c = a(x² + (b/a)x + (b/(2a))² - (b/(2a))²) + c = a(x + b/(2a))² - (b²/(4a)) + c

Definition: The quadratic trinomial has the form ax² + bx + c, which is equivalent to a quadratic function.

The page provides examples of converting quadratic functions to canonical form:

Example: f(x) = 2x² - 12x + 19 can be transformed to 2(x-3)² + 1

The concept of discriminant (Δ = b² - 4ac) is introduced, which is useful in determining the nature of the roots of a quadratic equation.

Highlight: The canonical form of a quadratic function provides valuable information about its graph, including the vertex and axis of symmetry.

The page concludes with exercises to practice converting quadratic functions to canonical form and identifying key properties.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Dołącz do milionów studentów

Popraw swoje oceny

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Properties of Quadratic Functions in Canonical Form

This page delves deeper into the postać kanoniczna funkcji kwadratowej and its properties.

The canonical form of a quadratic function is given by y = a(x-p)² + q. The page provides exercises to practice converting quadratic functions to canonical form.

Example: a) y = -3x² + [-1, 3] becomes y = -3(x+1)² + 3 b) y = 2x² + [-0, -5] becomes y = 2x² - 5 c) y = -x² + [5, 0] becomes y = -(x-5)²

An important theorem states that the graph of y = a(x-p)² + q is obtained from the graph of f = ax² by a parallel translation by the vector [p, q].

Vocabulary: The vertex of a quadratic function in canonical form is located at the point W(p, q). The axis of symmetry has the equation x = p.

The page concludes with exercises to identify the vertex and axis of symmetry for given quadratic functions in canonical form.

Example: For g(x) = x² - 8x, the vertex is W(4, -16) and the axis of symmetry is x = 4.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Dołącz do milionów studentów

Popraw swoje oceny

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Introduction to Quadratic Functions

This page introduces the concept of funkcja kwadratowa (quadratic function) and its various forms.

Definition: A quadratic function is described by the formula f(x) = ax² + bx + c, where a ≠ 0 and a, b, c ∈ ℝ.

Example:

f(x) = ax² (when b = 0 and c = 0)
f(x) = ax² + bx (when c = 0)
f(x) = ax² + c (when b = 0)
f(x) = ax² + bx + c (full quadratic function)

The page also introduces the concept of postać kanoniczna funkcji kwadratowej (canonical form of a quadratic function), which is expressed as y = a(x-p)² + q.

Highlight: The canonical form provides valuable insights into the properties of the quadratic function, including its vertex and axis of symmetry.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Dołącz do milionów studentów

Popraw swoje oceny

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podobne notatki

Matematyka - Funkcja kwadratowa i jej postacie

Zagadnienia poruszone w notatce to rodzaje postaci funkcji kwadratowej i zamiana postaci funkcji.

891

Matematyka - Zamiana postaci ogólnej

metoda zamiany postaci ogólnej i przykład z wyjaśnieniem

494

Matematyka - funkcja kwadratowa

zakres podstawowy, pazdro

730

12058

Matematyka - Funkcja kwadratowa

✅własności ✅o czym mowi współczynnik a ✅postać ogólna,kanoniczna i iloczynowa ✅zmienianie postaci wzoru ✅nierówności kwadratowe ✅równania kwadratowe ✅zadania tekstowe przyklad

137

3040

Matematyka - Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa matematyka

650

11620

Matematyka - Funkcja kwadratowa

Krótkie podsumowanie najważniejszych informacji na temat funkcji kwadratowej

2215

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

4.9+

Średnia ocena aplikacji

13 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 11 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS