Funkcje Liniowe i Proporcjonalność Prosta z Przykładami

Madzmel

29.07.2025

Matematyka

funkcje liniowe

Przedmioty

Matematyka

Geometria na płaszczyźnie

Równanie prostej na płaszczyźnie

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty w postaci kierunkowej

2134

•

29 lip 2025

•

2 strony

Funkcje Liniowe i Proporcjonalność Prosta z Przykładami

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Madzmel

@madzmel

Proporcjonalność prosta i funkcja liniowa to jedne z najważniejszych tematów... Pokaż więcej

1 PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA
Jeśli dwie wielkości zmienia ją się w tym samym stosunku to mówimy że te wielkości są wprost proporcjonalne
Propor

Proporcjonalność prosta i funkcja liniowa

Proporcjonalność prosta występuje, gdy dwie wielkości zmieniają się w tym samym stosunku. Opisujemy ją wzorem $y=ax$ , gdzie $a$ jest współczynnikiem proporcjonalności (a≠0). Na przykład, jeśli za 2 kg jabłek płacimy 6 zł, to za 4 kg zapłacimy 12 zł - stosunek zawsze wynosi $\frac{y}{x}=3$ .

Funkcja liniowa to rozszerzenie proporcjonalności prostej i zapisujemy ją wzorem $y=ax+b$ . Tutaj $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a $b$ wyrazem wolnym. Wykres funkcji liniowej to zawsze prosta, która przechodzi przez punkty $(0,b)$ i $(1,a+b)$ .

Miejsce zerowe funkcji liniowej to punkt, w którym wykres przecina oś OX. Aby je znaleźć, rozwiązujemy równanie $ax+b=0$ . Miejsce przecięcia z osią OY to zawsze punkt $(0,b)$ .

💡 Wskazówka: Aby łatwo wyznaczyć współczynnik kierunkowy funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty A( $x_1$ , $y_1$ ) i B( $x_2$ , $y_2$ ), użyj wzoru: $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Znaczenie współczynnika kierunkowego

Współczynnik kierunkowy $a$ mówi nam o nachyleniu prostej i określa charakter funkcji:

Jeśli $a>0$ - funkcja jest rosnąca (wykres idzie "w górę")
Jeśli $a<0$ - funkcja jest malejąca (wykres idzie "w dół")
Jeśli $a=0$ - funkcja jest stała (wykres to pozioma linia)

Dwie proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe ( $a_1=a_2$ ). Są natomiast prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1 ( $a_1 \cdot a_2=-1$ ).

Pamiętaj, że wykres proporcjonalności prostej (wzór $y=ax$ ) zawsze przechodzi przez początek układu współrzędnych $(0,0)$ , podczas gdy wykres ogólnej funkcji liniowej może przecinać oś OY w dowolnym punkcie.

Własności i zastosowania funkcji liniowej

Funkcja liniowa jest jednym z najprostszych, ale i najważniejszych typów funkcji. Dzięki niej możesz modelować wiele rzeczywistych sytuacji, np. obliczać koszt zakupów, przewidywać wzrost populacji czy analizować zależności fizyczne.

Jak obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej? To proste! Musisz podstawić $y=0$ do wzoru $y=ax+b$ i rozwiązać równanie względem $x$ . Otrzymasz wzór $x=-\frac{b}{a}$ (oczywiście gdy $a≠0$ ). Jest to punkt przecięcia wykresu z osią OX.

Wykresy funkcji liniowych w układzie współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki. W zależności od wartości współczynników $a$ i $b$ , wykres może przechodzić przez różne ćwiartki. To pomaga określić, dla jakich wartości $x$ funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne.

🔍 Ciekawostka: Proporcjonalność prosta i odwrotna to dwa przeciwstawne typy zależności. W proporcjonalności prostej wielkości zmieniają się w tym samym kierunku, a w odwrotnej - gdy jedna rośnie, druga maleje.

Rozwiązując zadania z proporcjonalności prostej w klasie 7, warto zawsze najpierw sprawdzić, czy dane wielkości rzeczywiście są wprost proporcjonalne. Sprawdź, czy stosunek $\frac{y}{x}$ jest stały dla wszystkich danych par wartości.

Współczynnik kierunkowy możesz też interpretować jako "tempo zmiany" - mówi on, o ile zmieni się wartość $y$ , gdy $x$ wzrośnie o 1. Im większa wartość bezwzględna współczynnika, tym bardziej stroma jest prosta.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

geometria analityczna

2283

Funkcja liniowa- powtórka do matury

2037

100

geometria analityczna matematyka

10285

242

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Geometria na płaszczyźnie

Równanie prostej na płaszczyźnie

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty w postaci kierunkowej

Matematyka

•

2134

•

29 lip 2025

•

2 strony

Funkcje Liniowe i Proporcjonalność Prosta z Przykładami

Madzmel

@madzmel

Proporcjonalność prosta i funkcja liniowa to jedne z najważniejszych tematów matematycznych w klasie 7. Zrozumienie tych pojęć pomoże Ci opisywać zależności między wielkościami i rozwiązywać wiele praktycznych problemów. Poznasz też, jak interpretować wykresy funkcji liniowych.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Proporcjonalność prosta i funkcja liniowa

Miejsce zerowe funkcji liniowej to punkt, w którym wykres przecina oś OX. Aby je znaleźć, rozwiązujemy równanie $ax+b=0$ . Miejsce przecięcia z osią OY to zawsze punkt $(0,b)$ .

💡 Wskazówka: Aby łatwo wyznaczyć współczynnik kierunkowy funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty A( $x_1$ , $y_1$ ) i B( $x_2$ , $y_2$ ), użyj wzoru: $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Znaczenie współczynnika kierunkowego

Współczynnik kierunkowy $a$ mówi nam o nachyleniu prostej i określa charakter funkcji:

Jeśli $a>0$ - funkcja jest rosnąca (wykres idzie "w górę")
Jeśli $a<0$ - funkcja jest malejąca (wykres idzie "w dół")
Jeśli $a=0$ - funkcja jest stała (wykres to pozioma linia)

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Własności i zastosowania funkcji liniowej

🔍 Ciekawostka: Proporcjonalność prosta i odwrotna to dwa przeciwstawne typy zależności. W proporcjonalności prostej wielkości zmieniają się w tym samym kierunku, a w odwrotnej - gdy jedna rośnie, druga maleje.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Podobne notatki

geometria analityczna

2283

Funkcja liniowa- powtórka do matury

2037

100

geometria analityczna matematyka

10285

242

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS