Przedmioty

Knowunity AI

Program dla Twórców

Więcej

Dla firm

Kariera

Knowunity Pro

Otwórz aplikację

Przedmioty

Matematyka

Własności potęg i logarytmów

Własność iloczynu

MatematykaMatematyka743 wyświetleń·Zaktualizowano 11 lip 2026·2 strony

Logarytmy: Iloczyn i Iloraz - Zadania i Twierdzenia

user profile picture
Oliwia Gaj@oliwiagaj

Poznanie właściwości logarytmów jest kluczem do sprawnego rozwiązywania zadań matematycznych....

1
of 2
Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu – strona 1

Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu

Logarytmy mają dwie podstawowe właściwości, które ułatwiają rozwiązywanie zadań. Dla liczb dodatnich a, x, y (gdzie a≠1) logarytm iloczynu to suma logarytmów: loga(xy)=logax+logaylog_a(xy) = log_ax + log_ay. Z kolei logarytm ilorazu to różnica logarytmów: logaxy=logax−logaylog_a \frac{x}{y} = log_ax - log_ay.

Wykorzystując te wzory, możemy uprościć skomplikowane wyrażenia. Na przykład: log64+log69=log6(4⋅9)=log636log_6 4 + log_6 9 = log_6 (4 \cdot 9) = log_6 36. Podobnie z różnicą: log719−log749=log71949log_7 19 - log_7 49 = log_7 \frac{19}{49}.

Pamiętaj, że logarytm potęgi podstawy logarytmu daje nam wykładnik potęgi. Dzięki temu: log12(2⋅8⋅9)=log12144=log12122=2log_{12} (2 \cdot 8 \cdot 9) = log_{12} 144 = log_{12} 12^2 = 2.

💡 Wskazówka: Gdy masz sumę lub różnicę logarytmów, prawie zawsze warto przekształcić je w logarytm iloczynu lub ilorazu - to zwykle prowadzi do uproszczenia wyrażenia!

2
of 2
Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu – strona 2

Obliczanie przybliżonych wartości logarytmów

Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych często prowadzi do prostszych obliczeń. Przykład: log⁡0,20,3−log⁡0,20,5−log⁡0,215=log⁡0,20,615=log⁡0,20,04=log⁡0,20,22=2\log_{0,2} 0,3-\log_{0,2} 0,5-\log_{0,2} 15 = \log_{0,2} \frac{0,6}{15} = \log_{0,2} 0,04 = \log_{0,2} 0,2^2 = 2.

Znajomość przybliżonej wartości niektórych logarytmów pozwala szybko obliczać inne. Jeśli wiemy, że log⁡5≈0,7\log 5 \approx 0,7, możemy łatwo znaleźć przybliżone wartości pokrewnych wyrażeń. Na przykład: log⁡50=log⁡(5⋅10)=log⁡10+log⁡5≈1+0,7=1,7\log 50 = \log (5 \cdot 10) = \log 10 + \log 5 \approx 1 + 0,7 = 1,7.

Podobnie dla ułamków, korzystając z właściwości logarytmu ilorazu: log⁡0,05=log⁡5100=log⁡5−log⁡100≈0,7−2=−1,3\log 0,05 = \log \frac{5}{100} = \log 5 - \log 100 \approx 0,7 - 2 = -1,3. Dla odwrotności liczby: log⁡15=log⁡1−log⁡5=−0,7\log \frac{1}{5} = \log 1 - \log 5 = -0,7.

💡 Pamiętaj: Logarytm liczby mniejszej od 1 zawsze daje wartość ujemną, co widać w przykładach z ułamkami jak log⁡0,05\log 0,05 czy log⁡15\log \frac{1}{5}.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Własność iloczynu

3
MatematykaMatematyka

Własności Logarytmów

Zrozumienie logarytmów i ich właściwości. Ta prezentacja omawia definicję logarytmu, zasady dotyczące logarytmu iloczynu, ilorazu oraz potęgi. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

13,85632
MatematykaMatematyka

Wzory Logarytmiczne

Odkryj kluczowe wzory logarytmiczne i ich zastosowania w matematyce. Ten materiał zawiera przykłady obliczeń logarytmów oraz zadania do samodzielnego rozwiązania, idealny dla uczniów przygotowujących się do matury z matematyki.

16,691102
MatematykaMatematyka

Wzory Logarytmiczne

Odkryj kluczowe wzory logarytmiczne i przykłady ich zastosowania. Dowiedz się, jak obliczać logarytmy oraz stosować zasady logarytmiczne, takie jak logarytm dziesiętny i operacje na logarytmach. Idealne dla uczniów i studentów matematyki.

16,06563

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,8702
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,9080
O
MatematykaMatematyka

Obliczanie pola wielokątów

Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.

64,3840
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.

53,4190
MatematykaMatematyka

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

860,4115,675
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.

63,6560
P
MatematykaMatematyka

Podstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych

Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.

73,6300
Z
MatematykaMatematyka

Zapisywanie ułamków dziesiętnych

Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.

52,1470
M
MatematykaMatematyka

matematyka

tabliczka mnożenia

51,8584

Najpopularniejsze notatki

9
K
TechnikaTechnika

Karta rowerowa

UwU

45,4063
N
TechnikaTechnika

Nauka znaków drogowych

Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę

44,0182
W
Język polskiJęzyk polski

Wprowadzenie do lektury Zemsta

Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.

85,9840
Q
Język polskiJęzyk polski

Quiz-Dziady cz.2

Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!

83,6012
B
BiologiaBiologia

biologia- ryby klasa 6

Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️

64,8044
Język polskiJęzyk polski

Polski e8

Egzamin ósmoklasisty

88,679377
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,8702
C
Język angielskiJęzyk angielski

Czasowniki nieregularne w Past Simple

Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.

65,0340
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,9080

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS

Matematyka

Własności potęg i logarytmów

Własność iloczynu

MatematykaMatematyka743 wyświetleń·Zaktualizowano 11 lip 2026·2 strony

Logarytmy: Iloczyn i Iloraz - Zadania i Twierdzenia

user profile picture
Oliwia Gaj@oliwiagaj

Poznanie właściwości logarytmów jest kluczem do sprawnego rozwiązywania zadań matematycznych. Logarytm iloczynu, ilorazu oraz inne przekształcenia logarytmiczne pozwalają upraszczać złożone wyrażenia do prostszych form, co znacznie ułatwia obliczenia.

1
of 2
Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu – strona 1

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu

Logarytmy mają dwie podstawowe właściwości, które ułatwiają rozwiązywanie zadań. Dla liczb dodatnich a, x, y (gdzie a≠1) logarytm iloczynu to suma logarytmów: loga(xy)=logax+logaylog_a(xy) = log_ax + log_ay. Z kolei logarytm ilorazu to różnica logarytmów: logaxy=logax−logaylog_a \frac{x}{y} = log_ax - log_ay.

Wykorzystując te wzory, możemy uprościć skomplikowane wyrażenia. Na przykład: log64+log69=log6(4⋅9)=log636log_6 4 + log_6 9 = log_6 (4 \cdot 9) = log_6 36. Podobnie z różnicą: log719−log749=log71949log_7 19 - log_7 49 = log_7 \frac{19}{49}.

Pamiętaj, że logarytm potęgi podstawy logarytmu daje nam wykładnik potęgi. Dzięki temu: log12(2⋅8⋅9)=log12144=log12122=2log_{12} (2 \cdot 8 \cdot 9) = log_{12} 144 = log_{12} 12^2 = 2.

💡 Wskazówka: Gdy masz sumę lub różnicę logarytmów, prawie zawsze warto przekształcić je w logarytm iloczynu lub ilorazu - to zwykle prowadzi do uproszczenia wyrażenia!

2
of 2
Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu – strona 2

Zarejestruj się, aby zobaczyć notatkę. To nic nie kosztuje!

  • Dostęp do wszystkich materiałów
  • Popraw swoje oceny
  • Dołącz do milionów studentów

Rejestrując się akceptujesz Warunki korzystania z usługi i Politykę prywatności.

Obliczanie przybliżonych wartości logarytmów

Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych często prowadzi do prostszych obliczeń. Przykład: log⁡0,20,3−log⁡0,20,5−log⁡0,215=log⁡0,20,615=log⁡0,20,04=log⁡0,20,22=2\log_{0,2} 0,3-\log_{0,2} 0,5-\log_{0,2} 15 = \log_{0,2} \frac{0,6}{15} = \log_{0,2} 0,04 = \log_{0,2} 0,2^2 = 2.

Znajomość przybliżonej wartości niektórych logarytmów pozwala szybko obliczać inne. Jeśli wiemy, że log⁡5≈0,7\log 5 \approx 0,7, możemy łatwo znaleźć przybliżone wartości pokrewnych wyrażeń. Na przykład: log⁡50=log⁡(5⋅10)=log⁡10+log⁡5≈1+0,7=1,7\log 50 = \log (5 \cdot 10) = \log 10 + \log 5 \approx 1 + 0,7 = 1,7.

Podobnie dla ułamków, korzystając z właściwości logarytmu ilorazu: log⁡0,05=log⁡5100=log⁡5−log⁡100≈0,7−2=−1,3\log 0,05 = \log \frac{5}{100} = \log 5 - \log 100 \approx 0,7 - 2 = -1,3. Dla odwrotności liczby: log⁡15=log⁡1−log⁡5=−0,7\log \frac{1}{5} = \log 1 - \log 5 = -0,7.

💡 Pamiętaj: Logarytm liczby mniejszej od 1 zawsze daje wartość ujemną, co widać w przykładach z ułamkami jak log⁡0,05\log 0,05 czy log⁡15\log \frac{1}{5}.

Myśleliśmy, że nigdy nie zapytasz...

Nasz asystent AI jest specjalnie dostosowany do potrzeb uczniów. W oparciu o miliony treści, które mamy na platformie, możemy udzielać uczniom naprawdę znaczących i trafnych odpowiedzi. Ale nie chodzi tylko o odpowiedzi, towarzysz prowadzi również uczniów przez codzienne wyzwania związane z nauką, ze spersonalizowanymi planami nauki, quizami lub treściami na czacie i 100% personalizacją opartą na umiejętnościach i rozwoju uczniów.

Aplikację możesz pobrać z Google Play i Apple Store.

Tak, masz całkowicie darmowy dostęp do wszystkich notatek w aplikacji, możesz w każdej chwili rozmawiać z Ekspertami lub ich obserwować. Możesz użyć punktów, aby odblokować pewne funkcje w aplikacji, które również możesz otrzymać za darmo. Dodatkowo oferujemy usługę Knowunity Premium, która pozwala na odblokowanie większej liczby funkcji.

Podobne notatki

Więcej

Najpopularniejsze notatki: Własność iloczynu

3
MatematykaMatematyka

Własności Logarytmów

Zrozumienie logarytmów i ich właściwości. Ta prezentacja omawia definicję logarytmu, zasady dotyczące logarytmu iloczynu, ilorazu oraz potęgi. Idealna dla uczniów przygotowujących się do egzaminów z matematyki.

13,85632
MatematykaMatematyka

Wzory Logarytmiczne

Odkryj kluczowe wzory logarytmiczne i ich zastosowania w matematyce. Ten materiał zawiera przykłady obliczeń logarytmów oraz zadania do samodzielnego rozwiązania, idealny dla uczniów przygotowujących się do matury z matematyki.

16,691102
MatematykaMatematyka

Wzory Logarytmiczne

Odkryj kluczowe wzory logarytmiczne i przykłady ich zastosowania. Dowiedz się, jak obliczać logarytmy oraz stosować zasady logarytmiczne, takie jak logarytm dziesiętny i operacje na logarytmach. Idealne dla uczniów i studentów matematyki.

16,06563

Najpopularniejsze notatki z Matematyka

9
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,8702
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,9080
O
MatematykaMatematyka

Obliczanie pola wielokątów

Rozwiązywanie prostych zadań rachunkowych na obliczanie pól figur przy podanych długościach boków i wysokości.

64,3840
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Ćwiczenia z dodawania prostych ułamków o identycznych mianownikach bez przekraczania całości.

53,4190
MatematykaMatematyka

Egzamin ósmoklasisty: Matematyka

Kompleksowe powtórzenie z matematyki na egzamin ósmoklasisty. Obejmuje kluczowe zagadnienia takie jak działania na ułamkach, potęgi, obliczanie pól i objętości figur, średnia arytmetyczna, mediana oraz twierdzenie Pitagorasa. Idealne dla uczniów przygotowujących się do egzaminu. Typ: podsumowanie.

860,4115,675
D
MatematykaMatematyka

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Wykonywanie obliczeń pamięciowych i pisemnych na ułamkach dziesiętnych z uwzględnieniem poprawnego dopasowania przecinka.

63,6560
P
MatematykaMatematyka

Podstawy tworzenia wyrażeń algebraicznych

Rozpoznawanie składników wyrażeń i zapisywanie prostych zależności liczbowych za pomocą liter i symboli.

73,6300
Z
MatematykaMatematyka

Zapisywanie ułamków dziesiętnych

Ćwiczenia z zamiany ułamków o mianownikach 10, 100 i 1000 na postać dziesiętną z użyciem przecinka.

52,1470
M
MatematykaMatematyka

matematyka

tabliczka mnożenia

51,8584

Najpopularniejsze notatki

9
K
TechnikaTechnika

Karta rowerowa

UwU

45,4063
N
TechnikaTechnika

Nauka znaków drogowych

Uczenie się zanków drogowych na sprawdzian-kartkówkę

44,0182
W
Język polskiJęzyk polski

Wprowadzenie do lektury Zemsta

Sprawdź znajomość czasu i miejsca akcji oraz głównych wątków komedii Aleksandra Fredry.

85,9840
Q
Język polskiJęzyk polski

Quiz-Dziady cz.2

Ten quiz sprawdzi twoją wiedzę z Dziadów🫶!

83,6012
B
BiologiaBiologia

biologia- ryby klasa 6

Przed odpowiedzią ustnią idealny do powtórki ❤️

64,8044
Język polskiJęzyk polski

Polski e8

Egzamin ósmoklasisty

88,679377
T
MatematykaMatematyka

tabliczka mnożenia do 100

tabliczka mnożenia do 100

53,8702
C
Język angielskiJęzyk angielski

Czasowniki nieregularne w Past Simple

Ćwicz odmianę popularnych czasowników nieregularnych i twórz zdania przeczące z operatorem didn't w czasie Past Simple.

65,0340
W
MatematykaMatematyka

Wzory na pola wielokątów

Rozpoznawanie i utrwalanie podstawowych wzorów na pola prostokątów, kwadratów, trójkątów i trapezów.

64,9080

Zobacz, co mówią o nas nasi użytkownicy. Pokochali nas — pokochasz też i Ty.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Aplikacja jest bardzo prosta i dobrze przemyślana. Do tej pory znalazłem wszystko, czego szukałem i mogłem się wiele nauczyć z innych notatek! Na pewno wykorzystam aplikację do pomocy przy robieniu prac domowych! No i oczywiście bardzo pomaga też jako inspiracja do robienia swoich notatek.

Stefan Sużytkownik iOS

Ta aplikacja jest naprawdę świetna. Jest tak wiele notatek i pomocnych informacji [...]. Moim problematycznym przedmiotem jest język niemiecki, a w aplikacji jest w czym wybierać. Dzięki tej aplikacji poprawiłam swój niemiecki. Polecam ją każdemu.

Samantha Klichużytkownik Androida

Wow, jestem w szoku. Właśnie wypróbowałam aplikację, ponieważ widziałam ją kilka razy reklamowaną na TikToku jestem absolutnie w szoku. Ta aplikacja jest POMOCĄ, której potrzebujesz w szkole i przede wszystkim oferuje tak wiele rzeczy jak notatki czy streszczenia, które są BARDZO pomocne w moim przypadku.

Annaużytkownik iOS