Kombinatoryka: Wzory i Zadania z Permutacji, Wariacji i Kombinacji

weronika dąbkowska

16.10.2025

Matematyka

Kombinatoryka

Matematyka

Teoria Kombinatoryki Wyborowej

Kombinatoryka

2042

•

16 paź 2025

•

1 strona

Kombinatoryka: Wzory i Zadania z Permutacji, Wariacji i Kombinacji

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

weronika dąbkowska

@weeronikka

Kombinatoryka to dziedzina matematyki, która pomoże Ci obliczyć, ile różnych... Pokaż więcej

kombinatoryko
Czy ważna jest kolejność występowania elementów?
NIE
TAK
Kombinacje bez powtórzeń
C =
k!-(n-k)!
k
Cn
bez powtórzeń
n!
k!.(n-k)

Podstawy kombinatoryki

Kombinatoryka pomaga odpowiedzieć na pytanie: "Na ile sposobów mogę to zrobić?". Wszystko zależy od dwóch kluczowych pytań: czy ważna jest kolejność elementów oraz czy elementy mogą się powtarzać?

Gdy wybierasz elementy bez zwracania uwagi na ich kolejność, masz do czynienia z kombinacjami. Przykładowo, wybór 3 owoców z koszyka 10 różnych owoców to kombinacja. Nie ma znaczenia, czy najpierw weźmiesz jabłko, czy banan.

Jeśli kolejność jest istotna, mówisz o wariacjach (np. kod PIN) lub permutacjach (gdy używasz wszystkich elementów, np. ustawianie książek na półce).

Wskazówka: Żeby łatwo zapamiętać różnicę, pomyśl: kombinacje to jak zakupy (ważne co wybierasz, nieważna kolejność), wariacje to jak kod PIN (ważne co i w jakiej kolejności), a permutacje to jak ustawianie wszystkich książek na półce (używasz wszystkich elementów).

Wzory w kombinatoryce

Kombinacje bez powtórzeń to wybór k elementów z n-elementowego zbioru, bez znaczenia kolejności. Wzór to: $C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Kombinacje z powtórzeniami pozwalają na wielokrotny wybór tego samego elementu. Wzór: $C^k_n = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

Wariacje bez powtórzeń to uporządkowane ciągi k elementów wybranych z n-elementowego zbioru. Wzór: $V^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}$

Wariacje z powtórzeniami pozwalają na wielokrotne użycie tych samych elementów. Wzór: $W^k_n = n^k$

Permutacje bez powtórzeń to wszystkie możliwe uporządkowania n elementów. Wzór: $P_n = n!$

Permutacje z powtórzeniami to uporządkowania, gdy niektóre elementy się powtarzają. Wzór: $P'^k_n = \frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}$ , gdzie n₁, n₂, ... to liczby powtórzeń elementów.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Obliczanie pól figur geometrycznych

1787

Kombinatoryka

280

Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych i dodatnich

3258

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Matematyka

Teoria Kombinatoryki Wyborowej

Kombinatoryka

Matematyka

16 paź 2025

2042

1 strona

Kombinatoryka: Wzory i Zadania z Permutacji, Wariacji i Kombinacji

weronika dąbkowska @weeronikka

Obserwuj

Kombinatoryka to dziedzina matematyki, która pomoże Ci obliczyć, ile różnych sposobów wyboru lub uporządkowania elementów istnieje. Poznasz proste wzory na permutacje, kombinacje i wariacje, które przydadzą Ci się nie tylko... Pokaż więcej

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Podstawy kombinatoryki

Kombinatoryka pomaga odpowiedzieć na pytanie "Na ile sposobów mogę to zrobić?". Wszystko zależy od dwóch kluczowych pytań czy ważna jest kolejność elementów oraz czy elementy mogą się powtarzać?

Jeśli kolejność jest istotna, mówisz o wariacjach (np. kod PIN) lub permutacjach (gdy używasz wszystkich elementów, np. ustawianie książek na półce).

Wskazówka Żeby łatwo zapamiętać różnicę, pomyśl kombinacje to jak zakupy (ważne co wybierasz, nieważna kolejność), wariacje to jak kod PIN (ważne co i w jakiej kolejności), a permutacje to jak ustawianie wszystkich książek na półce (używasz wszystkich elementów).

Wzory w kombinatoryce

Kombinacje bez powtórzeń to wybór k elementów z n-elementowego zbioru, bez znaczenia kolejności. Wzór to $C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Kombinacje z powtórzeniami pozwalają na wielokrotny wybór tego samego elementu. Wzór $C^k_n = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

Wariacje bez powtórzeń to uporządkowane ciągi k elementów wybranych z n-elementowego zbioru. Wzór $V^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}$

Wariacje z powtórzeniami pozwalają na wielokrotne użycie tych samych elementów. Wzór $W^k_n = n^k$

Permutacje bez powtórzeń to wszystkie możliwe uporządkowania n elementów. Wzór $P_n = n!$

Permutacje z powtórzeniami to uporządkowania, gdy niektóre elementy się powtarzają. Wzór $P'^k_n = \frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}$ , gdzie n₁, n₂, ... to liczby powtórzeń elementów.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Wzory na pola figur

Poznaj wzory na obliczanie pól kwadratu, prostokąta, równoległoboku, trapezu i rombu. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z geometrii. Zawiera kluczowe formuły i przykłady zastosowania.

Matematyka

Kombinatoryka: Wariacje i Permutacje

Zgłębiaj zasady kombinatoryki, w tym regułę mnożenia, wariacje z i bez powtórzeń oraz permutacje. Dowiedz się, jak obliczać różne kombinacje elementów zbioru oraz zastosowania w praktycznych problemach, takich jak wybór drużyn czy ustawianie w kolejce. Idealne dla studentów matematyki i statystyki.

Matematyka

Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych i dodatnich

Przykłady

Matematyka

Podobne notatki

Obliczanie pól figur geometrycznych

1787

Kombinatoryka

280

Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych i dodatnich

3258

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS