Logarytmy: Iloczyn i Iloraz - Zadania i Twierdzenia

Oliwia Gaj

12.11.2025

Matematyka

Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu

Przedmioty

Matematyka

Liczby rzeczywiste

Logarytmy

Stosowanie wzrów na logarytm iloczynu o wykładniku naturalnym

603

•

12 lis 2025

•

2 strony

Logarytmy: Iloczyn i Iloraz - Zadania i Twierdzenia

Name: Knowunity
Brand: Knowunity
Rating: 4.6 (95900 reviews)

Oliwia Gaj

@oliwiagaj

Poznanie właściwości logarytmów jest kluczem do sprawnego rozwiązywania zadań matematycznych.... Pokaż więcej

Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu

Logarytmy mają dwie podstawowe właściwości, które ułatwiają rozwiązywanie zadań. Dla liczb dodatnich a, x, y (gdzie a≠1) logarytm iloczynu to suma logarytmów: $log_a(xy) = log_ax + log_ay$ . Z kolei logarytm ilorazu to różnica logarytmów: $log_a \frac{x}{y} = log_ax - log_ay$ .

Wykorzystując te wzory, możemy uprościć skomplikowane wyrażenia. Na przykład: $log_6 4 + log_6 9 = log_6 (4 \cdot 9) = log_6 36$ . Podobnie z różnicą: $log_7 19 - log_7 49 = log_7 \frac{19}{49}$ .

Pamiętaj, że logarytm potęgi podstawy logarytmu daje nam wykładnik potęgi. Dzięki temu: $log_{12} (2 \cdot 8 \cdot 9) = log_{12} 144 = log_{12} 12^2 = 2$ .

💡 Wskazówka: Gdy masz sumę lub różnicę logarytmów, prawie zawsze warto przekształcić je w logarytm iloczynu lub ilorazu - to zwykle prowadzi do uproszczenia wyrażenia!

Obliczanie przybliżonych wartości logarytmów

Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych często prowadzi do prostszych obliczeń. Przykład: $\log_{0,2} 0,3-\log_{0,2} 0,5-\log_{0,2} 15 = \log_{0,2} \frac{0,6}{15} = \log_{0,2} 0,04 = \log_{0,2} 0,2^2 = 2$ .

Znajomość przybliżonej wartości niektórych logarytmów pozwala szybko obliczać inne. Jeśli wiemy, że $\log 5 \approx 0,7$ , możemy łatwo znaleźć przybliżone wartości pokrewnych wyrażeń. Na przykład: $\log 50 = \log (5 \cdot 10) = \log 10 + \log 5 \approx 1 + 0,7 = 1,7$ .

Podobnie dla ułamków, korzystając z właściwości logarytmu ilorazu: $\log 0,05 = \log \frac{5}{100} = \log 5 - \log 100 \approx 0,7 - 2 = -1,3$ . Dla odwrotności liczby: $\log \frac{1}{5} = \log 1 - \log 5 = -0,7$ .

💡 Pamiętaj: Logarytm liczby mniejszej od 1 zawsze daje wartość ujemną, co widać w przykładach z ułamkami jak $\log 0,05$ czy $\log \frac{1}{5}$ .

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Obliczanie logarytmy rozszerzenie

919

własności logarytmów

676

Zadania pod maturę z matematyki podstawowej

1356

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan S

użytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klich

użytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Aplikacja jest po prostu świetna! Wystarczy, że wpiszę w pasku wyszukiwania swój temat i od razu mam wyniki. Nie muszę oglądać 10 filmów na YouTube, żeby coś zrozumieć, więc oszczędzam swój czas. Po prostu polecam!

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Korzystam z Knowunity od ponad roku i jest mega! Najlepsze opcje z tej apki: ⭐️ Gotowe notatki ⭐️ Spersonalizowane treści ⭐️ Dostęp do chatu GPT W WERSJI SZKOLNEJ ⭐️ Konwersacje z innymi uczniami 🤍 NAUKA WRESZCIE NIE JEST NUDNA 🤍

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Przedmioty

Matematyka

Liczby rzeczywiste

Logarytmy

Stosowanie wzrów na logarytm iloczynu o wykładniku naturalnym

Matematyka

•

603

•

12 lis 2025

•

2 strony

Logarytmy: Iloczyn i Iloraz - Zadania i Twierdzenia

Oliwia Gaj

@oliwiagaj

Poznanie właściwości logarytmów jest kluczem do sprawnego rozwiązywania zadań matematycznych. Logarytm iloczynu, ilorazu oraz inne przekształcenia logarytmiczne pozwalają upraszczać złożone wyrażenia do prostszych form, co znacznie ułatwia obliczenia.

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu

Pamiętaj, że logarytm potęgi podstawy logarytmu daje nam wykładnik potęgi. Dzięki temu: $log_{12} (2 \cdot 8 \cdot 9) = log_{12} 144 = log_{12} 12^2 = 2$ .

💡 Wskazówka: Gdy masz sumę lub różnicę logarytmów, prawie zawsze warto przekształcić je w logarytm iloczynu lub ilorazu - to zwykle prowadzi do uproszczenia wyrażenia!

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkęTo nic nie kosztuje!

Dostęp do wszystkich materiałów

Popraw swoje oceny

Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Obliczanie przybliżonych wartości logarytmów

💡 Pamiętaj: Logarytm liczby mniejszej od 1 zawsze daje wartość ujemną, co widać w przykładach z ułamkami jak $\log 0,05$ czy $\log \frac{1}{5}$ .

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Czym jest Towarzysz AI z Knowunity?

Gdzie mogę pobrać aplikację Knowunity?

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Czy aplikacja Knowunity naprawdę jest darmowa?

Inteligentne Narzędzia NOWE

Przekształć te notatki w: ✓ 50+ Pytań Testowych ✓ Interaktywne Fiszki ✓ Pełny Egzamin Próbny ✓ Plany Eseju

Egzamin Próbny

Quiz

Fiszki

Esej

Podobne notatki

Logarytmy i Potęgi

Zgłębiaj zasady obliczania logarytmów oraz operacje na potęgach. Ta prezentacja zawiera kluczowe przykłady i zadania, które pomogą Ci zrozumieć, jak stosować logarytmy w praktyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Własności Logarytmów

Zrozumienie własności logarytmów: dodawanie, odejmowanie, potęgowanie oraz zmiana podstawy. Przykłady ilustrujące zastosowanie praw logarytmicznych w praktyce. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Zadania pod maturę z matematyki podstawowej

#poęgi #logarytmy #dziedzina #maturazmatematyki #matura #matematyka

Matematyka

Własności Logarytmów

Zrozum definicję logarytmu oraz kluczowe własności logarytmów, w tym zasady działania i zastosowania. Materiał obejmuje przykłady obliczeń logarytmicznych oraz ich zastosowanie w rozwiązywaniu równań. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

Matematyka

Logarytmy i Potęgi

Zrozumienie logarytmów i operacji na potęgach. Ta notatka zawiera kluczowe zasady dotyczące logarytmów, w tym przykłady obliczeń oraz wyjaśnienia dotyczące podstaw logarytmowych. Idealna dla uczniów technikum, którzy chcą zgłębić temat logarytmów i ich zastosowań w matematyce.

Matematyka

Wyrażenia algebraiczne- matematyka dział 2

Powtórka z matematyki z działu 2 „wyrażenia algebraiczne” dla klasy I LO zakres podstawowy

Matematyka

Podobne notatki

Obliczanie logarytmy rozszerzenie

919

własności logarytmów

676

Zadania pod maturę z matematyki podstawowej

1356

Więcej

Nie ma nic odpowiedniego? Sprawdź inne przedmioty.

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS

Stefan S

użytkownik iOS

Samantha Klich

użytkownik Androida

Anna

użytkownik iOS

Kocham tę aplikację! Pomaga mi w zadaniach domowych, motywuje mnie i polepsza mi dzień. Dzięki tej aplikacji moje oceny się poprawiły. Lepszej aplikacji nie znajdę!🩷

Patrycja

użytkowniczka iOS

Super aplikacja! Ma odpowiedzi na wszystkie zadania. Testuję ją od paru miesięcy i jest po prostu perfekcyjna.

Szymon

użytkownik Android

Super aplikacja do nauki i sprawdzania wiedzy. Można znaleźć notatki z WSZYSTKICH przedmiotów. Polecam tym, którzy celują w oceny 5 i 6 😄

Szymon

użytkownik iOS

Kuba T

użytkownik Androida

W szkole byłem bardzo kiepski z matematyki, ale dzięki tej aplikacji radzę sobie teraz lepiej. Jestem bardzo wdzięczny, że ją stworzyliście.

Kriss

użytkownik Androida

Gosia

użytkowniczka Android

Bardzo lubię aplikację Knowunity, ponieważ pomaga mi w nauce. Odkąd ją mam moje oceny się poprawiają :)

Sara

użytkowniczka iOS

Aplikacja jest niezawodna! Polecam 👍💙

Krzysztof

użytkownik Android

Bardzo fajna aplikacja. Pomaga przygotować się do sprawdzianu, kartkówki lub odpowiedzi ustnej.

Oliwia

użytkowniczka iOS