Otwórz aplikację

Przedmioty

Geometria płaska: Czworokąty, Trapezy i Twierdzenia sinusów

37

0

user profile picture

Julia Guratowska

1.05.2022

Matematyka

Geometria płaska- czworokąty, powtorka z trójkątów

1732

1 maj 2022

2 strony

Geometria płaska: Czworokąty, Trapezy i Twierdzenia sinusów

user profile picture

Julia Guratowska

@juliaguratowska1

Geometria płaska - czworokątyto kluczowy temat w matematyce, obejmujący... Pokaż więcej

Czworokąty
ŚRODKOWA Tączy wierzchotek trojkąta
przeciwległego boku.
W A równoramiennym: punk przecięcia środkowych dzieli
je w stosunku 1:2

Rodzaje czworokątów i ich własności

Ta część materiału koncentruje się na różnych rodzajach czworokątów, ich własnościach oraz związanych z nimi twierdzeniach. Jest to kluczowa wiedza dla uczniów studiujących Geometria płaska 2 liceum.

Omówiono podział czworokątów na:

  • Trapezoidy - nie mające żadnej pary boków równoległych
  • Trapezy - mające co najmniej jedną parę boków równoległych

Szczególną uwagę poświęcono deltoidowi, prezentując jego najważniejsze własności:

  • Posiada oś symetrii
  • Przekątne są prostopadłe
  • Ma parę kątów przeciwległych o równych miarach

Highlight: Deltoid to czworokąt o szczególnych własnościach symetrii i prostopadłości przekątnych.

W materiale przedstawiono również własności trapezu, w tym ważną informację, że suma kątów przy każdym ramieniu trapezu wynosi 180°.

Definition: Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

Omówiono także własności trapezu równoramiennego, podkreślając, że jego przekątne są tej samej długości, a wysokość dzieli podstawy na odcinki o długościach h i 2h.

Example: W trapezie równoramiennym przekątna dzieli dłuższą podstawę na odcinki o długościach h i 2h.

Materiał zawiera również informacje o twierdzeniu sinusów i cosinusów, które są kluczowe dla rozwiązywania zadań z geometrii płaskiej - okręgi i koła. Przedstawiono wzory dla tych twierdzeń, co jest niezwykle przydatne przy przygotowaniach do Twierdzenie sinusów i cosinusów sprawdzian.

Vocabulary: Twierdzenie sinusów: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R, gdzie R to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Vocabulary: Twierdzenie cosinusów: a² = b² + c² - 2bc cos α, gdzie a, b, c to boki trójkąta, a α to kąt przeciwległy do boku a.

Materiał ten stanowi kompleksowe źródło wiedzy na temat czworokątów i związanych z nimi twierdzeń, co czyni go nieocenionym narzędziem dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z geometrii płaskiej.

Czworokąty
ŚRODKOWA Tączy wierzchotek trojkąta
przeciwległego boku.
W A równoramiennym: punk przecięcia środkowych dzieli
je w stosunku 1:2

Podstawowe pojęcia i własności czworokątów

W tej części materiału skupiono się na podstawowych pojęciach związanych z czworokątami oraz ich własnościach. Omówiono różne elementy geometryczne, które są kluczowe dla zrozumienia geometrii płaskiej.

Definicja: Środkowa w trójkącie to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

Highlight: W trójkącie równoramiennym punkt przecięcia środkowych dzieli je w stosunku 1:2.

Przedstawiono również pojęcie symetralnej, która jest prostą prostopadłą do odcinka i przechodzącą przez jego środek.

Vocabulary: Symetralna to prosta prostopadła do odcinka, przechodząca przez jego środek.

Omówiono także własności symetralnej, podkreślając, że każdy punkt na symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka.

W materiale znalazły się również informacje dotyczące trójkątów, które są istotne dla zrozumienia geometrii płaskiej - pojęć wstępnych. Wspomniano o trójkątach o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°, które są często wykorzystywane w zadaniach z geometrii płaskiej.

Example: Trójkąt prostokątny o kątach 45°, 45°, 90° jest połową kwadratu.

Materiał zawiera także informację o sumie kątów w czworokącie, która zawsze wynosi 360°. Jest to fundamentalna wiedza dla uczniów przygotowujących się do Geometria płaska Sprawdzian.



Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Co to jest twierdzenie sinusów i kiedy je stosujemy?

Twierdzenie sinusów to ważna zależność matematyczna, która mówi nam, że stosunek długości boku trójkąta do sinusa kąta przeciwległego jest stały dla wszystkich boków. Stosujemy je głównie wtedy, gdy znamy dwa kąty i jeden bok trójkąta i chcemy obliczyć pozostałe boki. Twierdzenie sinusów i cosinusów wzory są niezbędne przy rozwiązywaniu zadań z trójkątami, w których nie mamy kąta prostego. W geometrii płaskiej 2 liceum jest to jedno z kluczowych twierdzeń, które pozwala rozwiązywać bardziej zaawansowane problemy.

Jakie są podstawowe własności trapezu równoramiennego?

Trapez równoramienny to szczególny rodzaj trapezu, który ma ramiona tej samej długości. Jego najważniejsze cechy to: przekątne mają równe długości, kąty przy tej samej podstawie są równe, a wysokość dzieli podstawę na odcinki w specyficzny sposób. Własności trapezu równoramiennego sprawiają, że jest on bardzo przydatny w wielu zadaniach geometrycznych. Pamiętaj też, że znając wzór na wysokość trapezu równoramiennego możesz łatwo obliczyć jego pole, gdy znasz długości podstaw i ramion.

Jak obliczyć pole czworokąta i jakie wzory warto znać?

Obliczanie pola czworokąta zależy od jego rodzaju. Dla prostokąta to iloczyn boków, dla kwadratu kwadrat boku, dla rombu połowa iloczynu przekątnych, a dla trapezu połowa iloczynu sumy podstaw i wysokości. Warto zapamiętać, że suma kątów w czworokącie zawsze wynosi 360°. Geometria płaska - pole czworokąta to temat, który wymaga znajomości różnych wzorów w zależności od typu figury. Przed geometria płaska sprawdzian warto powtórzyć wszystkie podstawowe wzory i własności czworokątów.

Czym jest dwusieczna kąta i jakie ma właściwości?

Dwusieczna kąta to półprosta, która dzieli kąt na dwa równe kąty. Jej główną właściwością jest to, że każdy punkt leżący na dwusiecznej jest jednakowo oddalony od ramion kąta. To bardzo przydatna własność przy rozwiązywaniu wielu zadań. W geometrii płaskiej - pojęcia wstępne dwusieczna jest jednym z podstawowych pojęć, podobnie jak symetralna odcinka. Twierdzenie sinusów i cosinusów zadania często wykorzystują właściwości dwusiecznych, szczególnie w trójkątach, gdzie dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie.

Dodatkowe Źródła

  1. Matematyka z plusem - Geometria płaska przez M. Dobrowolska, M. Karpiński, J. Lech, GWO 2020, Podręcznik, Przystępne wyjaśnienie zagadnień geometrii płaskiej, czworokątów i twierdzenia sinusów i cosinusów

  2. Zbiór zadań z geometrii płaskiej przez Jerzy Piórek, Oficyna Edukacyjna 2019, Zbiór zadań, Bogaty wybór zadań dotyczących czworokątów, trapezów i zastosowań twierdzenia sinusów i cosinusów

  3. Matematyka krok po kroku - Geometria przez Piotr Wróblewski, WSiP 2021, Podręcznik, Szczegółowe omówienie własności czworokątów z wieloma przykładami zastosowania wzorów

  4. Vademecum maturalne - Matematyka przez Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro 2022, Kompendium wiedzy, Kompleksowe zestawienie wzorów i własności dotyczących geometrii płaskiej, w tym trapezów równoramiennych

Sprawdź swoją wiedzę

  1. Stwórz karty z najważniejszymi wzorami dotyczącymi trapezów równoramiennych i twierdzenia sinusów/cosinusów - narysuj przykładowe czworokąty i zaznacz ich przekątne, wysokości oraz kąty, podpisując odpowiednie wzory.

  2. Wykorzystaj aplikację GeoGebra do samodzielnego odkrywania własności czworokątów - zbuduj trapez równoramienny i sprawdź, jak zmieniają się jego przekątne, gdy modyfikujesz długości podstaw i ramion.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

 

Matematyka

1732

1 maj 2022

2 strony

Geometria płaska: Czworokąty, Trapezy i Twierdzenia sinusów

user profile picture

Julia Guratowska

@juliaguratowska1

Geometria płaska - czworokąty to kluczowy temat w matematyce, obejmujący różne rodzaje czworokątów, ich własności oraz związane z nimi twierdzenia. Materiał ten jest istotny dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z geometrii płaskiej.

  • Omówiono różne typy czworokątów, w tym trapezoidy... Pokaż więcej

Czworokąty
ŚRODKOWA Tączy wierzchotek trojkąta
przeciwległego boku.
W A równoramiennym: punk przecięcia środkowych dzieli
je w stosunku 1:2

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Rodzaje czworokątów i ich własności

Ta część materiału koncentruje się na różnych rodzajach czworokątów, ich własnościach oraz związanych z nimi twierdzeniach. Jest to kluczowa wiedza dla uczniów studiujących Geometria płaska 2 liceum.

Omówiono podział czworokątów na:

  • Trapezoidy - nie mające żadnej pary boków równoległych
  • Trapezy - mające co najmniej jedną parę boków równoległych

Szczególną uwagę poświęcono deltoidowi, prezentując jego najważniejsze własności:

  • Posiada oś symetrii
  • Przekątne są prostopadłe
  • Ma parę kątów przeciwległych o równych miarach

Highlight: Deltoid to czworokąt o szczególnych własnościach symetrii i prostopadłości przekątnych.

W materiale przedstawiono również własności trapezu, w tym ważną informację, że suma kątów przy każdym ramieniu trapezu wynosi 180°.

Definition: Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

Omówiono także własności trapezu równoramiennego, podkreślając, że jego przekątne są tej samej długości, a wysokość dzieli podstawy na odcinki o długościach h i 2h.

Example: W trapezie równoramiennym przekątna dzieli dłuższą podstawę na odcinki o długościach h i 2h.

Materiał zawiera również informacje o twierdzeniu sinusów i cosinusów, które są kluczowe dla rozwiązywania zadań z geometrii płaskiej - okręgi i koła. Przedstawiono wzory dla tych twierdzeń, co jest niezwykle przydatne przy przygotowaniach do Twierdzenie sinusów i cosinusów sprawdzian.

Vocabulary: Twierdzenie sinusów: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R, gdzie R to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Vocabulary: Twierdzenie cosinusów: a² = b² + c² - 2bc cos α, gdzie a, b, c to boki trójkąta, a α to kąt przeciwległy do boku a.

Materiał ten stanowi kompleksowe źródło wiedzy na temat czworokątów i związanych z nimi twierdzeń, co czyni go nieocenionym narzędziem dla uczniów przygotowujących się do sprawdzianów z geometrii płaskiej.

Czworokąty
ŚRODKOWA Tączy wierzchotek trojkąta
przeciwległego boku.
W A równoramiennym: punk przecięcia środkowych dzieli
je w stosunku 1:2

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawowe pojęcia i własności czworokątów

W tej części materiału skupiono się na podstawowych pojęciach związanych z czworokątami oraz ich własnościach. Omówiono różne elementy geometryczne, które są kluczowe dla zrozumienia geometrii płaskiej.

Definicja: Środkowa w trójkącie to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

Highlight: W trójkącie równoramiennym punkt przecięcia środkowych dzieli je w stosunku 1:2.

Przedstawiono również pojęcie symetralnej, która jest prostą prostopadłą do odcinka i przechodzącą przez jego środek.

Vocabulary: Symetralna to prosta prostopadła do odcinka, przechodząca przez jego środek.

Omówiono także własności symetralnej, podkreślając, że każdy punkt na symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka.

W materiale znalazły się również informacje dotyczące trójkątów, które są istotne dla zrozumienia geometrii płaskiej - pojęć wstępnych. Wspomniano o trójkątach o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°, które są często wykorzystywane w zadaniach z geometrii płaskiej.

Example: Trójkąt prostokątny o kątach 45°, 45°, 90° jest połową kwadratu.

Materiał zawiera także informację o sumie kątów w czworokącie, która zawsze wynosi 360°. Jest to fundamentalna wiedza dla uczniów przygotowujących się do Geometria płaska Sprawdzian.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Co to jest twierdzenie sinusów i kiedy je stosujemy?

Twierdzenie sinusów to ważna zależność matematyczna, która mówi nam, że stosunek długości boku trójkąta do sinusa kąta przeciwległego jest stały dla wszystkich boków. Stosujemy je głównie wtedy, gdy znamy dwa kąty i jeden bok trójkąta i chcemy obliczyć pozostałe boki. Twierdzenie sinusów i cosinusów wzory są niezbędne przy rozwiązywaniu zadań z trójkątami, w których nie mamy kąta prostego. W geometrii płaskiej 2 liceum jest to jedno z kluczowych twierdzeń, które pozwala rozwiązywać bardziej zaawansowane problemy.

Jakie są podstawowe własności trapezu równoramiennego?

Trapez równoramienny to szczególny rodzaj trapezu, który ma ramiona tej samej długości. Jego najważniejsze cechy to: przekątne mają równe długości, kąty przy tej samej podstawie są równe, a wysokość dzieli podstawę na odcinki w specyficzny sposób. Własności trapezu równoramiennego sprawiają, że jest on bardzo przydatny w wielu zadaniach geometrycznych. Pamiętaj też, że znając wzór na wysokość trapezu równoramiennego możesz łatwo obliczyć jego pole, gdy znasz długości podstaw i ramion.

Jak obliczyć pole czworokąta i jakie wzory warto znać?

Obliczanie pola czworokąta zależy od jego rodzaju. Dla prostokąta to iloczyn boków, dla kwadratu kwadrat boku, dla rombu połowa iloczynu przekątnych, a dla trapezu połowa iloczynu sumy podstaw i wysokości. Warto zapamiętać, że suma kątów w czworokącie zawsze wynosi 360°. Geometria płaska - pole czworokąta to temat, który wymaga znajomości różnych wzorów w zależności od typu figury. Przed geometria płaska sprawdzian warto powtórzyć wszystkie podstawowe wzory i własności czworokątów.

Czym jest dwusieczna kąta i jakie ma właściwości?

Dwusieczna kąta to półprosta, która dzieli kąt na dwa równe kąty. Jej główną właściwością jest to, że każdy punkt leżący na dwusiecznej jest jednakowo oddalony od ramion kąta. To bardzo przydatna własność przy rozwiązywaniu wielu zadań. W geometrii płaskiej - pojęcia wstępne dwusieczna jest jednym z podstawowych pojęć, podobnie jak symetralna odcinka. Twierdzenie sinusów i cosinusów zadania często wykorzystują właściwości dwusiecznych, szczególnie w trójkątach, gdzie dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie.

Dodatkowe Źródła

  1. Matematyka z plusem - Geometria płaska przez M. Dobrowolska, M. Karpiński, J. Lech, GWO 2020, Podręcznik, Przystępne wyjaśnienie zagadnień geometrii płaskiej, czworokątów i twierdzenia sinusów i cosinusów

  2. Zbiór zadań z geometrii płaskiej przez Jerzy Piórek, Oficyna Edukacyjna 2019, Zbiór zadań, Bogaty wybór zadań dotyczących czworokątów, trapezów i zastosowań twierdzenia sinusów i cosinusów

  3. Matematyka krok po kroku - Geometria przez Piotr Wróblewski, WSiP 2021, Podręcznik, Szczegółowe omówienie własności czworokątów z wieloma przykładami zastosowania wzorów

  4. Vademecum maturalne - Matematyka przez Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro 2022, Kompendium wiedzy, Kompleksowe zestawienie wzorów i własności dotyczących geometrii płaskiej, w tym trapezów równoramiennych

Sprawdź swoją wiedzę

  1. Stwórz karty z najważniejszymi wzorami dotyczącymi trapezów równoramiennych i twierdzenia sinusów/cosinusów - narysuj przykładowe czworokąty i zaznacz ich przekątne, wysokości oraz kąty, podpisując odpowiednie wzory.

  2. Wykorzystaj aplikację GeoGebra do samodzielnego odkrywania własności czworokątów - zbuduj trapez równoramienny i sprawdź, jak zmieniają się jego przekątne, gdy modyfikujesz długości podstaw i ramion.

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄​

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.