Funkcja kwadratowa: Notatki, Wzory i Zadania dla Dzieci

Otwórz

Natalia Buć

30.03.2022

Matematyka

Wstęp do funkcji kwadratowej

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja kwadratowa

Postać kanoniczna

Funkcja kwadratowa: Notatki, Wzory i Zadania dla Dzieci

Funkcja kwadratowa to kluczowe zagadnienie w matematyce, opisujące zależność między zmiennymi x i y w postaci y=ax²+bx+c. Własności funkcji kwadratowej kanoniczna forma jest szczególnie istotna dla zrozumienia jej charakterystyki.

Funkcja kwadratowa może być przedstawiona w postaci ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej y=a(x-p)²+q pozwala łatwo określić wierzchołek i oś symetrii
Znajomość własności funkcji kwadratowej umożliwia analizę jej przebiegu i ekstremów
Przekształcanie między różnymi postaciami funkcji kwadratowej jest kluczową umiejętnością

30.03.2022

05.09.19
Junkeja kwadratowa
Lekcia
Temat: Własności funkgi kwadratowej y=ax ². Postać kanoniczna
funkgi kwadratowej.
4
Def.
Funkija kwadrato

Zobacz

Properties of Quadratic Functions in Canonical Form

This page delves deeper into the postać kanoniczna funkcji kwadratowej and its properties.

The canonical form of a quadratic function is given by y = a $x-p$ ² + q. The page provides exercises to practice converting quadratic functions to canonical form.

Example: a) y = -3x² + $-1, 3$ becomes y = -3 $x+1$ ² + 3 b) y = 2x² + $-0, -5$ becomes y = 2x² - 5 c) y = -x² + $5, 0$ becomes y = - $x-5$ ²

An important theorem states that the graph of y = a $x-p$ ² + q is obtained from the graph of f = ax² by a parallel translation by the vector $p, q$ .

Vocabulary: The vertex of a quadratic function in canonical form is located at the point W $p, q$ . The axis of symmetry has the equation x = p.

The page concludes with exercises to identify the vertex and axis of symmetry for given quadratic functions in canonical form.

Example: For g $x$ = x² - 8x, the vertex is W $4, -16$ and the axis of symmetry is x = 4.

Zobacz

Forms and Properties of Quadratic Functions

This page focuses on the different forms of funkcja kwadratowa and their properties.

Quadratic functions can be expressed in three forms:

General form: f $x$ = ax² + bx + c
Canonical form: f $x$ = a $x-p$ ² + q
Factored form $if it exists$

Example: Converting between forms y = -3 $x+1$ ² - 2 = -3 $x² + 2x + 1$ - 2 = -3x² - 6x - 3 - 2 = -3x² - 6x - 5

The page outlines key properties of quadratic functions based on the sign of the coefficient 'a':

For a > 0:

Domain is ℝ
Range is [q, +∞)
f $x$ decreases in the interval $-∞, p$ and increases in $p, +∞$
Axis of symmetry: x = p
Vertex: W $p, q$
Minimum: f_min $p$ = q

For a < 0, similar properties are listed with appropriate changes.

Highlight: The vertex of a quadratic function can be found using the formula p = -b / $2a$ .

Zobacz

Transformations and Forms of Quadratic Functions

This final page covers transformations between different forms of funkcja kwadratowa and introduces the concept of trójmian kwadratowy $quadratic trinomial$ .

The page demonstrates how to convert from general form to canonical form using the completing the square method:

y = ax² + bx + c = a $x² + (b/a$ x) + c = a $x² + (b/a$ x + $b/(2a$ )² - $b/(2a$ )²) + c = a $x + b/(2a$ )² - $b²/(4a$ ) + c

Definition: The quadratic trinomial has the form ax² + bx + c, which is equivalent to a quadratic function.

The page provides examples of converting quadratic functions to canonical form:

Example: f $x$ = 2x² - 12x + 19 can be transformed to 2 $x-3$ ² + 1

The concept of discriminant $Δ = b² - 4ac$ is introduced, which is useful in determining the nature of the roots of a quadratic equation.

Highlight: The canonical form of a quadratic function provides valuable information about its graph, including the vertex and axis of symmetry.

The page concludes with exercises to practice converting quadratic functions to canonical form and identifying key properties.

Podobne notatki

3105

Funkcja kwadratowa, wzory, delta, miejsca zerowe

Wzory (funkcje kwadratowe: ogólna, kanoniczna, iloczynowa; delta) i miejsca zerowe

Know Funkcja kwadratowa i jej postacie thumbnail

2923

1/2

Funkcja kwadratowa i jej postacie

Zagadnienia poruszone w notatce to rodzaje postaci funkcji kwadratowej i zamiana postaci funkcji.

1783

matematyka funkcja kwadratowa

Matematyka. funkcja kwadratowa (postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej)

760

1/2

Zamiana postaci ogólnej

metoda zamiany postaci ogólnej i przykład z wyjaśnieniem

Know Funkcja kwadratowa - postać kanoniczna thumbnail

2556

1/2

Funkcja kwadratowa - postać kanoniczna

Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

1403

funkcja kwadratowa

funkcja kwadratowa zakres rozszerzony

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

Knowunity zostało wyróżnione przez Apple i widnieje się na szczycie listy w sklepie z aplikacjami w kategorii edukacja w takich krajach jak Polska, Niemcy, Włochy, Francje, Szwajcaria i Wielka Brytania. Dołącz do Knowunity już dziś i pomóż milionom uczniów na całym świecie.

Pobierz z

Google Play

Pobierz z

App Store

Knowunity jest aplikacją edukacyjną #1 w pięciu krajach europejskich

4.9+

Średnia ocena aplikacji

21 M

Uczniowie korzystają z Knowunity

#1

W rankingach aplikacji edukacyjnych w 17 krajach

950 K+

Uczniowie, którzy przesłali notatki

Nadal nie jesteś pewien? Zobacz, co mówią inni uczniowie...

Użytkownik iOS

Tak bardzo kocham tę aplikację [...] Polecam Knowunity każdemu!!! Moje oceny poprawiły się dzięki tej aplikacji :D

Filip, użytkownik iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze zaprojektowana. Do tej pory zawsze znajdowałam wszystko, czego szukałam :D

Zuzia, użytkownik iOS

Uwielbiam tę aplikację ❤️ właściwie używam jej za każdym razem, gdy się uczę.

Przedmioty

Matematyka

Funkcje

Funkcja kwadratowa

Postać kanoniczna

Matematyka

•

902

•

30 mar 2022

•

4 strony

Funkcja kwadratowa: Notatki, Wzory i Zadania dla Dzieci

Natalia Buć

@nbuc

Funkcja kwadratowa może być przedstawiona w postaci ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Properties of Quadratic Functions in Canonical Form

This page delves deeper into the postać kanoniczna funkcji kwadratowej and its properties.

The canonical form of a quadratic function is given by y = a $x-p$ ² + q. The page provides exercises to practice converting quadratic functions to canonical form.

Example: a) y = -3x² + $-1, 3$ becomes y = -3 $x+1$ ² + 3 b) y = 2x² + $-0, -5$ becomes y = 2x² - 5 c) y = -x² + $5, 0$ becomes y = - $x-5$ ²

An important theorem states that the graph of y = a $x-p$ ² + q is obtained from the graph of f = ax² by a parallel translation by the vector $p, q$ .

Vocabulary: The vertex of a quadratic function in canonical form is located at the point W $p, q$ . The axis of symmetry has the equation x = p.

The page concludes with exercises to identify the vertex and axis of symmetry for given quadratic functions in canonical form.

Example: For g $x$ = x² - 8x, the vertex is W $4, -16$ and the axis of symmetry is x = 4.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Forms and Properties of Quadratic Functions

This page focuses on the different forms of funkcja kwadratowa and their properties.

Quadratic functions can be expressed in three forms:

General form: f $x$ = ax² + bx + c
Canonical form: f $x$ = a $x-p$ ² + q
Factored form $if it exists$

Example: Converting between forms y = -3 $x+1$ ² - 2 = -3 $x² + 2x + 1$ - 2 = -3x² - 6x - 3 - 2 = -3x² - 6x - 5

The page outlines key properties of quadratic functions based on the sign of the coefficient 'a':

For a > 0:

Domain is ℝ
Range is [q, +∞)
f $x$ decreases in the interval $-∞, p$ and increases in $p, +∞$
Axis of symmetry: x = p
Vertex: W $p, q$
Minimum: f_min $p$ = q

For a < 0, similar properties are listed with appropriate changes.

Highlight: The vertex of a quadratic function can be found using the formula p = -b / $2a$ .

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Transformations and Forms of Quadratic Functions

This final page covers transformations between different forms of funkcja kwadratowa and introduces the concept of trójmian kwadratowy $quadratic trinomial$ .

The page demonstrates how to convert from general form to canonical form using the completing the square method:

y = ax² + bx + c = a $x² + (b/a$ x) + c = a $x² + (b/a$ x + $b/(2a$ )² - $b/(2a$ )²) + c = a $x + b/(2a$ )² - $b²/(4a$ ) + c

Definition: The quadratic trinomial has the form ax² + bx + c, which is equivalent to a quadratic function.

The page provides examples of converting quadratic functions to canonical form:

Example: f $x$ = 2x² - 12x + 19 can be transformed to 2 $x-3$ ² + 1

The concept of discriminant $Δ = b² - 4ac$ is introduced, which is useful in determining the nature of the roots of a quadratic equation.

Highlight: The canonical form of a quadratic function provides valuable information about its graph, including the vertex and axis of symmetry.

The page concludes with exercises to practice converting quadratic functions to canonical form and identifying key properties.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Introduction to Quadratic Functions

This page introduces the concept of funkcja kwadratowa $quadratic function$ and its various forms.

A quadratic function is defined as a function that assigns to each real number x a value determined by the formula y = ax² + bx + c, where a ≠ 0 and a, b, c are real numbers. The page outlines different cases of quadratic functions based on the values of coefficients.

Definition: A quadratic function is described by the formula f $x$ = ax² + bx + c, where a ≠ 0 and a, b, c ∈ ℝ.

Example:

f $x$ = ax² $when b = 0 and c = 0$
f $x$ = ax² + bx $when c = 0$
f $x$ = ax² + c $when b = 0$
f $x$ = ax² + bx + c $full quadratic function$

The page also introduces the concept of postać kanoniczna funkcji kwadratowej $canonical form of a quadratic function$ , which is expressed as y = a $x-p$ ² + q.

Highlight: The canonical form provides valuable insights into the properties of the quadratic function, including its vertex and axis of symmetry.

Podobne notatki

Funkcja kwadratowa, wzory, delta, miejsca zerowe

3105

Funkcja kwadratowa i jej postacie

2923

matematyka funkcja kwadratowa

1783

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS