Proporcjonalność prosta i funkcja liniowa
Proporcjonalność prosta występuje, gdy dwie wielkości zmieniają się w tym samym stosunku. Opisujemy ją wzorem y=ax, gdzie a jest współczynnikiem proporcjonalności a=0. Na przykład, jeśli za 2 kg jabłek płacimy 6 zł, to za 4 kg zapłacimy 12 zł - stosunek zawsze wynosi xy=3.
Funkcja liniowa to rozszerzenie proporcjonalności prostej i zapisujemy ją wzorem y=ax+b. Tutaj a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a b wyrazem wolnym. Wykres funkcji liniowej to zawsze prosta, która przechodzi przez punkty (0,b) i (1,a+b).
Miejsce zerowe funkcji liniowej to punkt, w którym wykres przecina oś OX. Aby je znaleźć, rozwiązujemy równanie ax+b=0. Miejsce przecięcia z osią OY to zawsze punkt (0,b).
💡 Wskazówka: Aby łatwo wyznaczyć współczynnik kierunkowy funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty A$x_1$, $y_1$ i B$x_2$, $y_2$, użyj wzoru: a=x2−x1y2−y1
Znaczenie współczynnika kierunkowego
Współczynnik kierunkowy a mówi nam o nachyleniu prostej i określa charakter funkcji:
- Jeśli a>0 - funkcja jest rosnąca (wykres idzie "w górę")
- Jeśli a<0 - funkcja jest malejąca (wykres idzie "w dół")
- Jeśli a=0 - funkcja jest stała (wykres to pozioma linia)
Dwie proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe $a_1=a_2$. Są natomiast prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1 $a_1 \cdot a_2=-1$.
Pamiętaj, że wykres proporcjonalności prostej wzór $y=ax$ zawsze przechodzi przez początek układu współrzędnych (0,0), podczas gdy wykres ogólnej funkcji liniowej może przecinać oś OY w dowolnym punkcie.