Geometria: Okrąg, Proste i Odcinki w Układzie Współrzędnych - Zadania PDF

391

kuba_study

6.10.2025

Matematyka

Geometria analityczna

Przedmioty

Matematyka

Geometria na płaszczyźnie

Równanie prostej na płaszczyźnie

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty w postaci kierunkowej

8579

•

6 paź 2025

•

2 strony

Geometria: Okrąg, Proste i Odcinki w Układzie Współrzędnych - Zadania PDF

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

kuba_study

@kuba_study

Geometria analitycznato kluczowe zagadnienie w matematyce, obejmujące analizę figur... Pokaż więcej

# Geometria analityczna

Geometria analityczna dotyczy figur umieszczonych w
układzie współrzędnych. Zawsze na pierwszym miejscu
jest współr

Równania prostych i okręgów

Ta część dokumentu skupia się na bardziej zaawansowanych aspektach geometrii na płaszczyźnie kartezjańskiej, prezentując różne formy równań prostych i okręgów oraz relacje między nimi.

Przedstawiono równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:

Formula: $y - y₁$ / $y₂ - y₁$ = $x - x₁$ / $x₂ - x₁$

Omówiono również równanie ogólne prostej w postaci Ax + By + C = 0.

Highlight: Proste równoległe do Ax + By + C = 0 mają postać Ax + By + C₁ = 0, a prostopadłe: -Bx + Ay + C' = 0.

Dokument prezentuje warunki prostopadłości prostych:

Dla funkcji liniowych: a × a₁ = -1
Dla równań ogólnych: AA₁ + BB₁ = 0

Example: Proste y = 2x + 1 i y = -1/2x + 3 są prostopadłe, ponieważ 2 × $-1/2$ = -1.

W dalszej części omówiono równanie okręgu. Przedstawiono jego postać kanoniczną:

Definition: Równanie kanoniczne okręgu to $x - x₀$ ² + $y - y₀$ ² = r², gdzie (x₀, y₀) to środek okręgu, a r to promień.

Zaprezentowano również ogólną postać równania okręgu: x² + y² + ax + by + c = 0, wraz z wzorami na obliczenie środka i promienia:

Formula: Środek okręgu: S $-a/2, -b/2$ , Promień: r = √ $(a² + b² - 4c$ / 4)

Dokument kończy się warunkiem istnienia okręgu dla równania ogólnego: a² + b² - 4c > 0.

Podstawy geometrii analitycznej

Geometria analityczna to dziedzina matematyki, która łączy algebrę z geometrią, umożliwiając analizę figur geometrycznych w układzie współrzędnych. Dokument rozpoczyna się od przedstawienia kluczowych pojęć i wzorów.

Highlight: W geometrii analitycznej zawsze najpierw podaje się współrzędną x, a następnie y, np. (1,4).

Omówiono równanie kierunkowe prostej, które ma postać y = ax + b. Jest to fundamentalne równanie dla prostych nieprostopadłych do osi OX.

Definition: Równanie kierunkowe prostej to y = ax + b, gdzie a to współczynnik kierunkowy, a b to wyraz wolny.

Przedstawiono również ważne wzory dotyczące odcinków:

Długość odcinka: |AB| = √ $(x₂-x₁$ ² + $y₂-y₁$ ²)
Środek odcinka: $(x₁+x₂$ /2, $y₁+y₂$ /2)
Środek ciężkości trójkąta: $(x₁+x₂+x₃$ /3, $y₁+y₂+y₃$ /3)

Example: Dla odcinka AB, gdzie A $1,2$ i B $4,6$ , długość wynosi |AB| = √ $(4-1$ ² + $6-2$ ²) = √25 = 5.

Dokument wyjaśnia także pojęcie kąta nachylenia prostej do osi OX, wprowadzając zależność między współczynnikiem kierunkowym a i tangensem kąta nachylenia α: tg α = a.

Vocabulary: Kąt nachylenia prostej to kąt między prostą a dodatnią półosią OX.

Na końcu strony przedstawiono warunek równoległości prostych: dwie proste y = ax + b i y = a₁x + b₁ są równoległe, gdy a = a₁.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

funkcje liniowe

2152

geometria analityczna

2105

geometria analityczna równanie ogólne prostej odległość punktu od prostej rozpoznanie prostych

6170

219

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Geometria na płaszczyźnie

Równanie prostej na płaszczyźnie

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty w postaci kierunkowej

Matematyka

•

8579

•

6 paź 2025

•

2 strony

Geometria: Okrąg, Proste i Odcinki w Układzie Współrzędnych - Zadania PDF

kuba_study

@kuba_study

Geometria analityczna to kluczowe zagadnienie w matematyce, obejmujące analizę figur geometrycznych w układzie współrzędnych. Dokument omawia podstawowe pojęcia, wzory i techniki związane z prostymi i okręgami w układzie kartezjańskim, co jest istotne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów maturalnych.

•... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Równania prostych i okręgów

Przedstawiono równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:

Formula: $y - y₁$ / $y₂ - y₁$ = $x - x₁$ / $x₂ - x₁$

Omówiono również równanie ogólne prostej w postaci Ax + By + C = 0.

Highlight: Proste równoległe do Ax + By + C = 0 mają postać Ax + By + C₁ = 0, a prostopadłe: -Bx + Ay + C' = 0.

Dokument prezentuje warunki prostopadłości prostych:

Dla funkcji liniowych: a × a₁ = -1
Dla równań ogólnych: AA₁ + BB₁ = 0

Example: Proste y = 2x + 1 i y = -1/2x + 3 są prostopadłe, ponieważ 2 × $-1/2$ = -1.

W dalszej części omówiono równanie okręgu. Przedstawiono jego postać kanoniczną:

Definition: Równanie kanoniczne okręgu to $x - x₀$ ² + $y - y₀$ ² = r², gdzie (x₀, y₀) to środek okręgu, a r to promień.

Zaprezentowano również ogólną postać równania okręgu: x² + y² + ax + by + c = 0, wraz z wzorami na obliczenie środka i promienia:

Formula: Środek okręgu: S $-a/2, -b/2$ , Promień: r = √ $(a² + b² - 4c$ / 4)

Dokument kończy się warunkiem istnienia okręgu dla równania ogólnego: a² + b² - 4c > 0.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawy geometrii analitycznej

Highlight: W geometrii analitycznej zawsze najpierw podaje się współrzędną x, a następnie y, np. (1,4).

Omówiono równanie kierunkowe prostej, które ma postać y = ax + b. Jest to fundamentalne równanie dla prostych nieprostopadłych do osi OX.

Definition: Równanie kierunkowe prostej to y = ax + b, gdzie a to współczynnik kierunkowy, a b to wyraz wolny.

Przedstawiono również ważne wzory dotyczące odcinków:

Długość odcinka: |AB| = √ $(x₂-x₁$ ² + $y₂-y₁$ ²)
Środek odcinka: $(x₁+x₂$ /2, $y₁+y₂$ /2)
Środek ciężkości trójkąta: $(x₁+x₂+x₃$ /3, $y₁+y₂+y₃$ /3)

Example: Dla odcinka AB, gdzie A $1,2$ i B $4,6$ , długość wynosi |AB| = √ $(4-1$ ² + $6-2$ ²) = √25 = 5.

Dokument wyjaśnia także pojęcie kąta nachylenia prostej do osi OX, wprowadzając zależność między współczynnikiem kierunkowym a i tangensem kąta nachylenia α: tg α = a.

Vocabulary: Kąt nachylenia prostej to kąt między prostą a dodatnią półosią OX.

Na końcu strony przedstawiono warunek równoległości prostych: dwie proste y = ax + b i y = a₁x + b₁ są równoległe, gdy a = a₁.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

391

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Własności Funkcji Liniowej

Odkryj kluczowe własności funkcji liniowej oraz ich zastosowania w matematyce. Ten materiał zawiera szczegółowe omówienie równań liniowych, ich graficznych reprezentacji oraz praktycznych przykładów. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Równania prostych i okręgów

Zrozum podstawowe pojęcia geometrii analitycznej, w tym równania prostych przechodzących przez dwa punkty, odległość punktu od prostej, oraz warunki równoległości i prostopadłości prostych. Dowiedz się, jak obliczyć długość odcinka, znaleźć jego środek oraz zdefiniować równanie okręgu. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Równania Prostej i Odległość

Zrozumienie równań prostych w geometrii analitycznej, w tym równanie kierunkowe, ogólne oraz metody obliczania odległości punktu od prostej. Przykłady i ćwiczenia pomagające w przyswojeniu kluczowych koncepcji. Typ: Podsumowanie.

Matematyka

Zadania z funkcji liniowej

Rozwiązywanie zadań maturalnych dotyczących funkcji liniowej, w tym obliczanie współczynników kierunkowych, równań prostych oraz ich właściwości. Idealne dla uczniów przygotowujących się do matury. Zawiera przykłady i szczegółowe rozwiązania.

Matematyka

Równania Geometrii Analitycznej

Zbiór kluczowych wzorów i równań z geometrii analitycznej, obejmujący długość odcinka, równania prostych oraz okręgów. Idealne dla studentów przygotowujących się do egzaminów z matematyki. Zawiera przykłady i zastosowania w zadaniach.

Matematyka

Podobne notatki

funkcje liniowe

2152

geometria analityczna

2105

geometria analityczna równanie ogólne prostej odległość punktu od prostej rozpoznanie prostych

6170

219

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS